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29.2.3 圆周角
一、单选题
1．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（　　）
A．50° B．80° C．90° D．100°
2．如图， ， 是 的直径， ，若 ，则 的度数是（　　）
A．32° B．60° C．68° D．64°
3．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为（　　）
A．20° B．40° C．50° D．70°
4．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E.设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180°
C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
5．如图，AB是半圆的直径，点D是 的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
二、填空题
6．如图，在⊙O中， ＝ ，∠AOB与∠COD的关系是　 　.
7．如图，已知圆周角∠ACB=130°，则圆心角∠AOB=　 　．
8．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点， ，若∠AOB=58°，则∠BDC=　 　度.
9．如图，AC是半圆O的一条弦，以弦AC为折线将弧AC折叠后过圆心O，⊙O的半径为2，则圆中阴影部分的面积为　 　.
10．如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E，若AD＝1，BD＝7，则CE的长为　 　.
11．如图，四边形 是 的内接四边形，且 ，点 在 的延长线上，若 ，则 的半径 　 　.
12．如图，正方形中，，点E为的中点，点P为边上一动点，连接，作，交于点M．点N为线段上一点，且，连接，取的中点H，连接，则线段的最小值为　 　．
三、复合题
13．如图，是的一个内接三角形，点是劣弧上一点（点不与，重合），设，．
（1）当时，求的度数；
（2）猜想与之间的关系，并给予证明．
14．阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
三角形外接圆半径公式
如图1，为的外接圆，的，，所对的边分别为a，b，c，的半径为R，S为的面积，则有公式：．
下面是该公式的证明过程：
证明：如图1，连接并延长交于点D，连接．
∵为直径，
∴（依据1）.
在中，，
∵，
∴（依据2），
∴.
过点C作于点E，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
由此得出的外接圆的半径公式为．
任务：
（1）填空：材料中的依据1是指______，依据2是指______．
（2）如图2，已知的面积，，，求b的值．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC=EC，求证：AD=BE
16．如图，在平面直角坐标系中，点A（－5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF.
（1）当∠BAC＝30 时，求△ABC的面积；
（2）当DE＝8时，求线段EF的长；
（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
四、解答题
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直径.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ABC=100°．
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理，可得∠AOC=2∠ABC，代入求解即可。
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧AE=弧BD，∴∠AOE=∠BOD=32°.
∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOC=32°，∴∠COE=32°+32°=64°.
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等得出∠AOE=∠BOD=32°，根据对顶角相等得出∠BOD=∠AOC=32°，进而根据角的和差，由∠COE=∠AOE+∠AOC即可算出答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】∵∠D=40°，
∴∠B=∠D=40°.
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90° 40°=50°.
故答案为：C.
【分析】由同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠D，由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，再结合三角形的内角和定理即可求解。
4．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO
＝90°﹣∠AED
＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC
＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果.
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结BD，如图，
∵点D是 的中点，即 ，
∴∠ABD＝∠CBD，
而∠ABC＝50°，
∴∠ABD＝ ×50°＝25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣25°＝65°.
故答案为：A.
【分析】连结BD，由于点D是 的中点，即 ，根据圆周角定理得∠ABD＝∠CBD，则∠ABD＝25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB＝90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数.
6．【答案】∠AOB＝∠COD
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵在⊙O中，弧AB=弧CD，∠AOB与∠COD分别是弧AB与弧CD所对的圆心角
∴∠AOB=∠COD.
故答案为：∠AOB=∠COD.
【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOB=∠COD.
7．【答案】100゜
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】如图，
∵∠α=2∠ACB，
而∠ACB=130°，
∴∠α=260°，
∴∠AOB=360°-260°=100°．
故答案为100°．
【分析】根据圆周角定理，由∠ACB=130°，得到它所对的圆心角∠α=2∠ACB=260°，用360°-260°即可得到圆心角∠AOB．
8．【答案】29
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC.
∵ ，
∴∠AOB=∠BOC=58°，
∴∠BDC= ∠BOC=29°.
故答案为：29.
