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(共48张PPT)
第4讲　高考中的导数综合问题
第1课时　利用导数研究恒成立或存在性问题
第四章　一元函数的导数及其应用
题型研讨
题型 　分离参数法求参数范围
【解题感悟】　 分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，这要比分类讨论法简便很多.
a≥f（x）恒成立 a≥f（x）max；
a≤f（x）恒成立 a≤f（x）min；
a≥f（x）能成立 a≥f（x）min；
a≤f（x）能成立 a≤f（x）max.
题型 　分类讨论法求参数范围
典例2　（2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝（1－ax）ln（1＋x）－x.
（1）当a＝－2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.
【解题感悟】　“等价转化法”解决不等式恒成立问题
在不等式恒成立问题中，如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求，可以把含参不等式整理成f（x，a）＞0或f（x，a）≥0的形式，然后从研究函数的性质入手，通过讨论函数的单调性和极值，直接用参数表达函数的最值，然后根据题意，建立关于参数的不等式，解不等式即得参数的取值范围.
如果f（x，a）有最小值g（a），则f（x，a）＞0恒成立 g（a）＞0，f（x，a）≥0恒成立 g（a）≥0.
如果f（x，a）有最大值g（a），则f（x，a）＜0恒成立 g（a）＜0，f（x，a）≤0恒成立 g（a）≤0.
（e，＋∞）　
题型 　双变量的恒（能）成立问题
（1）如果存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）－g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
【解题感悟】　双参数不等式问题的求解方法
一般采用等价转化法：
x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f（x1）＞g（x2） f（x）在[a，b]上的最小值＞g（x）在[c，d]上的最大值.
x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f（x1）＞g（x2） f（x）在[a，b]上的最大值＞g（x）在[c，d]上的最小值.
x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，f（x1）＞g（x2） f（x）在[a，b]上的最小值＞g（x）在[c，d]上的最小值.
x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，f（x1）＞g（x2） f（x）在[a，b]上的最大值＞g（x）在[c，d]上的最大值.
对点练3　（2026·汕头联考改编）设函数f（x）＝（x－1）（ex－e），g（x）＝ex－ax－1，若 x2∈[0，＋∞），都 x1∈R，使得不等式f（x1）≤g（x2）成立，求a的最大值.
解：由题意，f（x）＝（x－1）（ex－e），x∈R，
当x＜1时，x－1＜0，ex－e＜0，
∴f（x）＞0，当x≥1时，x－1≥0，ex－e≥0，
∴f（x）≥0，∴f（x）≥0恒成立，
且f（x）min＝f（1）＝0.
∵ x2∈[0，＋∞），都 x1∈R，使得不等式f（x1）≤g（x2）成立，
∴ x2∈[0，＋∞），f（x1）min≤g（x2）恒成立，
∴ x2∈[0，＋∞），g（x2）≥0恒成立，
即 x∈[0，＋∞），g（x）＝ex－ax－1≥0恒成立.
∴a≤1，即a的最大值为1.
[教材拓展]　洛必达法则　端点效应
一、洛必达法则
2. 洛必达法则
典例1　（1）（2026·深圳模拟）已知函数f（x）＝（x＋1）ln（x＋1）.若对任意x＞0都有f（x）＞ax成立，求实数a的取值范围.
（2）已知函数f（x）＝2ax3＋x.当x∈（1，＋∞）时，恒有f（x）＞x3－a，求a的取值范围.
二、端点效应
1. 端点效应的概念：假设题干给出含参不等式f（x）≥0在[0，＋∞）上恒成立，求参数a的取值范围.若f（x）恰好满足f（0）＝0，则称该不等式具有端点效应.
2. 具有端点效应的含参不等式恒成立问题的一种常用的解题方法是带参讨论，寻找讨论的分界点是解题的关键.既然f（x）≥0要恒成立，且f（0）＝0，那么f（x）在x＝0右侧附近函数值不能减少，所以f'（0）≥0，由此可得到f（x）≥0成立的必要条件f'（0）≥0（不一定是充分条件），从而找到讨论的分界点.之后，再讨论所求的必要条件的充分性.
3. 端点效应的类型
（1）如果函数f（x）在区间[a，b]上，f（x）≥0恒成立，则f（a）≥0或f（b）≥0.
（2）如果函数f（x）在区间[a，b]上，f（x）≥0恒成立，且f（a）＝0（或f（b）＝0），则f'（a）≥0（或f'（b）≤0）.
（3）如果函数f（x）在区间[a，b]上，f（x）≥0恒成立，且f（a）＝0，f'（a）＝0（或f（b）＝0，f'（b）＝0），则f″（a）≥0（或f″（b）≤0）.
典例2　（1）设函数f（x）＝ex－1－x－ax2.当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.
（2）设函数f（x）＝ln（1＋x），g（x）＝xf'（x），x≥0，若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围.
限时跟踪检测（二十）　利用导数研究恒成立或存在性问题
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所以c的取值范围是（－∞，－1－ln 2].
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3. （2026·海南琼海市高考模拟）已知函数f（x）＝a（x－1）－ln x（a∈R）.
（1）求函数f（x）的单调区间；
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（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值集合.
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（2）若a＞0且f（x）≤g（x）恒成立，求a的最小值.
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高分推荐题
（1）若b＝0，且f'（x）≥0，求a的最小值；
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（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；
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（3）若f（x）＞－2当且仅当1＜x＜2，求实数b的取值范围.
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