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分课时学案
课题 21.4.2二次函数的应用 单元 21 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.掌握将一般式y=ax +bx+c通过配方法转化为顶点式y=a(x-h) +k 2.能准确求出抛物线的顶点坐标、对称轴、开口方向等性质 3.理解二次函数各项系数对图象的影响
重点 掌握将一般式y=ax +bx+c通过配方法转化为顶点式y=a(x-h) +k
难点 理解二次函数各项系数对图象的影响
教学过程
导入新课 复习提问，温故孕新 建立适当的平面直角坐标系解决二次函数应用题的一般步骤：
新知讲解 创设情境，引入课题 它们的形状和我们学习过的二次函数的图像相似，都是抛物线，如何研究它们，这是本节课的学习内容。 合作探究，活动领悟 思如图,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线的一部分,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离AB为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)以AB所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图，求这条抛物线对应的函数表达式; (2)计算距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长. 归纳 建立平面直角坐标系解决抛物线形的隧道、拱门和大桥等实际问题的一般步骤： ① 建立的坐标系能使求出的二次函数表达式比较简单； ② 将已知条件转化为点的坐标； ③ 合理地设出所求函数关系式； ④ 代入已知条件或点的坐标求出关系式； ⑤ 利用关系式求解问题. 师生互动，变式深化 例、如图①是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m.当水面下降1 m时,水面宽度增加多少 在解决这个问题时,小明建立了如图②所示的平面直角坐标系,AB=4 m,OD=2 m,水面下降1 m得到水面MN.根据小明建立的坐标系,解决下列问题: (1)求拱桥所在抛物线对应的函数表达式; (2)求MN-AB的值. 注意：不管以哪个位置作为坐标原点建立坐标系,虽然得到的函数表达式会不同,但最终解决实际问题的结论是不变的.
巩固训练 1.如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y＝－x2，当水面离桥顶的高度为 m时，水面的宽度为 （ ） A.8 m B.9 m C.10 m D.11 m 2.如图，一个拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度CM是16 m，跨度AB是40 m，则在线段AB上离中心M 5 m处的地方，桥距离线段AB的高度是(　　) A.14 m B.15 m C.13 m D.12 m 3. 如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线形，拱高8m，跨度24m，相邻两支柱间的距离均为6m，则支柱MN的长度为 　　m. 4.某大学的校门是如图所示的抛物线形水泥建筑物，大门内侧的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，那么校门内侧最高点距地面的高度是____米. 5.如图，一条隧道的截面由一段抛物线和一个矩形组成，矩形的较长边AB为20m，较短边AE为2m，抛物线的最高点C到地面EF的距离为6m，隧道内的路面为双向行车道(正中间是一条宽1m的隔离带). (1)若以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，试求出该抛物线对应的函数表达式. (2)现有一辆满载货物的汽车，已知汽车高为5 m，宽为3.5 m，它能安全通过该隧道吗？请说明理由.
作业布置 1.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管 喷出， .根据某方向上水流的抛物线路径的形状建立图6所示 的平面直角坐标系，当水流与水管 的水平距离为 时， 水流达到最高点 ，最大高度为 ，则该水流的抛物线路径 对应的函数表达式为( ) . A. B. C. D. 2.小明对自己某次投实心球训练的成绩进行分析，如图10，出手点 距地面 ，出手后的运动路线是抛物线，当实心球与出手点的水平距离为 时，实心球达到最高点 ，最大高度为 ，则小明此次训练的成绩为( ) . A. B. C. D. 3.某桥洞的截面是抛物线形,在如图21-4-8所示的平面直角坐标系中,抛物线对应的函数表达式为y=-x2.当桥洞水面的宽AB为12米时,水面到桥拱顶点O的距离为　　米. 某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 . 5.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线形状，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图，以O为坐标原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 已知缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD＝2 m.(桥塔的粗细忽略不计) (1)求缆索L1所在抛物线对应的函数表达式； (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF'，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长.
答案：
复习提问，温故孕新
建立适当的平面直角坐标系解决二次函数应用题的一般步骤：
（1）建立适当的平面直角坐标系；
（2）将已知条件转化为点的坐标；
（3）合理地设出所求函数的表达式；
（4）代入已知条件或点的坐标，求出函数表达式；
（5）利用函数图象和性质求解问题.
课堂练习
尝试练习，巩固提高
1.如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y＝－x2，当水面离桥顶的高度为 m时，水面的宽度为 （ C ）
A.8 m B.9 m
C.10 m D.11 m
2.如图，一个拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度CM是16 m，跨度AB是40 m，则在线段AB上离中心M 5 m处的地方，桥距离线段AB的高度是(　B　)
A.14 m B.15 m C.13 m D.12 m
3. 如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线形，拱高8m，跨度24m，相邻两支柱间的距离均为6m，则支柱MN的长度为 　4　m.
4.某大学的校门是如图所示的抛物线形水泥建筑物，大门内侧的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，那么校门内侧最高点距地面的高度是____米.
5.如图，一条隧道的截面由一段抛物线和一个矩形组成，矩形的较长边AB为20m，较短边AE为2m，抛物线的最高点C到地面EF的距离为6m，隧道内的路面为双向行车道(正中间是一条宽1m的隔离带).
(1)若以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，试求出该抛物线对应的函数表达式.
(2)现有一辆满载货物的汽车，已知汽车高为5 m，宽为3.5 m，它能安全通过该隧道吗？请说明理由.
解：如图，以O为坐标原点，AB所在直线为x轴
建立平面直角坐标系.
根据题意，得A(－10，0)，B(10，0)，C(0，4).
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋4.
将A(－10，0)代入，得100a＋4＝0，
解得a＝－0.04，
∴该抛物线对应的函数表达式为
y＝－0.04x2＋4(－10≤x≤10).
(2)解：能.理由如下：
∵车道正中间有一条宽1 m的隔离带，汽车宽为3.5 m，
∴当x＝0.5＋3.5＝4时，
y＝－0.04×42＋4＝3.36，3.36＋2＝5.36＞5，
∴它能安全通过该隧道.
作业设计
1.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管 喷出，
.根据某方向上水流的抛物线路径的形状建立图6所示
的平面直角坐标系，当水流与水管 的水平距离为 时，
水流达到最高点 ，最大高度为 ，则该水流的抛物线路径
对应的函数表达式为( D ) .
A. B.
C. D.
2.小明对自己某次投实心球训练的成绩进行分析，如图10，出手点 距地面 ，出手后的运动路线是抛物线，当实心球与出手点的水平距离为 时，实心球达到最高点 ，最大高度为 ，则小明此次训练的成绩为( D ) .
A. B. C. D.
3.某桥洞的截面是抛物线形,在如图21-4-8所示的平面直角坐标系中,抛物线对应的函数表达式为y=-x2.当桥洞水面的宽AB为12米时,水面到桥拱顶点O的距离为　9　米.
某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 160m .
5.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线形状，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图，以O为坐标原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
已知缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD＝2 m.(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索L1所在抛物线对应的函数表达式；
(2)点E在缆索L2上，EF⊥FF'，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长.
(1)解：由题意，得AO＝17 m，
∴A(0，17).
∵AO＝BC＝17 m，OC＝100 m，
缆索L1的最低点P到FF ' 的距离PD＝2 m，
∴抛物线的顶点P的坐标为(50，2)，
故可设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－50)2＋2.
将点A的坐标代入y＝a(x－50)2＋2，得2 500a＋2＝17，解得a＝，
∴缆索L1所在抛物线对应的函数表达式为y＝(x－50)2＋2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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