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29.1 圆的有关概念
一、单选题
1．下列命题中是真命题的有（　　）
①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的两个圆是等圆；⑤直径是圆中最长的弦.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（　　）
A．1cm B．2cm C．4cm D．8cm
3．下列命题不正确的是（　　）
A．过一点有无数个圆
B．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
C．过三点能作一个圆
D．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
4．下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．一个三角形只有一个外接圆
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
5．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（　　）
A．42° B．28° C．21° D．20°
二、填空题
6．如图，在矩形ABCD中， AB=3， AD=4，若以点 A为圆心，以 4为半径作 ⊙A，则点 A，点B，点 C，点 D四点中在 ⊙A外的是　 　.
7．已知的半径为。若点在圆上，则　 　。（填“”“”或“”）
8．已知的半径点在内，则　 　（填>或=，<）
9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是　 　．
10．若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是　 　．
11．如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .经画图操作可知 的外心坐标可能是　 　
12．如图所示，在矩形中，，，是边上的一个动点，将沿折叠得分别连接、，若为等腰三角形，则的长为　 　．
三、复合题
13．如图，点A，B，C均在正方形网格图的格点上，将线段BC绕点A逆时针旋转90°后得到线段DE（点D为点B的对应点）．
（1）画出线段DE；
（2）以DE为直径作圆O．（保留作图痕迹，不写作法）
14．如图，在中，．
（1）尺规作图：作，使它过点，且圆心在上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的中，求证：点在上．
15．如图1，是的直径，为圆上一点，且，弦交于点，延长至点，使。
（1）求证：。
（2）如图2，连结，若，。
①求的半径。
②求的面积。
16．在平面直角坐标系中，点A在半径为1的上，B，C为平面内不重合的两点，对于与直线给出如下定义：称点A到直线的距离为与直线关于点A的理想距离，记为，特别地，点A在直线上时，．
（1）已知，．
①若，则________，若，则________；
②若点C在直线上，则的取值范围是________；
（2）若点，且，点B在函数的图象上，对于每一个点B，记的最大值为d，直接写出d的取值范围以及d最小时点C的坐标．
四、解答题
17． 如图，AC是的直径，AB、DC是的两条弦，且.已知.求的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：能够重合的弧是等弧，①是假命题；
圆的任意一条不是直径的弦把圆分成优弧和劣弧两部分，②是假命题；
长度相等的弧不一定是等弧，③是假命题；
半径相等的两个圆是等圆，④是真命题；
直径是圆中最长的弦，⑤是真命题；
故答案为：D.
【分析】根据等弧、优弧、劣弧、弦、等圆的概念即可一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在 上，
∴OP是 的半径，
∵ 的半径为4cm，
∴OP =4cm，
故答案为：C.
【分析】根据圆上各点到圆心的距离等于该圆的半径就可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
4．【答案】B
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．故选B．
【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：连结OD，如图，
∵OB=DE，OB=OD，
∴DO=DE，
∴∠E=∠DOE，
∵∠1=∠DOE+∠E，
∴∠1=2∠E，
而OC=OD，
∴∠C=∠1，
∴∠C=2∠E，
∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，
∴∠E= ∠AOC= ×84°=28°．
故选B．
【分析】利用半径相等得到DO=DE，则∠E=∠DOE，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E，所以∠1=2∠E，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E，然后利用∠E= ∠AOC进行计算即可．
6．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵CA= =5＞4，∴点C在⊙A外.
∵AD═4，∴点D在⊙A上外；
AB=3＜4，∴点B在⊙A内.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质及勾股定理算出AC的长，根据点与圆的位置关系，将AC，AD，AB的长分别与该圆的半径4比大小即可得出结论.
7．【答案】
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点在上，且的半径为，
，
故答案为：．
【分析】根据点在圆上时，点到圆心的距离等于半径解答即可．
8．【答案】<
【知识点】点与圆的位置关系
9．【答案】3＜r＜5
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，
则BD= =5．
由图可知3＜r＜5．
故答案为：3＜r＜5．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
10．【答案】点O在⊙P上
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由勾股定理，得
OP＝ ＝5，
d＝r＝5，
故点O在⊙P上．
故答案为点O在⊙P上.
【分析】由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
11．【答案】（ 2， 1）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵△ABC的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
∴如图，AB和BC的垂直平分线的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（ 2， 1），
故答案为：（ 2， 1）.
【分析】首先由△ABC的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂直平分线，它们的交点即为△ABC的外心.
12．【答案】 或6
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ，
可知M的轨迹是以D为圆心，6为半径的圆，
①当 MC=MB时，则M在BC的垂直平分线上，
，
，
，
，
；
②当CM=CB=6时，DM=AD=6，四边形ANMD为正方形，
；
③∵BM的最小值为 ，
∴MB不能等于BC ；
故答案为： 或6.
