资源简介

(共77张PPT)
第3讲　平面向量的数量积
第六章　平面向量与复数
复习要点　1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
慧学教材
∠AOB　
[0，π]　
2. 平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量 　｜a｜｜b｜· cos θ　叫做向量a与b的数量积，记作a·b
投影
向量
几何
意义
｜a｜｜b｜· cos θ　
a·（λb）　
a·c＋b·c　
三　平面向量数量积的性质
　设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.
结论 几何表示 坐标表示
模
夹角
a⊥b的充
要条件 　a·b＝0　 　x1x2＋y1y2＝0　
｜a·b｜与
｜a｜｜b｜的
关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0




【教材排查】　判断下列结论是否正确.
【教材改编】
84　
题型研讨
题型 　平面向量数量积的概念及运算
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
C
A. 3 B. －3
－15　
【解题感悟】　 定义法求平面向量的数量积
方法依据：a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，其中θ是两个向量a，b的夹角.
适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角.
基底法求平面向量的数量积
方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解.
适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线向量作为基底，采用“基底法”求解.
坐标法求平面向量的数量积
方法依据：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2.
适用范围：已知或可求两个向量的坐标；
已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积.
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
B
解析：以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则B（2，0），D（0，2），C（2，2），
所以P（2，1），
A
题型 　投影向量的概念及运用
A. －3 B. －1 C. 3 D. 5
A
（－
1，0）　
题型 　数量积的应用
一、解决两向量垂直问题
A. λ＋μ＝1 B. λ＋μ＝－1 C. λμ＝1 D. λμ＝－1
解析：因为a＝（1，1），b＝（1，－1），所以a＋λb＝（1＋λ，1－λ），a＋μb＝（1＋μ，1－μ），由（a＋λb）⊥（a＋μb），可得（a＋λb）·（a＋μb）＝0，即（1＋λ）（1＋μ）＋（1－λ）（1－μ）＝0，整理得，λμ＝－1.故选D.
D
教材呈现
（人教A必修二P60T8）已知向量a＝（1，0），b＝（1，1）.当λ为何值时，a＋λb与a垂直？
点评：教材习题和高考题类似，都是根据向量垂直的充要条件求参数，其一般方法为根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.
[4，＋∞）　
【解题感悟】　有关平面向量垂直的两类题型
利用数量积的定义判断两个向量是否垂直
·根据数量积的运算公式，计算出这两个向量的数量积；
·若数量积为0则垂直，若不为0则不垂直.
已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值或取值范围.
注意：根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求出参数的值或取值范围.两非零向量垂直的充要条件是a⊥b a·b＝0 ｜a－b｜＝｜a＋b｜.
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
解析：方法一：因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，则b2－4a·b＝22＋x2－4（0×2＋1×x）＝0，即x2－4x＋4＝（x－2）2＝0，解得x＝2.故选D.
方法二：因为b－4a＝（2，x－4），又b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，则4＋x（x－4）＝0，解得x＝2.故选D.
D
D. 1
B
教材呈现
（人教A必修二P61T13（6））若向量a，b，c两两的夹角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝3，则｜a＋b＋c｜＝（　　）
A. 2 B. 5 C. 2或5
（2）已知向量a，b满足｜a｜＝6，｜b｜＝4，且a与b的夹角为60°，求｜a＋b｜和｜a－3b｜.
【解题感悟】　解决向量模长问题的三种方法
公式法
适用范围：已知或可求向量数量积.
坐标法
适用范围：已知或可求向量的坐标.
几何法
方法依据：向量线性运算的几何意义、几何图形的性质等.
适用范围：已知和待求向量能表示在一个特殊的几何图形中.
注意：用公式法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的求解.
B. 2 C. 3 D. 4
B
D
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解得m＜1且m≠－9.因为“m＜1”是“m＜1且m≠－9”的必要不充分条件，所以“m＜1”是“向量a，b的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.
B
【解题感悟】　向量夹角的求解方法
基底法
适用范围：直接利用夹角公式求向量的夹角不可行，且夹角的两个向量可用已知模和夹角的两个不共线向量作为基底表示出来时，采用基底法求解.
坐标法
适用范围：已知或可求两向量的坐标；已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求向量的夹角.
几何法
方法依据：向量线性运算的几何意义、几何图形的性质等.
适用范围：已知和待求向量能表示在一个特殊的几何图形中时，可利用几何法求夹角.
数量积与两个向量夹角的关系
两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立（因为夹角为0时不成立）.
两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立（因为夹角为π时不成立）.
D
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
C
限时跟踪检测（三十四）　平面向量的数量积
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
解析：∵a＝（0，1），b＝（1，0），∴a－b＝（－1，1），∴a·（a－b）＝0×（－1）＋1×1＝1.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A. “x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
B. “x＝－3”是“a∥b”的必要条件
C. “x＝0”是“a⊥b”的充分条件
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：由题意得a－2b＝（－2－2k，7）.
∵（a－2b）⊥c，
∴（a－2b）·c＝0，
即（－2－2k，7）·（1，2）＝－2－2k＋14＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
C. 3
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A. E是一条垂直于x轴的直线
B. E是一个半径为1的圆
C. E是两条平行直线
D. E是椭圆
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A. 1
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
二、多项选择题
ABD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
ACD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
如图，延长OC至C'，使得OC'＝2OC，
连接AC'，设AC'的中点为D，连接OD，BC'，
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
图1　 　　图2　　　　图3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
设P（x，y），则A（0，0），B（1，0），C（1，2），
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
又－1≤ sin （θ＋φ）≤1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

展开更多......

收起↑