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第2讲　导数与函数的单调性
第四章　一元函数的导数及其应用
慧学教材
复习要点　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
一　函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f（x）在区间
（a，b）上可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）上 　单调递增　
f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）上 　单调递减　
f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）上是 　常函数　
单调递增　
单调递减　
常函数　
定义域　
零点　
三　分段函数与含间断点的函数的单调性
1. 分段函数
分段函数的单调性，要在各个段上分别求导函数确定单调区间.如果函数在两段的衔接点处是连续的，而且衔接点附近的区间内的单调性相同，就可把这两段的单调区间合并；如果不连续且衔接点两侧的区间合并后不满足单调性定义，那么这两个相同单调性的区间就不能合并.（如图）
①在衔接点x＝a处连续，且衔接点附近的单调性相同，单调递增区间可以合并为[0，＋∞）.
②在x＝a处断开（即不连续），[0，a]与（a，＋∞）都是单调递增区间，但不可合并.
③在x＝a处虽然断开，衔接点附近的单调性相同，区间合并后满足单调性的定义，所以单调递增区间为[0，＋∞）.
√

√

解析：由题图知，当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，2）.
（0，1）　
（1，2）　
解析：f'（x）＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.
[－3，0]　
题型研讨
题型 　不含参数的函数的单调性
A. （0，1）
D
1. 步骤
求函数的定义域.
求f（x）的导数f'（x）.
在定义域内解不等式：f'（x）＞0的解集即为单调递增区间，f'（x）＜0的解集即为单调递减区间.
2. 注意点
不能忽视函数定义域.
当函数有多个单调递增区间（或单调递减区间）时，不能用“∪”连接，要用“逗号”或“和”隔开.
当不等式f'（x）＞0（或f'（x）＜0）不可解时，可通过二次求导，分析f'（x）的零点情况，借助图象等得到其解集，进而得到单调区间.
【解题感悟】　求不含参数函数单调区间的步骤与注意点
A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数
C. 双曲正切函数是增函数
ACD
题型 　含参函数的单调性
典例2　（1）（2023·新高考Ⅰ卷节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x.讨论f（x）的单调性.
教材呈现
（人教A选修二P104T19（1））已知函数f（x）＝ae2x＋（a－2）ex－x.
（1）讨论f（x）的单调性；（2）略.
点评：本高考题与教材习题都是通过分类讨论求函数的单调性，解答时首先要确定f（x）的定义域，再求得导函数，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性.
【解题感悟】　利用分类讨论思想解决含参函数单调性问题
利用导数求含参函数的单调区间时，基本策略是分类讨论，注意以下几点：
注意确定函数的定义域，在定义域的限制条件下研究单调区间.
注意观察f'（x）的表达式（或其中的某一部分、某个因式等）的取值是否恒为正（或恒为负），这往往是分类讨论的出发点.
注意结合解含参不等式中分类讨论的一些常用方法，例如：对二次项系数正负的讨论，对判别式Δ的讨论，对根的大小比较的讨论等.
分类讨论要做到不重不漏，同时还要注意对结果进行综述.
对点练2　已知函数f（x）＝2ax3－3（a＋1）x2＋6x＋1（a∈R），试讨论函数f（x）的单调性.
题型 　函数单调性的应用
一、导数与函数图象的关系
D
解析：由题图知，当x＜0时，xf'（x）＞0，则f'（x）＜0，故f（x）在（－∞，0）上单调递减；
当0＜x＜b时，xf'（x）＞0，则f'（x）＞0，故f（x）在（0，b）上单调递增；
当x＞b时，xf'（x）＜0，则f'（x）＜0，故f（x）在（b，＋∞）上单调递减.
综上所述，只有D符合题意.故选D.
【解题感悟】　解决此类导函数图象与原函数图象关系问题的关键点有两个：一是抓住原函数的单调递增区间对应的导函数函数值为正、原函数的单调递减区间对应的导函数函数值为负；二是抓住函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映导函数图象在相应点处的变化情况.
