资源简介

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专题01 集合与逻辑
目录导航
知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
基础梳理 自主夯基
考点01集合与元素
考点02集合间的基本关系
考点03集合的基本运算
考点04充分条件与必要条件
高阶思维 探究拓展
难点解读01 容斥原理
素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
高考解密 母题探究
题型01 元素与集合的属于关系的应用
题型02 集合的包含关系的应用
题型03 交集及其运算
题型04 求集合的补集
重点突破 考法深研
重点01 利用集合元素的互异性求参数
重点02 根据集合的包含关系求参数
重点03 交集的概念及运算
重点04 补集的概念及运算
重点05 判断命题的真假
重点06 判断命题的充分不必要条件
重点07 判断命题的必要不充分条件
技法提炼 审题点拨
技法点拨01充要条件的证明问题
易错剖析 避坑攻略
易错点01集合新定义
优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用
知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 集合与元素
（1）集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
（2）元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法
（4）常见数集的记法与关系图
数集 符号
自然数集 N
整数集 Z
有理数集 Q
实数集 R
（5）常见集合的含义
集合
代表元素 方程的根 不等式的解 函数的自变量的取值 函数的函数值 函数图象上的点
【新题对点练】（2026 嘉定区二模）已知集合，，若，则_________．
考点02 集合间的基本关系
表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言
基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 记作（或）
相等 若，且 ，则称这两个集合相等
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
【新题对点练】（2026 奉贤区二模）已知集合，，，若，则实数_________．
考点03 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言
2、交并补集合运算性质
交集的运算性质
性质 说明
两个集合的交集满足交换律
空集与任何集合的交集都为空集
集合与集合本身的交集仍为集合本身
多个集合的交集满足结合律
交集关系与子集关系的转化
两个集合的交集是其中任一集合的子集
并集的运算性质
性质 说明
两个集合的并集满足交换律
任何集合与空集的并集仍为集合本身
集合与集合本身的并集仍为集合本身
多个集合的并集满足结合律
并集关系与子集关系的转化
任何集合都是该集合与另一集合并集的子集
补集的运算性质
性质 说明
任何集合与其补集的并集为全集
任何集合与共补集的交集为空集
任何集合的补集的补集为集合本身
全集的补集为空集，空集的补集为全集
【新题对点练】（2026 黄浦区三模）设全集，2，，，，则_________．
【新题对点练】（2026 宝山区校级模拟）设全集，若集合，2，3，，，则_________．
考点04 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
2、充要条件
（1）充要条件的定义
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作．
此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件．
（2）充要条件的含义：是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同．
（3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价．
【新题对点练】(2026·黄浦区二模)若，是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
难点解读01 容斥原理
在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.例如“在学校文化节前夕某班需要编排一个团体节目，若班里会唱歌的人数为21，会跳舞的人数为18，既会唱歌又会跳舞的人数为6，假定参加团体节目的同学都是在唱歌、跳舞中至少会一种，那么该团体节目最多能安排多少人？”
此时如果令集合是会唱歌的人，是会跳舞的人，那么问题就转化成在已知集合中的元素个数情况下，去求中的元素个数.像这种研究若干集合、集合的交集、集合的并集的元素个数之间的关系，正是容斥原理的应用范畴.
1.集合中元素个数的表示
我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数.
2.二元容斥原理及其内涵
①二元容斥原理：对于集合A,B来说，有
②二元容斥原理的内涵：首先画出韦恩图，由韦恩图可以发现与相比，多算了一次集合中元素的个数，因此需要减掉一次.因此得到二元容斥原理.
此时回到开头的问题，相当于，，，因此根据容斥原理直接得到，因此该团体节目最多能安排33人.
3.三元容斥原理及其内涵
①三元容斥原理：对于集合A,B,C来说，有
②三元容斥原理的内涵：与二元情形一样的思路，画出韦恩图，由韦恩图可以发现与相比，多算了集合A,B,C两两相交区域中的元素个数，因此需要减掉，，中元素的个数.但是在减掉，，中元素的个数的过程中，我们把的区域减了3次，而将的区域只计算了3次，于是需要再把加上1次.
因此得到三元容斥原理
难点破解
（新高考Ⅰ卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A.62% B.56% C.46% D.42%
素养进阶·答题技法突破
题型01 元素与集合的属于关系的应用
考情定位：新高考开篇固定必考题型，全章节基础送分考点，年年必考，难度偏低，兼顾基础概念与数形结合考查．
核心考法：①依托元素互异性化简集合，完成交并补基础运算；②数集、平面点集区分运算；③不等式解集、区间型集合数轴运算；④有限集合子集、真子集个数求解；⑤含参集合运算、集合包含关系判定．
解题要点：求值类题型必须核验集合元素互异性；数集区间运算依托数轴判别端点虚实；点集运算联立方程求解交点；含参集合优先讨论空集特例，结合数轴校验端点等号取值．
【典例1】（2026 上海）已知集合，，且，则_________．
题型02 集合的包含关系的应用
考情定位：高考基础必考题，难度低，常结合数轴数形结合考查.
