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29.2.1 垂直于弦的直径
一、单选题
1．如图所示，⊙O的半径为10，弦AB的长度是16，ON垂直AB，垂足为N，则ON的长度为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（　　）
A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm
3．如图，已知⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，若OD=3，OA=5，则AB的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0， 9），D（0，－1），则线段AB的长度为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．如图，在⊙O中，AB是直径，OD⊥AC于点E，交⊙O于点D，则下列结论错误的是（　　）
A．AD＝CD B． C．BC＝2EO D．EO＝DE
二、填空题
6．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为　 　．
7．如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则的长为　 　．
8．如图，为的弦，，延长与相交于点，若，则的半径为　 　．
9．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为　 　 m．
10．如图是一个直径为10cm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=8cm，则油面的深度为　 　.
11．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为　 　．
12．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为　 　．
三、复合题
13．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O ，OD交AC于点E ，．
（1）求证： OD∥BC；
（2）若，，求BC的长．
14．如图，在中，弦垂直平分半径．
（1）求的度数；
（2）若的半径为，求弦的长．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．
（1）若BE=8，求⊙O的半径
（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．
16．车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行使到和路的边界夹角是45°的位置(如图1中②的位置)，例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过.
（1）试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯；
（2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧(分别是以O为圆心，以OM和ON为半径的弧)，具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请你求出ON的最小值.
四、解答题
17．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高为2，弦AB=4 ，求⊙O的半径．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理得出AN=8，进而利用勾股定理即可算出ON的长.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD= AB=4，
由勾股定理得，OA= =5，
故答案为：C.
【分析】连接OA，由垂径定理可得AD=BD=AB，然后用勾股定理可求得半径OA的值.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得 ，
根据垂径定理得AB=2AD=8。
故答案为：D。
【分析】首先根据勾股定理算出AD的长，进而根据垂径定理由AB=2AD得出答案。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接EB，如图所示：
∵C（0，9），D（0，﹣1），
∴OD=1，OC=9，∴CD=10，
∴EB=ED= CD=5，OE=5﹣1=4，∵AB⊥CD，∴AO=BO= AB，OB= =3，
∴AB=2OB=6；
故答案为：C.
【分析】连接EB，易得OD=1，OC=9，则CD=10，进而求出EB、OE的值，然后由勾股定理可得OB，进而根据垂径定理就可得到AB的值.
5．【答案】D
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，OD⊥AC，
∴ ，AE＝CE，故B正确，不符合题意；
∴AD＝CD，故；A正确，不符合题意；
∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴BC＝2OE，故C正确，不符合题意；
∵只有当AD＝AO时，EO＝DE，
∴选项D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由垂径定理得出 ，AE＝CE，根据等弧所对的弦相等得出AD＝CD，进而可得出OE是△ABC的中位线，根据中位线的性质可得BC＝2OE；只有当AD＝AO时，EO＝DE，即可得出答案.
6．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE= CD= ×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=DE= CD= ×6=3，在Rt△OCE中，利用勾股定理即可建立方程，求解即可。
7．【答案】
【知识点】垂径定理
8．【答案】5
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
9．【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵CD垂直平分AB，
∴AD=8．
∴OD= =6m，
∴CD=OC﹣OD=10﹣6=4（m）．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
10．【答案】2cm
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】过点O作OM⊥AB交AB与M，交弧AB于点E. 连接OA.
在Rt△OAM中，
∵OA=5m，AM= AB=4m.
∴OM= = =3m，
∴油的最大深度ME为5 3=2m.
故答案为2m.
【分析】本题是已知圆的直径，弦长求油的深度其实就是弧AB的中点到弦AB的距离，可以转化为求弦心距的问题，利用垂径定理得到OM= ，计算即可得到答案.
11．【答案】 cm
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】根据题意获得下图：
设OB=r cm，
∵刻度尺的宽为2cm，
∴OC=r-2，
∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，
∴BC= ×6=3，
在Rt△OBC中，
∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm．
故答案为 cm．
【分析】设OB=r cm，由于刻度尺的宽为2厘米，所以OC=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，可求出BC的长，在Rt△OBC中，利用勾股定理列出方程即可求出r的值。
12．【答案】
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
13．【答案】（1）证明：∵，OD是半径，
，
又，
，
（2）解：∵AC=8，DE=2，
，，
又∵在Rt△AOE中，，

【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；同位角相等，两直线平行；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)由垂径定理的推论知E为AC的中点，根据中位线定理知OD||BC；
(2)先求出AE和OA的长，根据勾股定理得OE的长，即可得BC的长.
14．【答案】（1）
（2）
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
15．【答案】（1）解：设⊙O的半径为x，则OE=x﹣8，
∵CD=24，由垂径定理得，DE=12，
在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2，
x2=（x﹣8）2+122，
解得：x=13．
（2）解：∵OM=OB，
∴∠M=∠B，
∴∠DOE=2∠M，
又∠M=∠D，
∴∠D=30°，
在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°，
∴OE=4．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径；
（2）根据OM=OB，证出∠M=∠B，根据∠M=∠D，求出∠D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长．
16．【答案】（1）解：消防车不能通过该直角转弯.
理由如下：如图，作FH⊥EC，垂足为H，
∵FH=EH=4，
∴EF=4 ，且∠GEC=45°，
∵GC=4，
∴GE=GC=4，
∴GF=4 ﹣4＜3，
即GF的长度未达到车身宽度，
∴消防车不能通过该直角转弯.
（2）解：若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形，
∴OG=4，OM=4 ，
∴OF=ON=OM﹣MN=4 ﹣4，
∴FG=OG﹣OF= ×8﹣(4 ﹣4)=8﹣4 ＜3，
∴C、D在 上，
设ON=x，连接OC，在Rt△OCG中，
OG=x+3，OC=x+4，CG=4，
由勾股定理得，OG2+CG2=OC2，
即(x+3)2+42=(x+4)2，
解得x=4.5.
答：ON至少为4.5米.
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点F作FH⊥EC于点H，根据道路的宽度求出FH=EH=4m，然后根据等腰直角三角形的性质求出EF、GE的长度，相减即可得到GF的长度，如果不小于车身宽度，则消防车能通过，否则，不能通过；
（2）假设车身C、D分别与点M′、M重合，根据等腰直角三角形的性质求出OG= CD=4，OC= CG=4 ，然后求出OF的长度，从而求出可以通过的车宽FG的长度，如果不小于车宽，则消防车能够通过，否则，不能通过；设ON=x，表示出OC=x+4，OG=x+3，又OG= CD=4，在Rt△OCG中，利用勾股定理列式进行计算即可求出ON的最小值.
17．【答案】解：过点O作OC⊥AB于点C，交 于点D，连接OB， 设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，∵OC⊥AB，∴BC= AB= ×4 =2 ，在Rt△BOC中，∵OC2+BC2=OB2，即（r﹣2）2+（2 ）2=r2，解得r=4．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】此类问题通过添加辅助线过点O作OC⊥AB于点C，交弧AB于点D，连接OB，根据垂径定理求出BC的长，再用含r的代数式表示出OC的长，然后根据勾股定理建立方程求解即可。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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