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30.1 直线与圆
一、单选题
1．如图，若的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　）
A． B． C． D．
2．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，那么点O到直线l的距离是（　　）
A．2.5 B．3 C．5 D．10
3．已知 的半径是 ，圆心 到同一平面内直线 的距离为 ，则直线 与 的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（-4，0），B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
5．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)
　
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
二、填空题
6．如图，，是的两条切线，切点分别是、，，是的切线，交于点，交于点，则的周长是　 　．
7．如图，是的弦，的延长线交过点B的的切线于点C，如果，则的度数是　 　 ．
8．已知的半径为，圆心到直线的距离为4，若直线与相离，且为整数，则的值可以为　 　．（写出一个即可）
9．如图，大圆O的半径OC是小圆O1的直径，且有OC垂直于圆O的直径AB.圆O1的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D.已知圆O1的半径为r，则AO1＝　 　，DE＝　 　.
10．如图，∠ACB=60°，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是　 　 cm．
11．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F．且AB＝5，AC＝12，BC＝13，则⊙O的半径是　 　．
12．在平面直角坐标系中，直线经过点，若的半径为，圆心M在坐标轴上，且不与原点重合，当与直线相切时，则点M的坐标为　 　.
三、复合题
13．如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
14．如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
15．如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD＝OB，CD＝CA.
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A＝30°，求线段BE.
16．如图所示，AB为半圆O的直径，C为圆上一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，DE= ，求线段AC的长
四、解答题
17．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
求证：AB=BE．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，，
∴这条直线与圆相交，
由图可知只有直线与圆相交，
故答案为：B.
【分析】设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交，结合题意观察图形，可得答案.
2．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据圆与直线的位置关系可得：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径可知点O到直线l的距离是5；
故答案为：C.
【分析】根据圆与直线的位置关系可得：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可直接得出答案.
3．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】根据题意可知：4＞3，
∴直线与圆相交；
故答案为：A.
【分析】根据直线与圆的位置关系“直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交、直线与圆相离、直线与圆相切。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离”并结合题意即可判断求解.
4．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP、OQ.
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ.
根据勾股定理知PQ2＝OP2 OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短，
又∵A（ 4，0）、B（0，4），
∴OA＝OB＝4.
∴AB＝ .
∴OP＝ AB＝ .
∴PQ＝ .
故答案为：B.
【分析】如图，连接OP、OQ，由勾股定理可求得PQ2＝OP2 OQ2，要使PQ最小只需OP最短，由垂线段最短可知当PO⊥AB时，线段PQ最短，再根据等腰直角三角形的性质可求解.
5．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交 d＜r；②直线l和⊙O相切 d=r；③直线l和⊙O相离 d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．
【解答】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
6．【答案】20
【知识点】切线长定理
7．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；切线的性质；直角三角形的性质
8．【答案】（答案不唯一）
【知识点】直线与圆的位置关系
9．【答案】 r； r
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接O1D.
∵圆O1的切线AD交OC的延长线于点E，
∴O1D⊥AE，
由题意知，CO＝AO＝2r，O1D＝O1C＝r，
由切线长定理知，AD＝AO＝2r，
∴AO1＝ r，
由勾股定理得，AE2＝AO2+OE2，
即（2r+DE）2＝（2r）2+（2r+EC）2，①
O1E2＝O1D2+DE2，
即（r+EC）2＝r2+DE2，②
由①②解得，DE＝ r.
故填空答案： r； r.
【分析】连接O1D，由切线的性质知O1D⊥AE，由题意知，CO=AO=2r，O1D=O1C=r，进而由切线长定理知，AD=AO=2r；再根据勾股定理得AE2＝AO2+OE2，O1E2＝O1D2+DE2，然后即可得到关于DE，CE，的方程组，解之即可得到DE= r.
10．【答案】
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F；
连接WE，WF，CW，OC，OW，则OW=CF，WF=1，∠WCF= ∠ACB=30°，
所以点O移动的距离为OW=CF=WF cot∠WCF=WF cot30°= ．
【分析】根据题意画图，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OWC是矩形；构造直角三角形利用直角三角形中的30°角的三角函数值，可求得点O移动的距离为OW=CF=WF cot∠WCF=WF cot30°= ．
11．【答案】2
【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD、OE、OF，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，AE＝AF，
∵AB＝5，AC＝12，BC＝13，
即52+122＝132，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠A＝90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴OE＝OF＝AE＝AF，
设⊙O的半径是r，
则AF＝AE＝r，BF＝BD＝5﹣r，EC＝DC＝12﹣r，
∵BD+DC＝BC＝13，
∴5﹣r+12﹣r＝13，
解得r＝2．
所以⊙O的半径是2．
故答案为：2．
【分析】连接OD、OE、OF，由圆的切线的性质可得OE⊥AC，OF⊥AB，AE＝AF，根据勾股定理的逆定理可判断∠A＝90°，结合已知易证四边形AEOF是正方形，所以OE＝OF＝AE＝AF，设⊙O的半径是r，根据BD+DC＝BC可得关于r的方程，解方程可求解.
