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第1讲　平面向量的概念及线性运算
第六章　平面向量与复数
慧学教材
复习要点　1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握平面向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.
一　向量的有关概念
名称 定义
向量 既有 　大小　又有 　方向　的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 　长度　（或称 　模　）
零向量 　长度为0　的向量叫做零向量，其方向是 　不确定　的，零向量记作 　0　
单位向量 长度等于 　1　个单位长度的向量
平行
向量 方向相同或 　相反　的 　非零　向量叫做平行向量，平行向量也叫做 　共线　向量.
规定： 　零向量　与任意向量 　平行　
大小　
方向　
长度　
模　
长度为0　
不确定　
0　
1　
相反　
非零　
共线　
零向量　
平行　
相等向量 长度 　相等　且方向 　相同　的向量
相反向量 长度 　相等　且方向 　相反　的向量
相等　
相同　
相等　
相反　
二　向量的线性运算
向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝ 　b＋a　；
结合律：（a＋b）＋c＝a＋（　 　b＋c　　）
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋（　 　－b　　）
b＋a　
b
＋c　
－b　
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，
当λ＞0时，λa与a的方向 　相同　；
当λ＜0时，λa与a的方向 　相反　；
当λ＝0时，λa＝0 λ（μ a）＝
（　 　λμ　　）a；
（λ＋μ）a＝
　λa＋μa　；
λ（a＋b）＝
　λa＋λb　
相同　
相反　
λμ　
λa＋μa　
λa＋λb　
三　共线向量定理
1. 共线向量定理
【教材排查】　判断下列结论是否正确.
b＝λa　




B. 若a＝b，b＝c，则a＝c
C. 若a与b都是单位向量，则a＝b
D. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
解析：易知A、B正确；单位向量a与b的方向均不确定，故C错误；两个单位向量平行，它们的方向可能相反，两个向量不相等，故D错误.
CD
【教材改编】
题型研讨
题型 　向量基本概念的理解
⑦　
B. 向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C. ｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜ a与b方向相反
D. 若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同
BCD
D
题型 　向量的线性运算
一、向量加、减法的几何意义
A. a⊥b B. ｜a｜＝｜b｜
C. a∥b D. ｜a｜＞｜b｜
解析：方法一：∵｜a＋b｜＝｜a－b｜，
∴｜a＋b｜2＝｜a－b｜2，∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，∴a·b＝0，∴a⊥b.
A
a⊥b.
【解题感悟】　向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则.
A. 3m－2n B. －2m＋3n
C. 3m＋2n D. 2m＋3n
B
ABD
【解题感悟】 线性运算的常见变形
向量线性运算的技巧 技巧来源
B
解析：如图，过点O作OG∥FE交DC于G，
由DE＝EO，得DF＝FG，
又由AO＝OC，得FG＝GC，
A. 1 D. 2
B
题型 　共线向量定理的应用
一、利用共线向量定理求参数的值
A. 1 D. 2
B
【解题感悟】　向量共线的两种情况
A. 1
C
（2）若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
C
题型 　向量的三角不等式
典例6　已知向量a，b，求作向量a＋b，探索｜a＋b｜，｜a｜，｜b｜之间的关系.
解：①向量a，b共线，当向量a，b方向相同时，如图1所示.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；
当向量a，b方向相反时，如图2所示.｜a＋b｜＝｜｜a｜－｜b｜｜.
图1 图2
在△AOC中，因为｜AO－AC｜＜OC，所以｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜，因为OC＜AO＋AC，所以｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜.
所以｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜.
综上所述，｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜.
图3
【解题感悟】　绝对值三角不等式
如果a，b是实数，那么｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜；
如果a，b，c是实数，那么｜a－c｜≤｜a－b｜＋｜b－c｜，当且仅当（a－b）（b－c）≥0时，等号成立.
B. （1，3）
D. （2，4）
C
C. 3 D. 5
B
解析：根据向量的三角不等式，可得｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜，∴2≤｜a±b｜≤10，当且仅当向量a，b方向相反时，｜a＋b｜取得最小值2，｜a－b｜取得最大值10.
2　
10　
[教材拓展]　等和（高）线定理
A. [1，4） B. [1，4] C. [2，3） D. [2，3]
B
连接AB1，则直线AB1即等和线，当点C与点A重合时，x＋4y取得最小值，此时x＝1，y＝0，即x＋4y的最小值为1.
向右不断作AB1的平行线，得到一组等和线，由等和线的性质知x＋4y的值与点O到等和线的距离成正比，所以当点C与点B重合时，x＋4y取得最大值，此时x＝0，y＝1，即x＋4y的最大值为4.所以x＋4y的取值范围为[1，4].故选B.
2　
方法二：如图，连接AB交OC于点D，
因为D，A，B三点在同一直线上，
当点D与点A或点B重合时t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2.
所以x＋y的最大值为2.
限时跟踪检测（三十二）　平面向量的概念及线性运算
A. 若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同
B. ｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜ a与b的方向相同
D. 若λ≠0，λa＝λb，则a＝b
D
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B. a＝｜a｜e
C. a＝－｜a｜e D. a＝±｜a｜e
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D. 3
B
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A. 4λ＋μ＝1 B. λ＋4μ＝1
A
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A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线
C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线
C
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A. 矩形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 以上都不对
A. 4∶1 B. 2∶1 C. 3∶2 D. 4∶3
C
B
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解析：如图，取AC的中点D，连接OD，
所以O是AC边上的中线BD的中点，
所以S△ABC＝2S△AOC，
所以△ABC与△AOC的面积之比为2∶1.
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C. 2 D. 3
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ACD
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则点M在边CB的延长线上，且点B为CM中点，故B错误；
则点M是△ABC的重心，故C正确；
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三、填空题
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（2）若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
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A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
A
高分推荐题
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