核心考法：①离散集合：根据子集定义求参，验证元素互异性②区间集合：利用数轴分析含参不等式的包含关系③分类讨论：含参集合优先考虑空集为子集的特殊情况④计数类：计算有限集合子集、真子集数量
解题要点：①求出参数后检验集合元素互不重复②区间画图判断端点能否取等③先讨论.
【典例1】（2026 上海）已知集合，，，3，，若，则_________．
题型03 交集及其运算
考情定位：高考基础必考题，难度低，常结合数轴数形结合或列举集合直接考查，多为开篇送分题.
核心考法：①离散集合：筛选两个集合的公共元素直接求解；②区间集合：借助数轴取两段范围的重叠区域；③混合集合：以列举集合为基础，逐个验证元素是否满足描述法条件.
解题要点：①仅保留同时属于两个集合的元素；②区间运算注意端点开闭的一致性；③混合题型优先从有限元素集合入手筛查.
【典例1】（2025 上海）已知集合，，0，1，，则等于_________．
题型04 求集合的补集
考情定位：高考基础必考考点，常与交、并集结合命题，依托数轴数形结合考查，难度偏低.
核心考法：①区间集合：在全集范围内剔除原集合对应区间；②离散集合：从全集中去掉已知集合的全部元素；③综合运算：先完成交并运算，再对结果求补集.
解题要点：①补集范围不得超出全集边界；②原集合端点开闭，补集对应反向取值；③混合运算遵循运算顺序，有括号优先计算.
【典例1】（2025 上海）已知全集，，集合，，则_________．
重点01 利用集合元素的互异性求参数
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
【典例01】（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________．
【典例02】（2026·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则实数________．
【典例03】（2026·上海·模拟预测）已知集合，，若，则实数__________．
重点02 根据集合的包含关系求参数
（1）分类讨论的运用：优先分析子集为空集的特殊情况，列出对应参数约束范围； （2）数形核验的运用：非空集合借助数轴列端点不等式，验证等号能否取到、复检元素互异性.
【典例01】（2026·上海·三模）若，，且，则实数取值的集合是____________.
【典例02】（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________.
【典例03】（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______.
重点03 交集的概念及运算
（1）范围筛选的运用：离散集合筛选两集合公共元素，区间集合用数轴取重叠区间； （2）边界校验的运用：保证结果同时满足两个集合的限定，注意端点开闭情况.
【典例01】（2026·上海长宁·二模）已知集合，，则______.
【典例02】（2026·上海静安·二模）已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
【典例03】（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合，集合，则__________．
重点04 补集的概念及运算
（1）全集定界的运用：先锁定全集的整体取值范围，划定补集的取值边界； （2）剔除取余的运用：在全集范围内去掉原集合的元素，反向调整结果端点的开闭情况.
【典例01】（2026·上海虹口·三模）已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）．
【典例02】（2026·上海·二模）设全集为，集合，则________．
【典例03】（2026·上海杨浦·二模）设全集，，用列举法表示______.
重点05 判断命题的真假
判定假命题只需举出一个符合前提、不满足结论的反例.
【典例01】（2025·上海·三模）已知曲线，为曲线上任一点，命题：曲线与直线恰有四个公共点；命题：曲线与直线相切；下列说法正确的是（ ）
A．命题和命题都为真 B．命题为真，命题为假
C．命题为假，命题为真 D．命题和命题都为真.
【典例02】（2026·上海·模拟预测）若函数满足在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（ ）
命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数
命题②：若经过一、二象限，则可能经过三、四象限
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【典例03】（2026·上海普陀·二模）在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题：
①若点、，则的值不可能等于；
②若，则的取值范围为.
则下列结论中正确的是（ ）
A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假
重点06 判断命题的充分不必要条件
（1）充分性验证的运用：推导条件可以推出结论，确认充分性成立； （2）不必要性验证的运用：推导结论无法推出条件，确认必要性不成立.
【典例01】（2026·上海黄浦·二模）若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【典例02】（2026·上海·模拟预测）若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
【典例03】（2026·上海浦东新·三模）在三棱锥中，“侧棱两两垂直且与底面成等角”是“此三棱锥为正三棱锥”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
重点07 判断命题的必要不充分条件
（1）必要性验证的运用：推导结论可以推出条件，确认必要性成立； （2）不充分性验证的运用：推导条件无法推出结论，确认充分性不成立.
【典例01】（2026·上海·三模）已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【典例02】（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【典例03】（2026·上海·三模），是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
技法点拨01 充要条件的证明问题
（1）充分性证明的运用：完成「条件 结论」的逻辑推导； （2）必要性证明的运用：完成「结论 条件」的逻辑推导，双向均成立才满足充要要求.
