资源简介

(共46张PPT)
第4讲　高考中的导数综合问题
第3课时　利用导数研究函数的零点
第四章　一元函数的导数及其应用
题型研讨
题型 　函数零点个数的探究
一、数形结合法研究函数的零点
典例1　（2026·山东济宁4月二模节选）已知函数f（x）＝xex－a，a∈R，讨论f（x）的零点个数.
解：令f（x）＝0，则a＝xex，
令g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex，
所以当x＜－1时，g'（x）＜0，g（x）在（－∞，－1）上单调递减，
当x＜0时，g（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0，当x→－∞时，g（x）→0，当x→＋∞时，g（x）→＋∞.
作出函数g（x）的图象与直线y＝a，如图所示.
【解题感悟】　函数f（x）在区间（a，b）上零点个数的速判策略
判符号：查看函数f（x）是否在区间（a，b）的某个子区间上恒为正或恒为负，若存在，将其排除.
研性质：研究f（x）在剩余区间上的单调性（通过导函数值的正负判断，有时也会利用极限思想判断）.
验证：在每一个单调区间上验证零点是否存在.
（2）讨论方程f（x）＝1根的个数.
对点练2　（2026·湖南九校联考节选）已知函数f（x）＝x3－3x2－cx＋c，c∈R，讨论f（x）零点的个数.
解：f（x）＝x3－3x2－cx＋c，f'（x）＝3x2－6x－c，
令f'（x）＝0，则Δ＝36＋12c，
①当Δ＝36＋12c≤0，即c≤－3，f'（x）≥0，
∴f（x）在R上单调递增，∵f（1）＝－2＜0，
f（3）＝27－3×9－3c＋c＝－2c＞0，∴函数f（x）有且仅有一个零点；
三、构造函数法研究函数零点
典例3　已知函数f（x）＝ex＋x＋4ln（2－x），判断函数f（x）的零点个数，并说明理由.
【解题感悟】　导数大题中函数零点个数问题的解决方法
理论依据
判断函数零点个数的理论依据是函数零点存在性定理的推论：如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f（x）在区间（a，b）上单调，f（a）f（b）＜0，那么函数f（x）在区间（a，b）上有且仅有一个零点.
一般步骤及解题关键
判断函数零点个数一般分为以下三步：
·讨论函数f（x）的单调性，寻找f（x）的单调区间D1，D2，…；
·在每一个单调区间Di（i＝1，2，…）上，要么证明f（x）恒为正数或恒为负数，要么在该区间上找到一对函数值符号相反的点（ai，f（ai）），（bi，f（bi））（ai＜bi，i＝1，2，…），从而说明函数在该单调区间上恰有一个零点，且零点位于区间（ai，bi）内；
·综合考虑每个单调区间上的零点情况，作出总结.
其中，在单调区间上寻找一对函数值符号相反的点是关键点，亦是难点.我们约定，把在特定区间上寻找函数值为正（或负）的点的问题称为“找点”问题.
“找点”的一般策略
·直接放缩“找点”.熟记一些常见的函数不等式，利用分析法“找点”.例如：
题型 　已知函数零点个数求参数的取值范围
A. 1 D. e
A
解析：令f（x）＝ax＋bx－2＝0，
则bx－1＝1－ax，作出函数y＝bx－1，y＝1－ax的大致图象，如图.
由图可知，要满足题意，需使曲线y＝bx－1与y＝1－ax仅有一个交点（0，0），则曲线y＝bx－1与y＝1－ax在点（0，0）处的切线为同一条直线，从而有b0ln b＝－a0ln a，化简得ln（ab）＝0，则ab＝1，故选A.
（2）已知a∈R，函数f（x）＝x2，g（x）＝ln x.若函数F（x）＝f（x）＋g（x）＋ax＋2至少有2个零点，求a的最大值.
易知H（1）＝0，∴当x变化时，H（x），G'（x），G（x）的变化情况如下表：
x （0，x0） x0 （x0，1） 1 （1，＋∞）
H（x） ＋ 0 － 0 ＋
G'（x） ＋ 0 － 0 ＋
G（x） 单调
递增 极大值 单调
递减 极小值 单调
递增
由表可知，当x＝x0时，G（x）有极大值G（x0）；当x＝1时，G（x）有极小值G（1）.
又G（1）＝3，且当x→＋∞时，G（x）→＋∞；当x→0时，G（x）→－∞，
∴要使函数y＝－a与y＝G（x）的图象至少有2个交点，a需满足G（1）≤－a≤G（x0），
即－G（x0）≤a≤－G（1），∴a的最大值为－3.
【解题感悟】　 已知函数零点个数求参数的取值范围问题的解法
当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：
·在含有ln x的函数中，通常选取x＝ek，特别地，选取当k＝0时，x＝1来试探；
·在含有ex的函数中，通常选取x＝ln k，特别地，选取当k＝1时，x＝0来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决.
特殊值法试探零点的技巧
对点练4　已知函数f（x）＝ex－a（x＋2）.
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex－x－2，
则f'（x）＝ex－1.
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增.
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
解：（2）f'（x）＝ex－a.
当a≤0时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增，
故f（x）至多存在一个零点，不符合题意.
当a＞0时，由f'（x）＝0可得x＝ln a.
当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0；
当x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，
在（ln a，＋∞）上单调递增.
故当x＝ln a时，f（x）取得最小值，最小值为f（ln a）＝－a（1＋ln a）.
限时跟踪检测（二十二）　利用导数研究函数的零点
1
2
3
4
1
2
3
4
2. 已知函数f（x）＝xex－ax－aln x＋a，若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围.
1
2
3
4
t （0，e2） e2 （e2，＋∞）
g'（t） ＋ 0 －
g（t） 单调递增 单调递减
1
2
3
4
解：（1）因为f'（x）＝x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2），令f'（x）＝0，得x1＝－1，x2＝－2，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示，
x （－∞，
－2） －2 （－2，
－1） －1 （－1，
＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
1
2
3
4
（2）令g（x）＝f'（x）＋kex－1，若函数y＝g（x）的图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围.
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
（2）设x1，x2分别为f（x）在区间（0，＋∞）的极值点和零点.
（ⅰ）设函数g（t）＝f（x1＋t）－f（x1－t），证明：g（t）在区间（0，x1）单调递减；
（ⅱ）比较2x1与x2的大小，并证明你的结论.
1
2
3
4
1
2
3
4
（ⅱ）由（ⅰ）得，g（t）在t∈（0，x1）上单调递减，所以g（x1）＜g（0），即f（2x1）－f（0）＜f（x1）－f（x1）＝0，f（2x1）＜0.
因为x2是f（x）的零点，所以f（x2）＝0，所以f（2x1）＜f（x2）.
又因为x2＞x1，2x1＞x1，且f（x）在（x1，＋∞）上单调递减，所以2x1＞x2.
1
2
3
4

展开更多......

收起↑