【分析】由题意可得M的轨迹是以D为圆心，6为半径的圆，①当MC=MB时，则M在BC的垂直平分线上，此时DP=DM，∠DMP=30°，根据折叠的性质可得∠ADN=∠MDN=30°，然后根据三角函数的概念可得AN；②当CM=CB=6时，DM=AD=6，此时四边形ANMD为正方形，AN=AD，据此解答.
13．【答案】（1）解：如图，线段DE即为所求；
（2）解：如图，圆O即为所求．
【知识点】圆的相关概念；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据线段定义作图即可.
（2）根据圆的定义作图即可.
14．【答案】（1）解：如图所示，为所求，
；
（2）解：如图，连接，由（1）得直线为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵在中，，
∴且，
∴
∴，即，
∴三点共圆，点在上．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；点与圆的位置关系；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线，与相交于点O，以点O圆心，长为半径作圆，即可.
（2）连接，由（1）得直线为的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，即，即可求出答案.
（1）如图所示，为所求，
；
（2）如图，连接，由（1）得直线为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵在中，，
∴且，
∴
∴，即，
∴三点共圆，点在上．
15．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①设，则， ，
∵，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，，（不合题意，舍去）．
∴．
∴圆O的半径为；
②如图，过点作于点，
，即．
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆的相关概念；等积变换
【解析】【解答】
【分析】（1）根据垂直的定义得到，然后根据等边对等角得到，，即可得到，进而证明结论即可；
（2）①设，在Rt中，利用勾股定理求出半径长即可；
②过点作于点，根据三角形的面积公式求出长，然后计算的面积即可．
16．【答案】（1）①1；2.
②
（2）解：d的取值范围是，点C的坐标为或.
【知识点】点与圆的位置关系；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：①如图，
由定义可知，点A到的距离为，
点A到的距离为，
故答案为：1；2.
②∵当时，直线为过点的水平线，当时，直线且与平行，
又∵点C是直线上一点，
∴如图，当时，
点C的轨迹是射线，射线组成的区域和射线，射线组成的区域，
∵直线是绕点B旋转的直线，
∴当时，A到直线的距离最大，此时，
当直线过点A时，，
∴取值范围是，
故答案为：．
（2）解：由题意知，令点A为动点，则点B、C为定点，
如图，在上取一点B，在取一点，
∵点A是上的动点，
∴过点A作直线的垂线，当时，点A到直线距离最大值为，
再令点B为定点，点C为动点，
∴当时，取得最大值，点A到直线的距离最大值为，
∴的最大值为，此时，
∵当点B和点A同时移动时，如图，直线时，d取得最小值，
∴，
，
∵，点B不能在x轴上，
∴d的取值范围是，
∵当d取得最小值时，，
∴点C在直线上，
设点C坐标为，
∵，
∴，
解得：，
∴，．
【分析】（1）①由定义可知，点A到的距离为，点A到的距离为.
②根当时，直线为过点的水平线，当时，直线且与平行，
又点C是直线上一点，过点A作直线的垂线，当时，点A到直线距离最大值为，即可得取值范围是.
（2）由题意知，令点A为动点，则点B、C为定点，在上取一点B，在取一点，过点A作直线的垂线，当时，点A到直线距离最大值为，
再令点B为定点，点C为动点，当时，取得最大值，点A到直线的距离最大值为，d的取值范围是，同理得当点B和点A同时移动时，如图，直线时，d取得最小值，综合可得d的取值范围是，点C的坐标为或.
（1）解：①如图，由定义可知，点A到的距离为，
点A到的距离为，
故答案为：1，2；
②∵当时，直线为过点的水平线，当时，直线且与平行，
又∵点C是直线上一点，
∴如图，当时，点C的轨迹是射线，射线组成的区域和射线，射线组成的区域，
∵直线是绕点B旋转的直线，
∴当时，A到直线的距离最大，此时，
当直线过点A时，，
∴取值范围是，
故答案为：．
（2）解：由题意知，令点A为动点，则点B、C为定点，
如图，在上取一点B，在取一点，
∵点A是上的动点，
∴过点A作直线的垂线，当时，点A到直线距离最大值为，
再令点B为定点，点C为动点，
∴当时，取得最大值，点A到直线的距离最大值为，
∴的最大值为，此时，
∵当点B和点A同时移动时，如图，直线时，d取得最小值，
∴，
，
∵，点B不能在x轴上，
∴d的取值范围是，
∵当d取得最小值时，，
∴点C在直线上，
设点C坐标为，
∵，
∴，
解得：，
∴，．
17．【答案】解： ∵，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴.
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆的相关概念；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，根据等边对等角得到，然后利用三角形的外角解答即可．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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