【典例01】（2026·上海长宁·二模）对于随机事件、，，“”是“、互相独立”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要
【典例02】（2026·上海·三模）已知，为实数，则“”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【典例03】（2026·上海·一模）已知某个四棱柱为平行六面体，从一个顶点出发相邻的三个面的面积分别为a，b，c，则（ ）
命题①：若该四棱柱为直四棱柱，则它的体积为是直四棱柱为长方体的充要条件
命题②：若该四棱柱为斜四棱柱，则它的体积为是斜四棱柱为长方体的充要条件
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
易错点01 集合新定义
辨析：理解集合新定义不能只停留在外在形式，要深挖集合本质：需要先分清集合是点集还是数集、明确代表元素的实际内涵，再严格遵循题目自定义的约束规则推导，不能凭固有解题惯性篡改限定条件。
【典例1】（2026·上海徐汇·二模）设. 定义点的相伴集合为且，其中为正实数. 给出以下两个命题：
①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2；
②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则.
则正确的选项是（ ）
A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
【典例2】（2026·上海黄浦·二模）在空间直角坐标系中，将点集所表示的立方体的表面满足的部分记为S，同时满足“”与“或”的点P的集合所表示几何体的体积为______．
【典例3】（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则____________.
【典例4】（2025·上海·模拟预测）已知，设集合，．
(1)求；
(2)证明：存在唯一的，使得集合恰有三个元素；
(3)若集合元素个数大于等于，且的所有元素按照一定顺序可以排成一个等差数列，则称为一个“好值”，判断所有“好值”的个数，并说明理由．
优题精练·专题实战通关
（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（ ）.
A． B．
C． D．
（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
（2026·上海·模拟预测）已知集合，其中为实数，则中元素个数不可能是（ ）
A．644个 B．645个 C．646个 D．647个
（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ）
A．若和都有最小值，则有最低点；
B．若有最低点，则和都有最小值；
C．若或有最小值，则有最低点；
D．若有最低点，则或有最小值.
（2026·上海浦东新·三模）已知集合，，则______________．
（2026·上海闵行·模拟预测）已知集合，，则__________
（2026·上海·二模）设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________．
（2025·上海闵行·一模）已知集合对任意恒成立，，则________.
（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”.
(1)判断函数是否具有“性质”；
(2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解；
(3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”.
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专题01 集合与逻辑
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知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
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基础梳理 自主夯基
考点01集合与元素
考点02集合间的基本关系
考点03集合的基本运算
考点04充分条件与必要条件
高阶思维 探究拓展
难点解读01 容斥原理
素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
高考解密 母题探究
题型01 元素与集合的属于关系的应用
题型02 集合的包含关系的应用
题型03 交集及其运算
题型04 求集合的补集
重点突破 考法深研
重点01 利用集合元素的互异性求参数
重点02 根据集合的包含关系求参数
重点03 交集的概念及运算
重点04 补集的概念及运算
重点05 判断命题的真假
重点06 判断命题的充分不必要条件
重点07 判断命题的必要不充分条件
技法提炼 审题点拨
技法点拨01充要条件的证明问题
易错剖析 避坑攻略
易错点01集合新定义
优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用
知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 集合与元素
（1）集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
（2）元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法
（4）常见数集的记法与关系图
数集 符号
自然数集 N
整数集 Z
有理数集 Q
实数集 R
（5）常见集合的含义
集合
代表元素 方程的根 不等式的解 函数的自变量的取值 函数的函数值 函数图象上的点
【新题对点练】（2026 嘉定区二模）已知集合，，若，则_________．
【答案】．
【分析】由题意得，，解得或，分情况讨论即可．
【解答】解：由题意得，，解得或，
当时，集合为，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，集合为，，满足题意．
故答案为：．
【点评】本题考查元素与集合间的关系，容易忽略集合元素的互异性的验证，属于基础题．
考点02 集合间的基本关系
表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言
基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 记作（或）
相等 若，且 ，则称这两个集合相等
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
【新题对点练】（2026 奉贤区二模）已知集合，，，若，则实数_________．
【答案】0．
【分析】由可得或，再结合元素的互异性求解．
【解答】解：由题意可知，集合，，，且，
所以或，
解得或，
当时，集合中的元素不满足互异性，舍去，
当时，集合，，，满足题意，
综上所述，．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．
