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29.2.2 圆心角
一、单选题
1．物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．下列两个图形，一定是相似图形的是（　　）
A．两个直角三角形 B．两个矩形
C．两个正五边形 D．两个长度相同的圆弧
3．如图，在⊙O中，是直径，是弦，于，连接，∠，则下列说法正确的个数是（　　）
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在 ⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．AC＝BC B．CD＝CE
C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA
5． 如图， AB 是⊙O的直径， AB=8， 点M在⊙O上，∠MAB=20°， 点N是弧MB 的中点，点P 是直径AB 上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
6．如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE=　 　 °.
7．如图， AB为⊙O的直径， 点C、D 是BE的三等分点， ∠AOE=60°， 则∠BOD 的度数为　 　.
8．如图，在中，请添上一个条件：　 　，使得．
9．如图，是的弦，于点H，点P是所对的优弧上一点，若，，则　 　．
10．如图，中，，截三条边所得弦长相等，则　 　．
11．如图，在⊙O中，AB 为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D，连接 CD . 如果AD=6 ， DB=2 ， 则AC 的长为　 　.
12．如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，且0°<∠ABC<45°，将沿弦BC折叠交AB于点D，E是的中点，连结CE恰好经过圆心O，若AB=2，则AD的长为　 　。
三、复合题
13．已知：如图，A、B、C、D 是 上的点，，.
（1） 证明：；
（2） 求 BD 的长.
14．已知：如图，、、、是上的点，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
15． 如图1， 在⊙O中， AB为直径， P为AO上的点， 过点P作AB 的垂线交⊙O于C， D两点，E为 上的点，且 连结CE交AB 于点 F， 连结 AC， 记.
（1）请用含α的代数式表示.∠ACD。
（2） 若 AF=2BF， 求 tanα 的值。
（3） 如图2， 连结AE交CD 于点G， 若⊙O的半径为5， CP·CG=27， 求AC的长。
16．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB 上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点 C作 的平分线交⊙O于点D，过点 D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E.
（1）如图1，连结AD，求证：
（2）若⊙O的半径为5，求 CA·CE的最大值.
（3）如图2，连结AE，设
①求y关于x的函数表达式.
②若 求y的值.
四、解答题
17．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC．
（1）求∠AOB的度数
（2）求∠EOD的度数
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
2．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；图形的相似
3．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在 ⊙O中，，
，故A选项正确；
在△AOC与△BOC中，
，
，
，
D、E分别是半径OA，OB的中点，
，
在△ACD与△BCE中，
，
，
，，故B、C选项正确；
∵CA和CO不一定相等，
∴CD和OA不一定垂直，故D选项不成立.
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的弦相等可判断A；证明△AOC≌△BOC，得到∠CAD=∠CBE，易得AD=BE，进而证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，∠ACD=∠BCE，据此判断B、C；CA与CO不一定相等，据此判断D.
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点M关于AB的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK.
则∠MAB=∠KAB=20°，
∵OA=OM=OK，
∴∠AMO-∠OAM=∠OAK=∠OKA=20°，
∴∠MOB=∠A+∠OMA=40°，∠BOK=∠OAK+∠OKA=40°，
∴∠MON=∠NOB=20°，
∴∠KON=60°，
∵ON=OK，
∴△NKO是等边三角形，
∴NK=ON=4，
∵M，K关于AB对称，
∴PM=PK，
∴PN+PM=PN+PK≥NK=4，
∴PM+PN的最小值为4，
∴△PMN的周长的最小值=PM+PN+MN=4+1=5，
故选：B.
【分析】如图，作点M关于AB的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK.证明△ONK是等边三角形，再利用两点之间线段最短即可解决问题.
6．【答案】75
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，∠COD=35°，
∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=75°，
故答案为：75°.
【分析】在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等可得∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，可得∠BOE的度数，由邻补角性质可得∠AOE的度数。
7．【答案】80°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；邻补角
【解析】【解答】解：∵为的直径，，
∴，
∵点、是的三等分点，
∴，
故答案为：．
【分析】由平角的定义求出的度数，再根据弧、弦、圆心角的关系得到解答即可．
8．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：添加，
则．
故答案为：．
【分析】根据弧，弦之间的关系即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，
过点分别作，垂足分别是，
∴，
截三条边所得弦长相等，
点到三角形三条边的距离相等，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点分别作，垂足分别是，即可得与相等，与相等，与相等，与相等，再根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理得相等，再根据角平分线的判定定理得相等，相等，进一步推理即可得的度数.
