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第3讲　导数与函数的极值、最值
第四章　一元函数的导数及其应用
慧学教材
都小　
f'（x）＜0　
f'
（x）＞0　
都大　
f'（x）＞0　
f'
（x）＜0　
3. 函数的极值与极值点
极小值点和极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
[微提醒]　（1）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点.
（2）在一个给定的区间上，函数可能有多个极值点，也可能不存在极值点.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.
连续不断　
极值　
端点处的函数值f（a），f（b）　
最大　
最小　
三　关于函数极值、最值的几点结论
1. 对于可导函数f（x），f'（x0）＝0是函数f（x）在x＝x0处有极值的必要不充分条件.
2. 若函数f（x）的图象连续不断，则f（x）在区间[a，b]上一定有最值.
3. 若函数f（x）在区间[a，b]上是单调函数，则f（x）一定在区间端点处取得最值.
4. 若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.


√
√
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：由题意知在x＝－1处f'（－1）＝0，且其两侧导数值符号左负右正.
A
【教材改编】
解析：f'（x）＝（x－c）2＋2x（x－c）＝3x2－4cx＋c2.由题意知f'（x）有变号零点，∴Δ＝16c2－12c2＝4c2＞0，解得c≠0，即c∈（－∞，0）∪（0，＋∞）.
－10　
（－∞，0）∪（0，＋∞）　
题型研讨
题型 　函数极值问题
一、根据函数图象判断极值
AD
A. f（－2）＞f（－1）
B. x＝1是f（x）的极小值点
C. 函数f（x）在（－1，1）上有极大值
D. x＝－3是f（x）的极大值点
解析：由y＝f'（x）的图象可知，当x∈（－∞，－3）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增；当x∈（－3，－1）时，f'（x）＜0，所以函数f（x）单调递减，因此有f（－2）＞f（－1），x＝－3是f（x）的极大值点，所以A，D正确；当x∈（－1，1）或x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，因此函数f（x）在（－1，1）上没有极大值，且x＝1不是f（x）的极小值点，所以B，C不正确.故选AD.
【解题感悟】　由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住的两点
由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点，本例中f'（x）＝0的零点有3个，x1＝－3，x2＝－1，x3＝1.
由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点，本例中的x＝1并不是极值点.
A. 函数f（x）在x＝－2处取得极大值
B. 函数f（x）在x＝1处取得极值
C. f（x）在区间（－2，3）上单调递减
D. f（x）的图象在x＝0处的切线斜率小于零
ACD
解析：由题图可得，当x＜－2时，f'（x）＞0，当－2＜x＜3时，f'（x）≤0且不恒为0，故函数f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，3）上单调递减，故C正确；可得函数f（x）在x＝－2处取得极大值，故A正确；因为－2＜x＜1时，f'（x）＜0，1＜x＜3时，f'（x）＜0，故f（x）在x＝1处没有取得极值，故B错误；因为f'（0）＜0，所以f（x）的图象在x＝0处的切线斜率小于零，故D正确.故选ACD.
二、求函数的极值问题
典例2　已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）.
x （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 单调递增 ln 2－1 单调递减
故f（x）极大值＝f（2）＝ln 2－1，无极小值.
（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.
【解题感悟】　 求解函数极值的一般流程
求函数的定义域→求导函数f'（x）（注意：能因式分解的尽量因式分解）→求方程f'（x）＝0在定义域内的全部实根（注意：若不能直接解得导数的零点，则可尝试观察导数的表达式，得出其中的一个零点，再结合导数的单调性判断）→检查使f'（x）＝0的点的左右两侧导数是否异号，若异号，则为f（x）的极值点，否则不是极值点.
根据导函数的符号来判断函数的极值
x （－∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
注意：f（x）的单调性只与f'（x）的符号有关，与f'（x）的变化趋势无关.
解析：因为f（x）＝x3－3x2＋x，所以f'（x）＝3x2－6x＋1，
令f'（x）＝0，得到3x2－6x＋1＝0，
2　
三、已知极值（点）求参数
A. bc＞0 B. ab＞0 C. b2＋8ac＞0 D. ac＜0
BCD
A. a＜b B. a＞b C. ab＜a2 D. ab＞a2
D
（3）（2024·新课标Ⅱ卷节选）已知函数f（x）＝ex－ax－a3.若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
所以函数g（a）在（0，＋∞）上单调递减，
又g（1）＝0，故当0＜a≤1时，g（a）≥0；当a＞1时，g（a）＜0.