考点03 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言
2、交并补集合运算性质
交集的运算性质
性质 说明
两个集合的交集满足交换律
空集与任何集合的交集都为空集
集合与集合本身的交集仍为集合本身
多个集合的交集满足结合律
交集关系与子集关系的转化
两个集合的交集是其中任一集合的子集
并集的运算性质
性质 说明
两个集合的并集满足交换律
任何集合与空集的并集仍为集合本身
集合与集合本身的并集仍为集合本身
多个集合的并集满足结合律
并集关系与子集关系的转化
任何集合都是该集合与另一集合并集的子集
补集的运算性质
性质 说明
任何集合与其补集的并集为全集
任何集合与共补集的交集为空集
任何集合的补集的补集为集合本身
全集的补集为空集，空集的补集为全集
【新题对点练】（2026 黄浦区三模）设全集，2，，，，则_________．
【答案】．
【分析】根据全集求补集即可．
【解答】解：因为，2，，，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了补集的运算，属于基础题．
【新题对点练】（2026 宝山区校级模拟）设全集，若集合，2，3，，，则_________．
【答案】，3，．
【分析】先求出，由此能求出．
【解答】解：全集，若集合，2，3，，，
或，
则，3，．
故答案为：，3，．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
考点04 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
2、充要条件
（1）充要条件的定义
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作．
此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件．
（2）充要条件的含义：是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同．
（3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价．
【新题对点练】(2026·黄浦区二模)若，是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】
【分析】从充分性和必要性分别判断即可．
【解答】解：由，可得和共面，故存在平面，使，；
但存在平面，使，，和可以平行，也可以相交．
故“”是“存在平面，使，”的充分不必要条件．
故选：．
【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，属于基础题．
难点解读01 容斥原理
在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.例如“在学校文化节前夕某班需要编排一个团体节目，若班里会唱歌的人数为21，会跳舞的人数为18，既会唱歌又会跳舞的人数为6，假定参加团体节目的同学都是在唱歌、跳舞中至少会一种，那么该团体节目最多能安排多少人？”
此时如果令集合是会唱歌的人，是会跳舞的人，那么问题就转化成在已知集合中的元素个数情况下，去求中的元素个数.像这种研究若干集合、集合的交集、集合的并集的元素个数之间的关系，正是容斥原理的应用范畴.
1.集合中元素个数的表示
我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数.
2.二元容斥原理及其内涵
①二元容斥原理：对于集合A,B来说，有
②二元容斥原理的内涵：首先画出韦恩图，由韦恩图可以发现与相比，多算了一次集合中元素的个数，因此需要减掉一次.因此得到二元容斥原理.
此时回到开头的问题，相当于，，，因此根据容斥原理直接得到，因此该团体节目最多能安排33人.
3.三元容斥原理及其内涵
①三元容斥原理：对于集合A,B,C来说，有
②三元容斥原理的内涵：与二元情形一样的思路，画出韦恩图，由韦恩图可以发现与相比，多算了集合A,B,C两两相交区域中的元素个数，因此需要减掉，，中元素的个数.但是在减掉，，中元素的个数的过程中，我们把的区域减了3次，而将的区域只计算了3次，于是需要再把加上1次.
因此得到三元容斥原理
难点破解
（新高考Ⅰ卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A.62% B.56% C.46% D.42%
【答案】C
【解析】设集合是喜欢足球的学生，集合是喜欢游泳的学生，不妨设该中学有100人，则，，（表示集合中元素的个数）.
由二元容斥原理可得
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.
素养进阶·答题技法突破
题型01 元素与集合的属于关系的应用
考情定位：新高考开篇固定必考题型，全章节基础送分考点，年年必考，难度偏低，兼顾基础概念与数形结合考查．
核心考法：①依托元素互异性化简集合，完成交并补基础运算；②数集、平面点集区分运算；③不等式解集、区间型集合数轴运算；④有限集合子集、真子集个数求解；⑤含参集合运算、集合包含关系判定．
解题要点：求值类题型必须核验集合元素互异性；数集区间运算依托数轴判别端点虚实；点集运算联立方程求解交点；含参集合优先讨论空集特例，结合数轴校验端点等号取值．
【典例1】（2026 上海）已知集合，，且，则_________．
【答案】．
【分析】结合元素与集合关系即可求解．
【解答】解：，，，
由题意，，即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题．
题型02 集合的包含关系的应用
考情定位：高考基础必考题，难度低，常结合数轴数形结合考查.
核心考法：①离散集合：根据子集定义求参，验证元素互异性②区间集合：利用数轴分析含参不等式的包含关系③分类讨论：含参集合优先考虑空集为子集的特殊情况④计数类：计算有限集合子集、真子集数量
解题要点：①求出参数后检验集合元素互不重复②区间画图判断端点能否取等③先讨论.
【典例1】（2026 上海）已知集合，，，3，，若，则_________．
【答案】4．
【分析】利用子集的定义求解．
【解答】解：因为，
所以．
故答案为：4．
【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
题型03 交集及其运算
考情定位：高考基础必考题，难度低，常结合数轴数形结合或列举集合直接考查，多为开篇送分题.
核心考法：①离散集合：筛选两个集合的公共元素直接求解；②区间集合：借助数轴取两段范围的重叠区域；③混合集合：以列举集合为基础，逐个验证元素是否满足描述法条件.
解题要点：①仅保留同时属于两个集合的元素；②区间运算注意端点开闭的一致性；③混合题型优先从有限元素集合入手筛查.
【典例1】（2025 上海）已知集合，，0，1，，则等于_________．
【答案】，
【分析】直接由交集的运算性质得答案．
【解答】解：由集合，，0，1，，
则，0，1，，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
题型04 求集合的补集
考情定位：高考基础必考考点，常与交、并集结合命题，依托数轴数形结合考查，难度偏低.
