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第1讲　任意角、弧度制及三角函数的概念
第五章　三角函数
慧学教材
复习要点　1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
一　角的概念的推广
二　弧度制的定义和公式
定义 长度等于 　半径长　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad
弧度数
公式
角度与弧
度的换算
弧长公式 弧长l＝ 　｜α｜r　
扇形面积
公式
半径长　
｜α｜r　
y　
x　
3. 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
　 　
4. 特殊角的三角函数值表
角α 弧度 正弦值 sin α 余弦值 cos α 正切值tan α
0° 0 0 1 0
30°
45° 1
60°
90° 1 0 不存在
120°
135° －1
150°
180° π 0 －1 0
270° －1 0 不存在
360° 2π 0 1 0




A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第一或二象限角 D. 第一或三象限角
D
【教材改编】
4　
题型研讨
题型 　任意角的概念
一、终边相同的角与象限角
A. 终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α｜α＝2kπ，k∈Z}
B. 终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}
D. 在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
AD
解析：终边落在射线OA上的角的集合是{β｜β＝k·360°＋30°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合是{γ｜γ＝k·360°＋105°，k∈Z}，所以终边落在阴影部分（含射线OA，不含射线OB）的角的集合是{α｜k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}.
{α｜k·360°＋30°≤α＜
k·360°＋105°，k∈Z}　
【解题感悟】　 终边相同的角的集合的应用
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角.
方法：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
角α，β终边的位置关系
终边相同 α－β＝2k·180°，k∈Z；
终边互为反向延长线 α－β＝（2k＋1）·180°，k∈Z；
终边在一条直线上 α－β＝k·180°，k∈Z；
终边关于x轴对称 α＋β＝2k·180°，k∈Z；
终边关于y轴对称 α＋β＝（2k＋1）·180°，k∈Z.
注意：可在坐标系中画出角α，β的终边，根据图象判断角α，β的终边的位置关系.
C
A. 第二或第四象限角 B. 第一或第三象限角
C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角
A
A. －α是第一象限角
D. 2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角
D
【解题感悟】　判断角的终边所在的象限的方法
判断θ的终边在哪个象限，只需把θ改写成θ0＋k·360°，k∈Z，其中θ0∈[0°，360°）即可.
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析：因为角2α的终边在x轴的上方，
所以k·360°＜2α＜k·360°＋180°，k∈Z，
则有k·180°＜α＜k·180°＋90°，k∈Z.
故当k＝2n，n∈Z时，n·360°＜α＜n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°＜α＜n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角.故选AC.
AC
①　
题型 　弧长与扇形的面积公式
B
[变式探究]　（1）（变设问）若本典例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
（2）（变结论）若本典例条件变为：若扇形AOB的周长为4，求扇形AOB面积的最大值.
A. 扇形的半径为2 B. 扇形的半径为1
C. 圆心角的弧度数是1 D. 圆心角的弧度数是2
ABC
A. 8.2 cm2 B. 9.1 cm2 C. 11.1 cm2 D. 4.1 cm2
C
在△AOD中，R2＝（R－2）2＋42，
题型 　三角函数的定义
D. tan α＝±1
C
C
【解题感悟】　考查三角函数定义的三种常见题型及解决方法
已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解.
已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值
方法：先求出点P到原点的距离（带参数），再根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题 .
已知角α的终边所在的直线方程（y＝kx，k≠0），求角α的三角函数值
方法：先设出终边上一点P（a，ka），a≠0，求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意a的符号，对a分类讨论）.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值.
C
题型 　三角函数值符号的判断
A. cos 2α＞0 B. cos 2α＜0
C. sin 2α＞0 D. sin 2α＜0
D
①③（或①⑤或③⑤或①③⑤）　
①④（或①⑥或④⑥或①④⑥）　
②④（或②⑤或④⑤或②④⑤）　
②③（或②⑥或③⑥或②③⑥）　
【解题感悟】　 利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P（非顶点）的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值和相关条件，可以求出点P的坐标；已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，也可求角α终边上某特定点的坐标.
在判断三角函数值的符号时，应确定角的终边所在的象限，再结合三角函数值在各象限的符号来确定所求三角函数值的符号.特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
A. 小于0 B. 大于0 C. 等于0 D. 不确定
C
A
限时跟踪检测（二十三）　任意角、弧度制及三角函数的概念
A. 第一、三象限 B. 第一、二象限
C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
解析：因为α＝k·180°＋135°，k∈Z，所以当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋135°＝n·360°＋315°，n∈Z，其终边在第四象限；当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋135°＝n·360°＋135°，n∈Z，其终边在第二象限.综上，α的终边在第二、四象限.故选C.
C
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A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
B
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A. 小于0 B. 大于0 C. 等于0 D. 不存在
A
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A. 4 C. 2 D. 1
B. π cm2 C. 2π cm2 D. 4π cm2
C
C
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A. 5 400π cm B. 90π cm C. 180π cm D. 40π cm
B
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A. 2
C
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B. α为钝角
D. 点（tan θ，tan α）在第四象限
ACD
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A. sin α＋ cos α B. sin α－ cos α
C. sin α cos α
CD
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三、填空题
1 cm　
±2　
1 cm2　
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四、解答题
13. 已知角α满足 sin α＜0，且tan α＞0.
（1）求角α的集合；
（2）判断π－α是第几象限角；
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