12．【答案】（8，0）或（0，6）
【知识点】坐标与图形性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△PQO中，OP=3，OQ=4，
∴PQ=，
当圆心M在x轴上，在点Q的左边时，设⊙M与直线l相切于F，
连接MF，则MF=，MF⊥PQ，
∵∠MFQ=∠POQ=90°，∠MQF=∠PQO，
∴△MQF～△PQO，
∴，
∵MF=，OP=3，PQ=5，
∴，
即点M与原点重合，不合题意，
当圆心M在x轴上，在点Q的右边时，设⊙M与直线l相切于N，
同理可得，△M1QN～△PQO ，得QM1=4，
∴OM=4+4=8，
∴点M1的坐标M1（8，0），
当圆心M在y轴上，在点P的下边时，圆心M与原点重合，不合题意，
当圆心M在y轴上，在点P的上边时，设⊙M2与直线l相切于E，
连接M2E，则M2E=，M2E⊥PQ，
∵∠M2EP=∠POQ=90°，∠M2PE=∠QPO，
∴△M2PE～△QPO，
∴，
∵M2E=，OQ=4，PQ=5，
∴OM2=3+3=6，
∴点M2的坐标M2（0，6），
综上所述，则点M的坐标为（8，0）或（0，6）.
故答案为：（8，0）或（0，6）.
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出PQ的长，当圆心M在x轴上，在点Q的左边时，设⊙M与直线l相切于F，连接MF，易证△MQF～△PQO，利用相似三角形的对应边成比例，可求出MQ的长，即点M与原点重合，不合题意；当圆心M在x轴上，在点Q的右边时，设⊙M与直线l相切于N，同理可得，△M1QN～△PQO ，得QM1=4，可求出OM的长，即可得到点M1的坐标；当圆心M在y轴上，在点P的下边时，圆心M与原点重合，不合题意；当圆心M在y轴上，在点P的上边时，设⊙M2与直线l相切于E，连接M2E，易证△M2PE～△QPO，利用相似三角形的对应边成比例可求出M2P的长，即可求出OM2，由此可得到点M2的坐标，综上所述可得到符合题意的点M的坐标.
13．【答案】（1）解：如图1，即为所作；
（2）解：以点D为圆心，CD为半径作圆，作于，如图所示：
∵是的平分线，∠ACD=90°，，
∴，
∵CD是半径，
∴DC是半径，
∴与相切．
【知识点】角平分线的性质；切线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）以点D为圆心，CD为半径作圆，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，即可证得结论．
（1）解：如图1，即为所作；
（2）证明：如图2，作于，
∵是的平分线，，，
∴，
∵是半径，，
∴与相切．
14．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵为的直径，
∵为的斜边上的中线，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵为的斜边上的中线，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先连接OD，由BC为直径得∠BDC=90°，从而DE为Rt△ADC斜边上的中线得ED=EC，再利用等腰三角形性质及角度关系证明∠EDO=90°即可；
（2）先利用直角三角形斜边中线性质求出AC，再由∠ABC=30°求出AB，然后利用勾股定理求出BC，最后在Rt△BCD中求出CD，再用勾股定理求得BD的长.
（1）证明：如图，连接，
∵为的直径，
∵为的斜边上的中线，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵为的斜边上的中线，
．
15．【答案】（1）证明：如图1，连结OC，
∵点O为直角三角形斜边AB的中点，
∴OC=OA=OB.
∴点C在⊙O上，
∵BD=OB，
∴AB=DO，
∵CD=CA，
∴∠A=∠D，
∴△ACB≌△DCO，
∴∠DCO=∠ACB=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图2，
在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，
∵∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴BE=BCcos60°=8× =4.
【知识点】切线的判定；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）如图1，连结OC，根据直角三角形斜边中点的性质得出OC=OA=OB，进一步得出点C在⊙O上，由等边对等角得出∠A=∠D，然后通过证得△ACB≌△DCO，得出∠DCO=∠ACB=90°，即可证得CD是⊙O的切线；（2）解直角三角函数即可求得.
16．【答案】（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAD，
∴AE∥OD，
∴∠AED+∠EDO=180°，
∵DE⊥AC，
∴∠EDO=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC交OD于F，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵∠AED=∠EDO=90°，∴四边形DECF为矩形，∴DE=CF= ，∠DFC=90°，∴OD⊥BC，
∴BC=2CF=2 ，
∵AB=4，
∴AC= =2．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）证切线需要证明该线垂直于过切点的半径，所以我们首先要连接OD，并进一步利用平行线性质，互补关系，证明∠EDO=90°
（2）利用垂径定理结合矩形性质可得DE=CF= ，BC=2CF=2 ，再利用勾股定理易得AC= =2．
17．【答案】证明：连接OD，如图，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PC，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴∠E=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠E，
∴BA=BE．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】连接OD，根据切线的性质得OD⊥PC，由于BE⊥PC，则可判断OD∥BE，根据平行线的性质得∠E=∠ODA，然后证明∠OAD=∠E得到BA=BE．
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