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应城市(2025-2026)第一学期期末考试九年级
数 学
(本卷满分120分，考试时间120分钟)
温馨提示：
1.答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在试卷和答题卡上的指定位置。
2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效。
3.本试卷满分120分，考试时间 120分钟。
一、选择题(共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2.方程 化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A.1,- 2,9 B.1,2,- 9 C.- 1,2,9 D.1,2,9
3.二次函数 图象的顶点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.下列事件中，是随机事件的是( )
A.任意画一个三角形，其内角和为180° B.通常加热到100℃时，水沸腾
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D.掷一次骰子，出现的点数为7
5.点(2,- 3)在函数 图象上，下列说法中错误的是( )
A.它的图象分布在二、四象限 B.当x>0时，y的值随x的增大而增大
C.当x<0时，y的值随x的增大而减小 D.它的图象过点(-1, 6)
6.将抛物线 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是( )
A. B.
C. D.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C',使点C'落在AB边上,连接BB',则BB'的长度是( )
A.1 B.2 C. D.
8.刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形.若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为( )
A. B. C.3 D.π
9.如图,四边形ABCD内接于⊙O, BC=CD, ∠BCD=120°, ⊙O的半径为3,则弦BC的长为( )
A.3 B. C. D.4
10.抛物线 的对称轴是直线x=1，与x轴负半轴的交点坐标为(x ，0)，且 与y轴交于点(0，1)，则下列结论中，正确的是( )
A.abc>0 B.4a+2b+c>1 C. D.
二、填空题(共5题，每题3分，共15分)
11.已知点A关于原点成中心对称的点的坐标为(1，—2)，则点A的坐标为 ★ .
12.一元二次方程 的两根为a，b，则 的值为 ★ .
13.抛物线 与x轴没有交点，请写出一个符合条件的a的值为 ★ .
14.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条OA，OB 的夹角为 半径 OA=30cm,则弧AB的长为 ★ .
15.如图,在 Rt△ABC中,将绕点A 逆时针旋转得到△AB'C', AB'∥CB, B'C'的延长线与BC交于点 D,则CD的长为 ★ .
三、解答题(共9题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(6分=3分+3分)
解方程： (2)x(x-2)=-4(x-2).
17.(6分=3分+3分)
如图是10×10网格，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上.
(1)将△ABC绕点C顺时针旋转90°;得到△A'B'C,画出
(2)在(1)中，求线段AB扫过部分的面积.
18. (6分=2分+4分)
某校开展了“阳光体育展风采，健康体魄向未来”长跑活动.由于报名参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成，小红和小军已报名参加长跑活动.
(1)求小红被分配到A组的概率；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小红和小军被分配到同一组的概率.
19. (8分=4分+4分)
已知关于x的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根x ,x 满足 求k的值.
20. (8分=3分+2分+3分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数.y=x+1与反比例函数 的图象交于点A(2, a)和点B(b, - 2),与x轴交于点 D,
(1)求a,b,k的值;
(2)观察图象，直接写出当 时，x的取值范围；
(3)C是x轴上一点，且满足△ABC的面积等于10.求点C坐标.
21.(8分=4分+4分)
如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，，垂足为点 D，点 E在AB的延长线上，连接CE，满足
(1)求证: CE与⊙O相切;
(2)若OD=3,BD=2, 求BE的长.
22. (10分=4分+3分+3分)
某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元.经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的关系式为y=-2x+280.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w(元).
(1)求w关于x的函数解析式；
(2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克
(3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大 最大销售利润是多少
23.(11分=3分+4分+4分)
如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC边上的一点(不与点B，C重合)，连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE.
(1)求证: BD=CE ;
(2)如图2,∠DAE的平分线交BC于点F.
①试探究三线段 BD，DF，CF之间有何数量关系，并予以证明；
②若BD=4, CF=3,求AF的长.
24. (12分=3分+4分+5分)
如图，抛物线 (a, b为常数,且a≠0)交x轴于A(-1,0),B(3, 0)两点,交y轴于点 C,连接AC,BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上一动点,连接 PC,当∠PCB=∠OBC时,求点P 的坐标;
(3)将抛物线沿CA方向平移2个单位长度得到抛物线C ，点M在抛物线C 的对称轴上，点N在抛物线上C ，当以点M，N，B，C为顶点的四边形为平行四边形时，求点 M的坐标.