故实数a的取值范围为（1，＋∞）.
【解题感悟】　 已知函数极值点或极值求参数的两个要领.
·列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
·验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
由极值存在性求参数，常转化为f'（x）＝0存在穿透x轴的零点.
（2）若x＝1是f（x）的极小值点，求b的取值范围.
题型 　函数最值问题
一、求函数的最值
D
（2）已知函数f（x）＝xln x－a（x－1），求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值.
解：f（x）＝xln x－a（x－1），
则f'（x）＝ln x＋1－a，
由f'（x）＝0，得x＝ea－1.
所以f（x）在区间（0，ea－1）上单调递减，在区间（ea－1，＋∞）上单调递增.
①当ea－1≤1，即a≤1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）的最小值为f（1）＝0.
③当ea－1≥e，即a≥2时，f（x）在[1，e]上单调递减，所以f（x）的最小值为f（e）＝a＋e－ae.
综上，当a≤1时，f（x）的最小值为0；
当1＜a＜2时，f（x）的最小值为a－ea－1；
当a≥2时，f（x）的最小值为a＋e－ae.
②当1＜ea－1＜e，即1＜a＜2时，f（x）在[1，ea－1]上单调递减，在（ea－1，e]上单调递增，所以f（x）的最小值为f（ea－1）＝a－ea－1.
对点练4　已知函数f（x）＝ln x－x2.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在（0，a]（a＞0）上的最大值.
A. [－1，2）
D. [－1，1）
A
解析：由题意得f'（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）.
当f'（x）＞0时，得x＜0或x＞2，
当f'（x）＜0时，得0＜x＜2，
故函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），单调递减区间为（0，2），
即x＝2时，函数f（x）取得极小值f（2）＝－1，画出f（x）的图象如图.
当x3－3x2＋3＝－1时，（x＋1）（x－2）2＝0，
解得－1≤a＜2，
即实数a的取值范围为[－1，2）.
【解题感悟】　利用最值求参数的值或范围是高考命题的热点，热度一直不减，常考常新，具有非常旺盛的生命力，一定要引起重视，有时与恒成立问题综合命题.
对点练5　已知函数f（x）＝ax＋ln x，其中a为常数.
（1）当a＝－1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为－3，求a的值.
A. －4 B. －3 C. －2 D. －1
A
解析：令f（x）＝x3＋6x2＋13x，
则f'（x）＝3x2＋12x＋13，
令h（x）＝3x2＋12x＋13，h'（x）＝6x＋12＝0，
A. 当a＞1时，f（x）有三个零点
B. 当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点
C. 存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴
D. 存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心
AD
解析：由题可知，f'（x）＝6x（x－a）.
对于A，当a＞1时，由f'（x）＜0得0＜x＜a，
由f'（x）＞0得x＜0或x＞a，
则f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，
且当x→－∞时，f（x）→－∞，
f（0）＝1，f（a）＝－a3＋1＜0，
当x→＋∞时，f（x）→＋∞，
故f（x）有三个零点，A正确；
对于B，当a＜0时，由f'（x）＜0得a＜x＜0，
由f'（x）＞0得x＞0或x＜a，
题型 　生活中的优化问题
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
x （3，4） 4 （4，6）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ 极大值42 ↘
由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）上的极大值点，也是最大值点.
所以当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42.
则当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【解题感悟】　利用导数解决生活中优化问题的方法
求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最值点.
对点练7　（2026·山东德州模拟）高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，促进了区域经济和社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N*.经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时，高铁为满载状态，载客量为1 200人；当2≤t＜10时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与（10－t）2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人.设发车时间间隔为t分钟时，高铁载客量为P（t）.
（1）求P（t）的表达式；
限时跟踪检测（十九）　导数与函数的极值、最值
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知，f'（x）在（a，b）上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f（x）的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.故选B.