核心考法：①区间集合：在全集范围内剔除原集合对应区间；②离散集合：从全集中去掉已知集合的全部元素；③综合运算：先完成交并运算，再对结果求补集.
解题要点：①补集范围不得超出全集边界；②原集合端点开闭，补集对应反向取值；③混合运算遵循运算顺序，有括号优先计算.
【典例1】（2025 上海）已知全集，，集合，，则_________．
【答案】．
【分析】利用补集的定义求解．
【解答】解：因为全集，，集合，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查补集运算，属于基础题．
重点01 利用集合元素的互异性求参数
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
【典例01】（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________．
【答案】
【详解】由题意可知，或，即或，
当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去；
当时，集合，符合题意，所以.
【典例02】（2026·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则实数________．
【答案】
【详解】因为，所以或，
解得，或，
当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去；
当时，，满足题意，故
【典例03】（2026·上海·模拟预测）已知集合，，若，则实数__________．
【答案】
【分析】根据交集的定义和集合的性质计算即可.
【详解】因为已知集合，，，
所以，解得.
重点02 根据集合的包含关系求参数
（1）分类讨论的运用：优先分析子集为空集的特殊情况，列出对应参数约束范围； （2）数形核验的运用：非空集合借助数轴列端点不等式，验证等号能否取到、复检元素互异性.
【典例01】（2026·上海·三模）若，，且，则实数取值的集合是____________.
【答案】
【分析】根据并集的定义可得是集合中的元素，再结合集合元素的互异性排除，即可得到实数的取值集合.
【详解】因为，，且，则，
所以且由互异性知，
则有或或，
所以实数取值的集合是.
【典例02】（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可.
【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合，
所以，即a的取值范围为.
【典例03】（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______.
【答案】或
【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解．
【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集，
若，则，而，满足题意，
若，则，，此时，不合题意；
若，则，，只含一个元素，则，
综上，的取值范围是或．
重点03 交集的概念及运算
（1）范围筛选的运用：离散集合筛选两集合公共元素，区间集合用数轴取重叠区间； （2）边界校验的运用：保证结果同时满足两个集合的限定，注意端点开闭情况.
【典例01】（2026·上海长宁·二模）已知集合，，则______.
【答案】
【详解】集合，，则.
【典例02】（2026·上海静安·二模）已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由解得或，即集合，
由可得，解得，即集合；
所以.
【典例03】（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合，集合，则__________．
【答案】
【分析】利用分段讨论的方法将集合中方程的绝对值符号去掉，通过解方程得到集合，通过解分式不等式及高次不等式得到集合，再根据交集的定义计算即可得解.
【详解】当时，，
令，解得，与矛盾，故方程无解；
当时，，
等式恒成立，所以都是方程的解；
当时，，
令，解得，与矛盾，故方程无解，
所以.
因为等价于，即，
用穿根法可得不等式组的解为或，
所以.
因为，，
所以.
重点04 补集的概念及运算
（1）全集定界的运用：先锁定全集的整体取值范围，划定补集的取值边界； （2）剔除取余的运用：在全集范围内去掉原集合的元素，反向调整结果端点的开闭情况.
【典例01】（2026·上海虹口·三模）已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）．
【答案】
【详解】，则，解得或，
即，
已知全集为，补集．
【典例02】（2026·上海·二模）设全集为，集合，则________．
【答案】
【分析】根据分式不等式的解法，可求得集合A，即可得答案.
【详解】由，得，解得或，
又，所以，则.
【典例03】（2026·上海杨浦·二模）设全集，，用列举法表示______.
【答案】
【分析】由集合的补集运算结合集合的表示法即可求解.
【详解】由题意得，则.
重点05 判断命题的真假
判定假命题只需举出一个符合前提、不满足结论的反例.
【典例01】（2025·上海·三模）已知曲线，为曲线上任一点，命题：曲线与直线恰有四个公共点；命题：曲线与直线相切；下列说法正确的是（ ）
A．命题和命题都为真 B．命题为真，命题为假
C．命题为假，命题为真 D．命题和命题都为真.
【答案】C
【分析】命题，构造，利用导数讨论其在上的零点个数为3后可判断其正误，命题，利用导数可判断其正误.
【详解】命题：由消元法可得，所以，
当或时，或，故此时无解，
下面考虑上方程的解的个数，
设，所以，
设且，则，则，
所以，
又因为，
所以的解为，，
而，
故当或时，，当时，，
故在，上为减函数，在上为增函数，
而，且，
，而，故，
故，，故在有3个不同的实数根，故命题错误；
命题：由，可得，故，
对两边求关于的导数，又随的变化而变化，
则，
故当时，有，
当，，而直线的斜率为2，
故曲线与直线相切，命题正确.
故选：C.