湖北孝感市应城市2025-2026学年第一学期期末考试
九年级数学答案
一、选择题
1.D
2.B
3.B
4.C
5.C
6.D
7.B
8.C
9.A
10.B
二、填空题
11.(-1,2)
12.0
13.1（答案不唯一，a>0即可）
14.25π
15.1
三、解答题
16. (1)解：
(2)解：
或
17.（1）
（2）解：根据题意可得：
AB扫过面积
18.（1）根据题意可知：小红可能被分配到：A组、B组、C组三种情况
所以,P(小红分到A组)
（2）
小红 小军 A B C
A (A, A) (B, A) (C, A)
B (A, B) (B, B) (C, B)
C (A, C) (B, C) (C, C)
所以小红和小军分配到同一组得概率：P(同组)
19.(1)证明：在方程 中，,,,
则
因为 所以
所以不论为何值，方程总有两个实数根。
(2)解：在方程 中，,,,
所以 。
因为 所以+,
解得。
所以的值为3。
20. (1) (1)已知点A(2, a)在一次函数的图象上，
∴将代入，得，即。
∵点在一次函数的图象上，
∴将代入，得，解得，即。
又∵反比例函数的图象过点，
∴将代入，得，解得。
综上，
(2) 观察图象，当时，x的取值范围：
由一次函数与反比例函数的交点，结合图象可得，
x的取值范围是或。
(3) 求点C的坐标：
∵一次函数与x轴交于点D，
∴令，得，解得，
∴
设点C的坐标为，则
的面积可表示为与的面积之和，
∴。
已知，所以，解得，
即，解得或。
所以点C的坐标为或。
21.(1)证明:连接OC。
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵OC是⊙O 的半径
∴CE与⊙O 相切
(2)解:∵
∴
在中,由勾股定理得:
∵
∴
即
设 ,则
∵
解得
答：BE的长为
22. (1)已知销售利润w (元)、销售单价x (元/千克)、成本60元/千克以及销售量y (千克)的关系为, 又因为,所以。
可得: 。
答：w关于x的函数解析式为 。
(2)当ω=3000时,可得方程 =3000。
化简得=-1500，
移项
可得,
则或,
解得
答：销售单价应定为90元/千克或110元/千克。
(3)由 得：
因为二次项系数-2<0，所以该二次函数图象开口向下，有最大值。
当x = 100时, w有最大值3200。
答：当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元。
23.(1)证明:
由旋转的性质可知：。
在 和 中，
(2)①解:BD,DF,CF 之间的数量关系为:
证明如下：过点 A作 AG⊥BC于点G。
∵,
∴。
∵AF平分,
∴。
在和F中,
∴。
∴。
由(1)知,
∴。
∴。
在中，由勾股定理得：
∵,
∴
②解:由①得
∵,
∴ 即。
∴。
∵
∴G为BC中点,
∴。
∴。
∴ 。
在 中，由勾股定理得：
答：AF 的长为
24.（(1) 求抛物线的解析式
已知抛物线 交 x 轴于 两点，将两点坐标代入解析式：
把 代入，得 ，即；
把 代入，得，即。
联立方程组，解得。
所以抛物线的解析式为 。
(2) 当 时，求点 P 的坐标
首先，求点 C 的坐标：令，得 ，所以 。
已知 ，则
故，即。
分两种情况讨论：
① 点 P 在 BC 上方：
过点 C 作 轴，此时，CP 上的点纵坐标与 C 相同，为 。
令 ，代入抛物线解析式：，整理得 ，解得（点 C，舍去）或，故 。
② 点 P 在 BC 下方：
设直线 CP 的解析式为 ，结合，求得直线 CP 的斜率为，解析式为。
联立直线与抛物线解析式：，整理得 ，解得 （点 C，舍去）或 ，此时，故 。
综上，点 P 的坐标为 或 。
(3) 求点 M 的坐标
首先，抛物线 C 的对称轴为 ，设。
点 ，，沿 CA 方向平移 2 个单位。
抛物线 C 的顶点为 ，平移后抛物线 C 的顶点为，解析式为 。
设 ，分三种情况讨论平行四边形：
① BC 为对角线：
BC 中点为，MN 中点与 BC 中点重合，故，解得，代入，得 ，即 。
② BM 为对角线：
BM 中点为，CN 中点与 BM 中点重合，故，解得，代入得 =，故 ，即 。
③ BN 为对角线：
BN 中点为 ，CM 中点与 BN 中点重合，故，，解得 ，代入 ，得，即 。
综上，点 M 的坐标为
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