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第2讲　平面向量基本定理及坐标表示
第六章　平面向量与复数
慧学教材
复习要点　1.理解平面向量的基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件.
一　平面向量基本定理
不共线　
λ1e1＋λ2e2　
x轴、y轴正方向相同　
（x，y）　
（1，0）　
（0，1）　
（0，0）　
三　平面向量的坐标运算
（x1＋x2，y1＋y2）　
（x1－x2，y1－y2）　
（λx1，λy1）　
（x2－x1，y2－y1）　
四　平面向量共线的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
（1）a∥b x1y2－x2y1＝0（b≠0）；
【教材排查】　判断下列结论是否正确.
√
√
√

解析：因为a∥b，所以4y－2×6＝0，解得y＝3.
3　
（1，5）　
【教材改编】
题型研讨
题型 　平面向量基本定理
一、基底的判断
A. e1＋e2和e1－e2 B. 3e1－2e2和4e2－6e1
C. e1＋2e2和e2＋2e1 D. e2和e1＋e2
解析：因为4e2－6e1＝－2（3e1－2e2），所以3e1－2e2与4e2－6e1共线.又因为组成一个基底的两个向量一定不共线，所以它们不能组成一个基底.故选B.
B
【解题感悟】　基底的“唯一”与“不唯一”
“唯一”：平面内任意向量a都可被这个平面内的一个基底{e1，e2}线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
“不唯一”：只要同一平面内两个向量不共线，就可以作为表示平面内所有向量的一组基底，对基底的选取不唯一.
3　
若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
“爪子模型”
的性质　 B，C，D三点共线 x＋y＝1.若0＜x＋y＜1，则D与A位于直线BC同侧，且D位于A与BC之间.若x＋y＞1，则D与A位于直线BC两侧.若x＋y＝1，①x＞0，y＞0，则D在线段BC上；②xy＜0，则D在线段BC的延长线上
在几何图形中见到三点共线，可考虑使用“爪子模型”完成向量的表示，进而确定x，y
若所给图形比较特殊（矩形、特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于x，y的方程，再进行求解
C
题型 　平面向量的坐标运算
A
级数 名称 风速大小（单位：m/s）
2 轻风 1.6～3.3
3 微风 3.4～5.4
4 和风 5.5～7.9
5 劲风 8.0～10.7
A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
C. 2
B
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D（0，0）.
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），
∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），
【解题感悟】　系要建得巧，题就解得妙
坐标是向量代数化的媒介，而坐标的获得又要借助于平面直角坐标系，对于某些平面向量问题，若能建立适当的平面直角坐标系，往往能很快实现问题的转化.常见的建系方法如下：
利用图形中现成的垂直关系
若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线（如矩形、直角梯形等），可以利用这两条直线建立坐标系.本典例中（2）题，则利用直角梯形中的垂直关系建系.
利用图形中的对称关系
图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系（如：等腰三角形、等腰梯形等），可利用自身对称性建系.建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限内.
三角形中有唯一一个特殊角（30°，45°，60°等）时，有以下两种建系方法：
圆（或半圆、扇形）与其他图形的综合图形通常以圆心为坐标原点建系.
所给向量中任意两向量之间的夹角为特殊角，将所给向量平移为共起点，以该起点为坐标原点建系.
A. （－2，－1） B. （0，5）
C. （2，－5） D. （2，－1）
A
题型 　向量共线的坐标表示与应用
【解题感悟】　证明向量共线（或平行）的主要方法和已知两向量共线求参数值的依据
对于向量a（a≠0），b，若存在非零实数λ，使得b＝λa，则向量a，b共线.
若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则x1y2－x2y1＝0 a∥b.
对于向量a，b，则｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜ a与b共线.
注意：若已知向量共线求参数的值，则可由已知条件与上述依据的对应性，通过解方程求解.
（3，3）　
题型 　利用向量解决面积比问题
典例5　请证明上述定理.
【解题感悟】　三角形“四心”的奔驰定理向量表达式
题型 　定比分点定理
【解题感悟】　定比分点定理
限时跟踪检测（三十三）　平面向量基本定理及坐标表示
A. b＝（k，k） B. c＝（－k，－k）
C. d＝（k2＋1，k2＋1） D. e＝（k2－1，k2－1）
解析：对于选项A，B，若k＝0，则b＝（0，0），c＝（0，0），均不满足构成基底的条件，所以A，B不符合题意；对于选项C，因为 k∈R，k2＋1≠0，且（k2＋1）×（－1）－（k2＋1）×1＝－2（k2＋1）≠0恒成立，所以d与q不共线，满足构成基底的条件，所以C符合题意；对于选项D，若k＝±1，则e＝（0，0），不满足构成基底的条件，所以D不符合题意.故选C.
C
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C. 4 D. 5
B
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A. （－6，4） B. （－4，6）
C. （4，－6） D. （6，－4）
C
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A. （3，－4） B. （3，－4）或（－3，4）
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C. 0
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D
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解析：依题意作图，如图所示，
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D. 若C（1，－3），则四边形OBAC为平行四边形
ACD
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A. －2 C. 1 D. －1
ABD
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图1　　　　　　　　　图2
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（4，2）或（－12，－6）　
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（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）.
解：由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1，8）.
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（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
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可知A（0，0），B（2a，0），D（0，2a），
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