B
1
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A. 2ln 2－2 B. 2ln 2＋2 C. ln 2－2 D. ln 2＋2
A
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A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
解析：由题可得f'（x）＝（x－c）2＋2x（x－c）＝3x2－4cx＋c2.因为函数f（x）＝x（x－c）2在x＝2处有极大值，所以f'（2）＝0，即12－8c＋c2＝0，解得c＝6或c＝2.经检验，当c＝2时，函数f（x）在x＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去，故c＝6.故选A.
A. （－∞，－2） B. （－∞，－3）
C. （－4，－1） D. （－3，0）
A
B
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A. [－3，＋∞） B. （－3，＋∞）
C. （－∞，－3） D. （－∞，－3]
解析：由题意知f'（x）＝3x2＋6x－9，令f'（x）＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f'（x），f（x）随x的变化情况如表，
x （－∞，
－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
又f（－3）＝28，f（2）＝3，f（x）在区间[k，2]上的最大值为28，所以k≤－3.
D
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A. 30 000元 B. 60 000元
C. 28 000元 D. 23 000元
解析：设毛利润为L（p）元，由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－20）＝（8 300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11 700p－166 000（p≥20），所以L'（p）＝－3p2－300p＋11 700.令L'（p）＝0，解得p＝30或p＝－130（舍去）.因为当20≤p＜30时，L'（p）＞0，当p＞30时，L'（p）＜0，所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）也是最大值，此时，L（30）＝23 000，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.故选D.
D
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A. 1 B. e D. e－e
C
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B. （－∞，0）
D. （0，＋∞）
A
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A. f（a）＜f（b）＜f（c） B. f（e）＜f（d）＜f（c）
C. x＝c时，f（x）取得最大值 D. x＝d时，f（x）取得最小值
AB
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解析：由f'（x）的图象可知，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（c，e）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减.∵a＜b＜c，∴f（a）＜f（b）＜f（c），A正确；∵c＜d＜e，∴f（e）＜f（d）＜f（c），B正确；由单调性知f（c）为极大值，当x0＞e时，可能存在f（x0）＞f（c），C错误；由单调性知f（e）＜f（d），D错误.
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A. 函数f（x）在（－∞，0），（2，＋∞）上单调递增
B. x＝2是函数f（x）的极大值点
C. 函数f（x）有3个零点
D. 若函数f（x）在区间（3a－1，a＋3）上存在最小值，则实数a的取值范围为（－3，0]
BCD
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解析：f'（x）＝－3x2＋6x＝－3x（x－2），
当x＜0或x＞2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以函数f（x）在（－∞，0），（2，＋∞）上单调递减，故A错误；
由A知，x＝2是函数f（x）的极大值点，故B正确；
由A知，x＝0是函数f（x）的极小值点，且f（2）＝－23＋3×22－2＝2＞0，
f（0）＝－03＋3×02－2＝－2＜0，
所以f（x）在x∈（0，2）上有1个零点，
又f（－1）＝－（－1）3＋3×（－1）2－2＝2＞0，
f（3）＝－33＋3×32－2＝－2＜0，
所以f（x）在x∈（－∞，0），x∈（2，＋∞）上各有1个零点，
所以函数f（x）有3个零点，故C正确；
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三、填空题
解析：函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的定义域为（0，＋∞）.
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四、解答题
13. 已知函数f（x）＝ax－1－ln x（a∈R）.
（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
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（2）若函数f（x）在x＝1处取到极值，对任意x∈（0，＋∞），f（x）≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围.
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高分推荐题
14. （2024·新课标Ⅱ卷）已知函数f（x）＝ex－ax－a3.
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex－x－1，f'（x）＝ex－1，则切线斜率为k＝f'（1）＝e－1，
又∵f（1）＝e－1－1＝e－2，切点（1，e－2），
∴切线方程为y－（e－2）＝（e－1）（x－1），整理得y＝（e－1）x－1.
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（2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
解：（2）∵f（x）＝ex－ax－a3，∴f'（x）＝ex－a.
①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）单调递增，
无极值，不符合题意，故a≤0时不成立.
②当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln a，
当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
∴x＝ln a时f（x）有极小值，
极小值为f（ln a）＝eln a－aln a－a3＝a－aln a－a3.
又∵极小值小于0，∴a－aln a－a3＜0，
又∵a＞0，∴1－ln a－a2＜0，
设g（a）＝1－ln a－a2，a∈（0，＋∞），
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