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29.1.2 过三点的圆
一、单选题
1．如图，已知点 A，B 和线段 a， 用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过点 A，B，且半径为a，则这样的圆可以作(　　)
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个
2．用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（　　）
A．没有一个内角是钝角 B．至少有一个内角是钝角
C．至少有两个内角是锐角 D．至少有两个内角是钝角
3．如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．则下列说法中不正确的是（　　）
A．∠ABD＝90° B．sin2A+cos2D＝1
C．DB＝AB D．点C是△ABD的外心
4．如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（　　）
A．内心 B．外心 C．重心 D．无法确定
5．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是（　　）
A．　　　　 B． C．　　　　 D．
二、填空题
6．如图，外接圆的圆心坐标为　 　．
7．在Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，则它的外接圆的半径为　 　.
8．三边长为7，24，25的三角形，它的外接圆半径为　 　 ．
9．已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是　 　.
10．如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .经画图操作可知 的外心坐标可能是　 　
11．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为　 　．
12．如图，在等腰中，，则此三角形的重心与外心之间的距离为　 　．
三、复合题
13．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上．
（1）用直尺作出的外接圆圆心；
（2）若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长．
14．李雷为了修复一块圆形的镜子，需要找出镜子残片的圆心和半径．
（1）请利用尺规作图，找到圆形残片的圆心O（保留作图痕迹）；
（2）写出你作图的依据：　 　．
15．在如图所示的方格纸中存在△ABC，其中点A，B，C均在格点上.
（1）仅用无刻度直尺作出△ABC的外接圆圆心O；（保留作图痕迹）
（2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求△ABC外接圆半径R的长。
16． 如图，在每一个四边形ABCD 中，均有 AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12.
（1）如图①，点 M 是四边形ABCD 边AD 上的一点，则△BMC的面积为　 　.
（2）如图②，点 N 是四边形ABCD 边AD 上的任意一点，请你求出△BNC 周长的最小值.
（3）如图③，在四边形ABCD 的边AD 上，是否存在一点 P，使得cos∠BPC 的值最小 若存在，求出此时 cos∠BPC 的值；若不存在，请说明理由.
四、解答题
17．根据三角形外心的概念，我们可以引入一个新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的准外心.
根据准外心的定义，探究如下问题：在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10，AB=6，如果准外心点 P 在AC 边上，求PA 的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：如图，满足题意．
这样的圆可以作2个．
故选：B．
【分析】作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可．
2．【答案】D
【知识点】反证法
3．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形
4．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；运用勾股定理解决网格问题
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；确定圆的条件；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，取中点，连接、，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴最小时，即时，有最小值，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴线段的最小值是．
故选：C．
【分析】连接，取中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据三角形外角求出，根据勾股定理得到，然后根据垂线段最短得出时，有最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
6．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
7．【答案】2.5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵ ∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，
∵ 直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，
∴ 它的外接圆的半径为5÷2=2.5.
故答案为：2.5.
【分析】先求出AB的长度，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，即可得出答案.
8．【答案】12.5
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心
9．【答案】10
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图：
∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴△ABC的外接圆的半径是 ×10=5，即外接圆的直径是10，
故答案为：10.
【分析】根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠C=90°，根据直角三角形外接圆的直径就是直角三角形的斜边长，即可得出答案。
10．【答案】（ 2， 1）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵△ABC的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
∴如图，AB和BC的垂直平分线的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（ 2， 1），
故答案为：（ 2， 1）.
【分析】首先由△ABC的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂直平分线，它们的交点即为△ABC的外心.
11．【答案】（1，4）或（6，5）或（7，4）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的外接圆与外心
12．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的重心及应用
13．【答案】（1）如图，点即为所求；
（2）
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
14．【答案】（1）解：如图点O即为所求．
（2）解：不在同一直线上的三个点确定一个圆，线段垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等．
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：（2）作图依据： 不在同一直线上的三个点确定一个圆，线段垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等．
【分析】（1）利用不在同一直线上的三点能确定一个圆，进而得出答案；（2）结合确定圆的条件以及线段垂直平分线的性质得出答案．
15．【答案】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：连接．
．
故外接圆半径的长为．
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】(1)线段AC，BC的垂直平分线的交点O即为所求；
(2)连接OB，利用勾股定理求解.
16．【答案】（1）
（2）解：延长CD使，则点C和C1关于在直线AD的对称，所以CN1=CN1，
连接C1B交AD与点N1，这时△BNC周长的最小值为△BN1C周长.
在△BCC1中，，
∴△BNC 周长的最小值为
（3）解：如答图，存在点 P，使得 cos∠BPC 的值最小.
作BC的中垂线 PQ 交 BC 于点 Q，交 AD 于点 P，连接 BP，CP，作△BPC 的外接圆⊙O，⊙O 与直线PQ 交于点N，则 PB=PC，圆心O在 PN 上.
∵AD∥BC，∴⊙O与AD 正好相切于点 P.
∴PQ>BQ，则∠BPC<90°，圆心O在弦BC 的上方.
在AD 上任取一点P'，连接P'B，P'C，P'B 交⊙O 于点M，连接MC.
∴∠BPC=∠BMC≥∠BP'C.
∴∠BPC 最大，cos∠BPC 的值最小.
连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC.
∴在 Rt△BOQ 中，(
解得
即此时 cos∠BPC 的值是
【知识点】三角形的面积；三角形的外接圆与外心；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：(1)过点A作AN⊥BC，垂足为N，
△ABN利用锐角三角函数求出.
∴△BMC的面积为.
故答案为：.
【分析】(1)过点A作AN⊥BC，垂足为N，△ABN利用锐角三角函数求出，再根据三角形面积公式即可求解；
(2)△BNC的边BC是定值，求出△BNC周长的最小值也就是在线段AD上找点N使求出BN+CN的最小，
根据两点之间线段最短，所以点只需找到C和C1关于在直线AD的对称，所以CN1=C1N1连接C1B交AD与点N1，这时△BNC周长的最小值为△BN1C周长；
(3)先找到使cos∠BPC的值最小点P.(P在△BPC的外接圆☉O上)，根据勾股定理求出cos∠BPC的值.
17．【答案】解：∵ 在 Rt△ABC 中，∠A =90°，BC=10，AB=6，
如图，连结PB.
设 PA =x，若 PB = PC，则 PB =PC=8-x.
在 Rt△PAB中，
若PA=PC，则 PA=4.
在 Rt△PAB中，不存在 PA=PB.
∴PA 的长为4或
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据准外心的定义，找到点P在AC边上，使得P到A和B的距离相等，利用勾股定理计算AC的长度，再根据直角三角形的性质和勾股定理建立等式求解PA的长度.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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