【典例02】（2026·上海·模拟预测）若函数满足在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（ ）
命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数
命题②：若经过一、二象限，则可能经过三、四象限
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】C
【分析】首先利用导数的知识求出的表达式，然后结合表达式判断两个命题的真假.
【详解】为“级导同函数”，即，
若，则，满足，
若，则，，可得(其中是常数)，
所以（其中为常数），，
所以或.
命题①，充分性：为偶函数，
若，则，既不是奇函数，也不是偶函数，
所以若为偶函数，则必有，而是奇函数，充分性满足；
必要性：为奇函数，无奇偶性，则，因此是偶函数，必要性满足.
所以命题①正确；
命题②，若经过一二象限，则，
由于且，故恒为正，其图像只经过第一、二象限；所以命题②错误.
【典例03】（2026·上海普陀·二模）在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题：
①若点、，则的值不可能等于；
②若，则的取值范围为.
则下列结论中正确的是（ ）
A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假
【答案】C
【分析】先根据方程可得曲线是由半个圆和半个椭圆组成的一条曲线，再对条件①判断，根据椭圆的定义及计算圆的一点到两个定点的距离和范围可得命题的真假；对条件②根据两点的位置关系分四种情况分别讨论可得所求式子的范围，进而可得结果.
【详解】因为方程等价于：或.
若，则，表示圆心在原点，半径为的左半个圆；
若，则，表示长半轴为，短半轴为的右半个椭圆；如图：
对于①，若点在右半个椭圆上，点、是椭圆的焦点，
根据椭圆的定义：，所以在右半个椭圆上不存在点满足；
若点在左半个圆上，点、是圆的一条直径的两个端点，
设，则
所以，
因为，所以，，，
即，而，所以存在点满足；
所以命题①为假命题.
对于②，若点在左半个圆上，；
若点在右半个椭圆上，则，因为，
所以，即.
下面对的位置分四种情况讨论：
（i）若都在左半个圆上时，，
所以；
（ii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，，
所以，即；
（iii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，，
所以，即；
（iv）若都在右半个椭圆上时，设，
且，因为，所以，
即，.
所以，，
所以
，
又因为，两边平方得，
，化简整理得，
所以.
综上所述，的取值范围为，故②正确；
重点06 判断命题的充分不必要条件
（1）充分性验证的运用：推导条件可以推出结论，确认充分性成立； （2）不必要性验证的运用：推导结论无法推出条件，确认必要性不成立.
【典例01】（2026·上海黄浦·二模）若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若，可知直线a，b是共面直线，则存在平面，使，，即充分性成立；
若存在平面，使，，则直线a，b可能相交，即必要性不成立；
综上所述：“”是“存在平面，使，”的充分非必要条件.
【典例02】（2026·上海·模拟预测）若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义及复数运算结合充分条件必要条件的定义计算判断.
【详解】复数与在复平面上分别对应点与，
，
由，
可得，所以，
所以，所以或，所以，
当，满足，
所以，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
【典例03】（2026·上海浦东新·三模）在三棱锥中，“侧棱两两垂直且与底面成等角”是“此三棱锥为正三棱锥”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】使用线面垂直的性质定理，等边三角形的性质求解.
【详解】设三棱锥侧棱两两垂直且与底面成等角，下证此三棱锥为正三棱锥，
过点作底面，垂足为，连接,
分别是三条侧棱与底面所成的角，
因为，所以，侧棱，
所以是三角形的外心，
因为三条棱两两垂直，所以平面，所以，
又因为，所以平面，
因为平面，所以，同理可得，
所以点是三角形的垂心，所以三角形是正三角形，
故三棱锥是正三棱锥，充分性成立，
正四面体的侧棱夹角为，故必要性不成立.
所以“侧棱两两垂直且与底面成等角”是“此三棱锥为正三棱锥”的充分非必要条件.
重点07 判断命题的必要不充分条件
（1）必要性验证的运用：推导结论可以推出条件，确认必要性成立； （2）不充分性验证的运用：推导条件无法推出结论，确认充分性不成立.
【典例01】（2026·上海·三模）已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ 为互斥事件”是“ 为对立事件”的必要非充分条件.
【典例02】（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断.
【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”，
但“”不成立，故充分性不成立；
若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立；
所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件.
【典例03】（2026·上海·三模），是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】，
，
显然当成立时，不一定成立，例如，
当成立时，显然一定成立，
所以，是的必要不充分条件.
技法点拨01 充要条件的证明问题
（1）充分性证明的运用：完成「条件 结论」的逻辑推导； （2）必要性证明的运用：完成「结论 条件」的逻辑推导，双向均成立才满足充要要求.
【典例01】（2026·上海长宁·二模）对于随机事件、，，“”是“、互相独立”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要
【答案】C
【分析】根据条件概率公式、独立事件的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，又，所以，
从而有，所以、互相独立，充分性成立；
当、互相独立时，则，所以，必要性成立.
综上，“”是“、互相独立”的充要条件.