【分析】连接OC，根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOB=∠BOC=58°，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】过点 作 ，交 于 ，连接 、 ，
，
，
是 的直径，
，
，
，
是等边三角形，
，
弓形 面积 弓形 的面积，
阴影部分面积 .
故答案为： .
【分析】过点 作 ，交 于 ，连接 、 ，证明弓形 的面积 弓形 的面积，这样图中阴影部分的面积 的面积.
10．【答案】
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BC
∵AB为直径
∴∠C＝∠D＝90°
∵AD＝1，BD＝7，
∴AB＝ ＝ ＝5
∵点C为半圆的中点，
∴AC＝BC
∴AC2+BC2＝AB2
∴2BC2＝50
∴BC＝AC＝5
∵∠C＝∠D，∠BEC＝∠AED
∴△BEC∽△AED
∴ ＝ ＝ ＝
∴
∴
故答案为： .
【分析】连接AD，BC，由直径所对的圆周角是直角可得∠C＝∠D＝90°，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得AB的值，在等腰直角三角形ABC中，同理可求得BC＝AC的值，根据“两角对应相等的两个三角形相似”可得△BEC∽△AED，于是可得比例式求解.
11．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】如图，连接BD，过点O作OF⊥BD于F，
∵四边形 是 的内接四边形，且AB=AD=8，∠DCE=60 ，
∴∠DCE=∠A=60 ，∠BOD=2∠A=120 ，
∴ 是等边三角形，AB=AD=BD= 8，
∵OB=OD，OF⊥BD，
∴∠BOF= BF= ，
∴ .
故答案为： .
【分析】连接BD，过点O作OF⊥BD于F，利用圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，求出∠A的度数，利用圆周角定理求出∠BOD的度数，由此可证得△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质BD的长，再利用垂径定理求出BF的长，然后利用解直角三角形求出OB即可。
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；圆周角定理
13．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
14．【答案】（1）直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等
（2）
【知识点】圆周角定理；解直角三角形
15．【答案】（1）解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
又∵∠ADC=86°，
∴∠CBE=86°.
（2）证明：∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∵AC 平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠E，又∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
在△ ADC 和△ EBC 中
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD=BE.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质和邻补角定义可得∠ADC=∠CBE，结合已知条件即可得出答案.
（2）根据等腰三角形性质和角平分线定义可得∠DAC=∠E，由（1）知∠ADC=∠CBE，根据全等三角形判定AAS可得△ADC≌△EBC，再由全等三角形性质即可得证.
16．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，
∴BC= AB=5，
∴AC= ，
∴S△ABC= AC BC=
（2）解：连接AD，
∵∠ACB=90°，CD=BC，
∴AD=AB=10，
∵DE⊥AB，
∴AE= =6，
∴BE=AB AE=4，
∴DE=2BE，
∵∠AFE+∠FAE=90°， ∠DBE+∠FAE=90°，
∴∠AFE=∠DBE，
∵∠AEF=∠DEB=90°，
∴△AEF∽△DEB，
∴ =2，
∴EF= AE= ×6=3
（3）解：连接EC，设E(x，0)，
当 的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；
①0°< 的度数<60°时，点E在O、B之间，∠EOF>∠BAC=∠D，
又∵∠OEF=∠ACB=90°，由相似知∠EOF=∠EBD，此时有△EOF∽△EBD，
∴ ，
∵EC是Rt△BDE斜边的中线，
∴CE=CB，
∴∠CEB=∠CBE，
∴∠EOF=∠CEB，
∴OF∥CE，
∴△AOF∽△AEC
∴ ，
∴ ，即 ，
解得x= ，因为x>0，
∴x= ；
②60°< 的度数<90°时，点E在O点的左侧，
若∠EOF=∠B，则OF∥BD，
∴OF= BC= BD，
∴ 即 解得x= ，
若∠EOF=∠BAC，则x= ，
综上点E的坐标为( ，0) ；（ ，0）；（ ，0）.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ACB=90°，根据30°的直角三角形的性质求得BC，进而根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD，由垂直平分线的性质得AD=AB=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依题意证明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；（3）当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标.
17．【答案】解：连接OB，OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=4，
∴⊙O的直径=8.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=60°，根据等边三角形的性质即可得到结论.
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