A. 在（－1，1）单调递减
D. 在[1，2]单调递减
B
故选B.
A. x＞y＞z B. x＞z＞y
C. y＞x＞z D. y＞z＞x
D
A. （－∞，－1） B. （－1，＋∞）
C. （2，＋∞） D. （－∞，2）
D
解析：令g（x）＝f（x）－x2，则g'（x）＝f'（x）－2x＜0，即函数g（x）在R上单调递减.又不等式f（x）＞x2－1可化为f（x）－x2＞－1，而g（2）＝f（2）－22＝3－4＝－1，所以该不等式可化为g（x）＞g（2），故该不等式的解集为（－∞，2）.故选D.
【解题感悟】　利用导数比较大小或解不等式的方法
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件判断已知（或构造后的）函数的单调性，利用其单调性比较大小.
利用函数的单调性解不等式的关键是首先判断函数的单调性，易错之处是忽视函数的定义域.
AC
A. e2 B. e C. e－1 D. e－2
C
[变式探究]　（1）（变条件、变问法）在本典例中，若函数f（x）在区间（1，2）上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.
（2）（变条件、变问法）若函数f（x）在区间（1，2）上不单调，求实数a的取值范围.
【解题感悟】　根据函数单调性求参数的方法
f（x）为增（减）函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f'（x）≥0（f'（x）≤0），且在（a，b）内的任一非空子区间上，f'（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
函数在区间（a，b）上存在单调区间，实际上就是f'（x）＞0（或f'（x）＜0）在该区间上存在解集.
若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f'（x）＝0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数是否异号）.
对点练5　已知函数f（x）＝ex－x＋axln x.
（1）当a＝1时，求f'（x）的单调区间；
（2）当f（x）在[1，＋∞）上单调递增，求a的取值范围.
限时跟踪检测（十八）　导数与函数的单调性
A. －4 B. －1 C. 1 D. 4
解析：易知f'（x）＝x2－3x＋a，由题意知f'（x）≤0的解集为[－1，4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝－1×4＝－4.故选A.
A
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A. 函数f（x）在区间（－2，1）上单调递增
B. 函数f（x）在区间（1，3）上单调递减
C. 函数f（x）在区间（4，5）上单调递增
D. 函数f（x）在区间（－3，－2）上单调递增
解析：由题中导函数的图象可知，当－1＜x＜2或4＜x＜5时，f'（x）＞0，所以f（x）在区间（－1，2），（4，5）上单调递增，故C正确；当2＜x＜4时，f'（x）＜0，所以f（x）在区间（2，4）上单调递减，当－3＜x＜－1时，f'（x）＜0，所以f（x）在区间（－3，－1）上单调递减，故A，B，D错误.故选C.
C
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A. （－∞，－3）∪（－1，0）∪（1，＋∞）
B. （－∞，－3）∪（－1，0）∪（0，1）
C. （－3，－1）∪（1，＋∞）
D. （－3，－1）∪（0，1）
A
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A. （－∞，－3] B. （－3，1）
C. [1，＋∞） D. （－∞，－3]∪[1，＋∞）
解得a≥1或a≤－3.
所以当函数f（x）在区间[－1，2]上不单调时，－3＜a＜1.故选B.
B
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A. （－∞，－3） B. （－3，3）
D. （－3，＋∞）
C
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A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. c＜a＜b D. a＜c＜b
C
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A. e C. 1 D. 0
C
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A. f（3）＜ef（2） B. ef（0）＜f（1）
C. e2f（－1）＞f（1） D. ef（1）＜f（2）
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A. f（x）＝ex B. f（x）＝x2
C. f（x）＝ln x D. f（x）＝ sin x
ACD
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（3，＋∞）　
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f（a）＜f（b）　
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四、解答题
13. 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋a，a∈R.
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
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A. b＜a＜c B. c＜b＜a
C. a＜c＜b D. c＜a＜b
A
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