【典例02】（2026·上海·三模）已知，为实数，则“”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】明确不等式有意义的等价条件，再结合绝对值三角不等式分别判断充分性和必要性即可
【详解】验证必要性：首先分式要有意义，因此分母，等价于不同时为，即，故必要性成立.
验证充分性：若，此时；
根据绝对值三角不等式，对任意实数，恒有 ，
不等式两边同时除以正数，可得，故充分性成立.
综上，“”是“成立”的充要条件.
【典例03】（2026·上海·一模）已知某个四棱柱为平行六面体，从一个顶点出发相邻的三个面的面积分别为a，b，c，则（ ）
命题①：若该四棱柱为直四棱柱，则它的体积为是直四棱柱为长方体的充要条件
命题②：若该四棱柱为斜四棱柱，则它的体积为是斜四棱柱为长方体的充要条件
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】A
【详解】设直四棱柱的底面平行四边形的相邻两边长分别为和，两边的夹角为，侧棱长为，
则底面面积为，两个相邻的侧面面积（因为是直四棱柱，侧面是矩形）为和，
此时，同时根据柱体体积公式可得直四棱柱的体积为，
前者等于后者的充要条件为即，故命题①正确；
斜四棱柱的侧棱不垂直于底面，因此不可能是长方体，则由前面的分析可知斜四棱柱的体积不可能是，
因此这是两个假命题互为充要条件，故命题②正确.
易错点01 集合新定义
辨析：理解集合新定义不能只停留在外在形式，要深挖集合本质：需要先分清集合是点集还是数集、明确代表元素的实际内涵，再严格遵循题目自定义的约束规则推导，不能凭固有解题惯性篡改限定条件。
【典例1】（2026·上海徐汇·二模）设. 定义点的相伴集合为且，其中为正实数. 给出以下两个命题：
①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2；
②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则.
则正确的选项是（ ）
A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
【答案】D
【分析】对于①，先判断出相伴集合的对应平面图形为正方形，即可得到面积；对于②，根据无交点的限制得出正方形的点应满足，然后对不同的自变量范围分类讨论，综合得到的范围，进而得到的范围.
【详解】根据定义点的相伴集合即为以为中心的边长为的正方形，
若，则其相伴集合对应平面图形的面积为，①是假命题；
集合对应一系列正方形，它们与抛物线即均无公共点，
则意味着这些正方形都在抛物线下方即正方形内的点均满足，对每一个正方形内的点，
有，则需满足，有，
设，在上的最小值记为，
当时，，此时应有，
设，则，不等式变为即，
令，则，所以；
当时，，此时应有，以为变量，
的最大值为，所以；
当时，，此时应有，
设，则，不等式变为即，
令，则，所以，
综上所述，要使对任意实数及任意均满足无交点条件，则，②是真命题.
【典例2】（2026·上海黄浦·二模）在空间直角坐标系中，将点集所表示的立方体的表面满足的部分记为S，同时满足“”与“或”的点P的集合所表示几何体的体积为______．
【答案】
【分析】首先判断出为正方体的四个侧面和下底面，然后得到“”表示的几何体为正方体的外接球，满足条件的点即为从点出发的不超过和球面的线段上的点，将它们分为射向上底面和其它五个面两个部分，相加即可得到所求几何体体积.
【详解】点集表示的是以原点为中心的边长为2的正方体，
为满足的部分即除去了后剩余的部分，也就是除了上底面以外的五个面，
条件“”表示点在以原点为球心的半径为的球体内，因为，
所以这个球刚好也是正方体的外接球，即为线段，
条件“或”表示线段与要么没有交点，要么交点就是，
考虑从点出发的线段，射向上底面的线可以到达球面，这一部分构成个球体，
射向包含的五个面可以到达正方体的表面，这一部分构成五个四棱锥，每个四棱锥都是正方体的，
所以所求几何体的体积为.
【典例3】（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则____________.
【答案】19
【分析】利用分类思想，列举思想即可得到答案.
【详解】当时，
若为二元集：如，共有15种，
若为三元集：如共有4种，
所以总共有：种；
故答案为：19.
【典例4】（2025·上海·模拟预测）已知，设集合，．
(1)求；
(2)证明：存在唯一的，使得集合恰有三个元素；
(3)若集合元素个数大于等于，且的所有元素按照一定顺序可以排成一个等差数列，则称为一个“好值”，判断所有“好值”的个数，并说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)2个，理由见解析
【分析】（1）设，求导判断函数单调性，求得的最小值，即得；
（2）先判断两个方程的解的个数．当时，两个方程各有两个解，要使并集恰有三个元素，只需证明两个方程有且只有一个公共解对应的唯一．
（3）设 的两个解为，其中．则 的两个解为 ．再分有三个元素和四个元素两种情况讨论．
【详解】（1）依题意，，设，则，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
而，即方程只有1个实根为0，故.