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接CO、CB，作CE⊥AB于点E，
∵和所对圆周角为∠CAB
∴=
∴BC=DC
∵CE⊥BD
∴DE=BE=BD=1
∴AB=AD+BD=6+2=8
∴OB=OC=AB=4
∴OE=OB-BE=4-1=3
∴AE=AD+DE=6+1=7
∴CE=
∴AC=
故答案为： .
【分析】和所对圆周角为∠CAB得CD=CB，由等腰三角形的性质知DE=BE=1，由勾股定理得CE的长，由此可得AC的长.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：连接CD， AC，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
∵点E是 的中点，
∴设 的度数为α，
则 的度数为2α， ∠DCE=∠BCE=α，
∵CE恰好经过圆心O， AB=2，
∴OB=OC=OA=1，
∴∠ABC=∠BCE=α，
的度数为α， 的度数为α，
的度数为3α
由折叠的性质得： 的度数为3α，
的度数为180°，
∴α+3α=180°，
解得： α=22.5°，
∴∠ABC=∠BCE=∠DCE=22.5，
∴∠DCB=∠DCE=∠BCE=45°，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC=67.5°，
又∵∠ADC=∠DCB+∠ABC=67.5°，
∴AC=CD，
∵CH⊥AB，
∴AH=DH，
在 中，
是等腰直角三角形，即(CH=OH，由勾股定理得： H，
故答案为：.
【分析】连接CD， AC，过点C作 于点H，设弧DE的度数为α，根据折叠的性质及圆周角定理可求出 则 则 是等腰直角三角形，即CH=OH，再由勾股定理得 进而得 据此可得AD的长.
13．【答案】（1）证明：，
，
即，
∴.
（2）解：，，
.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】(1)由∠1=∠2各∠DOB=∠COA，即得；
(2)由BD=AC即得结果.
14．【答案】（1）证明：，
，
即．
∴．
（2）证明：解：∵，，
．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）由角的构成及等量加等量和相等推出∠BOD=∠COA，由同圆中相等得圆心角所对弧相等可得结论；
（2）由等弧所对弦相等可得答案.
（1）证明：，
，
即．
∴．
（2）解：∵，，
．
15．【答案】（1）解：∵AB⊥CD， AB为直径
∴
又∵
∴
∴∠DCE=∠ACD=α
（2）解：由 (1) 可得， AP=FP
设AP=FP=2a， BF=2a
则AB=6a，
连结OC， 得OC=OA=3a， OP=a
在Rt△OPC中，
而∠ADC=∠DCE=α
所以
（3）解：
∵由 (1) 得
∴∠DCA=∠DCE=∠AEC， AE=CD
∴CG=EG， AG=GD
又∵
设OP=x， 则.AP-FP=5-x
∴
=50-10x
∵∠ACG=∠E， ∠CAG=∠EAC
∴△CAG∽△EAC
∴-(2·CP-CG)·2·CP
∴
即
解得：
当x-2时，
同理，当 时
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由垂径定理知，又得，由此可得∠ACD的度数；
(2)由(1)知AP=PF，求出OC和OP的长，由勾股定理得CP的长，由此可得正切值；
(3)由(1)得CG=GE，AG=DG，设OP=x结合△CAG∽△EAC可得，求出x的值，即可得AC的长.
16．【答案】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠E，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC=∠E
（2）解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCE，
又∵∠ADC=∠E，
∴△ADC∽△DEC，
即
又∵⊙O的半径为5，
即CA·CE的最大值为100
（3）解：①如图，连结AD，
∵△ADC∽
过点D作 DF⊥CE于点 F，不妨设 EF=a，
∵∠CED=∠CBA，∠DCE=45°，
又
②
即x：y=9：4，
将 代入 得
解得
当x=2时： 当 时 或
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据AB//DE，可得∠ABC=∠E，又由同圆中同弧所对圆周角相等即可求解；
(2)先找出△ADC∽△DEC，即可得到CD2=CA·CE，再根据圆的半径为5可知最大为CD=5，即CA·CE=100；
(3)①由(2)的相似可得，再过点D作DF⊥CE，设EF=a，则CF=DF=ax，，代入y即可求解.
②根据，得到，即x：y=9：4，代入y的表达式即可求出结果.
17．【答案】（1）20°；（2）60°．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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