（2）由（1）可知，方程 在时无解，在时有一个解，在时有两个解．
令，，则．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，且．
因此方程 在时无解，在时有一个解，在时有两个解．
当时， ，不符合题意．
当时，两个方程各有两个解，若恰有三个元素，则两个方程必须有一个公共解．
设公共解为，则，且 ，即 ．
令 ，，则 ．
因为 ，所以 ．
所以在上单调递增．
当时， ， ，所以方程 在上有且只有一个解．
设这个解为，则对应唯一．故存在唯一的，使得集合恰有三个元素．
（3）由前两问可知，若集合元素个数大于等于，则．
设方程 的两个解为，其中．
因为 ， ，所以 ， ．
故方程 的两个解为 ，从而 ．
第一种情况，恰有三个元素．
由第（2）问可知此时 ，即，且 ．
于是 ，所以可以排成等差数列．因此第（2）问中唯一对应的是一个“好值”．
第二种情况，恰有四个元素．
若 ，则四个元素按从小到大排列为 ．
若它们能排成等差数列，则应有 ．
但时， ，矛盾，所以此时不可能．
若，则四个元素按从小到大排列为 ．
若它们能排成等差数列，则应满足 ， ．由第二个式子得．
因为，所以 ．
设为方程 在上的根，则．
将代入 ，令
则 ．
又 ，且函数 在上单调递增，所以，从而 ．
对求导，得
当 时，分母为正；
下面证明分子为正．
记
由，且函数在上单调递增，又，可知．
所以当时，，从而．
因为，两边同乘负数时，不等号方向改变，得
于是
又二次函数的判别式为，
且二次项系数为正，所以恒成立．
因此，从而．
因此在上单调递增，故 有且只有一个解．于是四个元素能排成等差数列时，对应唯一一个．
综上，满足条件的“好值”共有个．
优题精练·专题实战通关
（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，，，，由条件结合伴随的定义可判断结论.
【详解】设，，，，
则，，
当和伴随，有或，
又，，
若和伴随，则或，
所以和伴随的充要条件是，即.
（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论.
【详解】由题意，
，是无穷数列，
验证充分性：
当存在常数，使时，
，，
显然成立，
验证必要性：
当，时，此时满足,
假设存在常数，使成立，
当时，，，
此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”，
但不存在这样的固定常数，
∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立，
∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件.
（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可得，所以
（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，，
即集合，且集合，所以.
（2026·上海·模拟预测）已知集合，其中为实数，则中元素个数不可能是（ ）
A．644个 B．645个 C．646个 D．647个
【答案】D
【分析】先求解，得到其在一个周期内的解的情况，再结合给定区间内求解即可.
【详解】由题意可得，可得，即，
令，则，因为，解得，
即，方程在每个周期内有2个解，
因为区间长度为，且，
所以该区间包含个完整周期，
通过调整的取值，区间内的解的个数可能为个，个，，
所以中元素个数不可能是647.
（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ）
A．若和都有最小值，则有最低点；
B．若有最低点，则和都有最小值；
C．若或有最小值，则有最低点；
D．若有最低点，则或有最小值.
【答案】D
【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可.
【详解】对于A项，取，，取，，
则，；而无最低点，故A错误；
对于B项，取，，取，，
则无最小值，；而有最低点，故B错误；
对于C项，取，，取，，
则无最小值，；
因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误；
对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且，
所以或，
若，则且对任意的，总有，即；
若，同理可知；
所以若有最低点，则或有最小值，故D正确.
故选：D.
（2026·上海浦东新·三模）已知集合，，则______________．
【答案】
【详解】因为，，所以.
（2026·上海闵行·模拟预测）已知集合，，则__________
【答案】
【详解】因为，解得，得，
，
，.
（2026·上海·二模）设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【详解】由得，得，
因为是的必要条件，所以，得，
故实数m的取值范围是.
（2025·上海闵行·一模）已知集合对任意恒成立，，则________.
【答案】
【分析】求出集合，再利用交集的运算即可求出答案.
【详解】根据三角不等式，当且仅当时等号成立，所以，即，
解不等式得或，即，
所以.
（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”.
(1)判断函数是否具有“性质”；
(2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解；
(3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”.
【答案】(1)没有，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可；
（2）根据一次函数的单调性，结合“性质”的特性进行求解即可；
（3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质”的特性进行运算证明即可.
【详解】（1）函数不具有“性质”，理由如下：
例如当时，显然成立，
，根据指数函数的单调性可知，
所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”；
（2）因为函数具有“性质”，所以取，有，
于是有，
当时，由，
当时，由，
若，若，则有，
取，
此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意，
故，此时，
若时，则，
由，
若时，则，
由，
因此，
综上所述：当且仅当时，满足条件；
（3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数.
若存在，，不妨设，
记，即，
因为函数的值域为，
所以，
若，则有，
若，则有，
故对任意，，这与的值域为矛盾，
所以不成立，则有，因此函数是偶函数；
必要性：若是偶函数，则具有“性质”.
当时，因为在上是严格增函数，
所以，
又因为函数是偶函数，
所以由，因此具有“性质”.
所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”.
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