资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
30.1.2 圆的切线
一、单选题
1．如图，为直径，是的切线，为切点，交的延长线于点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，与相切于点，，的半径3，则的长是（　　）
A．3 B． C． D．
3．如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数是（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙ 交于点D，连结OD．若 ，则∠AOD的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为 ，直线AB为⊙O的切线，B为切点，则B点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=　 　．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝40°，则∠C＝　 　°．
8．如图，直线经过上的点C，并且，则直线和的位置关系是　 　．
9．如图，已知⊙P的半径为4，圆心P在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上运动，当⊙P与x轴相切时，则圆心P的坐标为　 　.
10．如图，大圆O的半径OC是小圆O1的直径，且有OC垂直于圆O的直径AB.圆O1的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D.已知圆O1的半径为r，则AO1＝　 　，DE＝　 　.
11．如图， 、 、 是 的切线，P、C、D为切点，如果 ， ，则 的长为　 　.
12．如下图，在边长为3的正方形ABCD中，圆O1与圆O2外切，且圆O1分别与DA、DC边相切，圆O2分别与BA、BC边相切，则圆心距O1O2为　 　.
三、复合题
13．如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
14．如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
15．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，延长BA到D，使∠BDC=30°．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求DC的长．
16．如图所示，AB为半圆O的直径，C为圆上一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，DE= ，求线段AC的长
四、解答题
17．如图， 是 的直径， 为半圆 上一点，直线 经过点 ，过点 作 于点 ，连接 ，当 平分 时，求证：直线 是 的切线.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，为切点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据，结合等腰三角形的性质得，进一步得，再结合切线的性质得，再根据直角三角形两锐角互余得即可.
2．【答案】C
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
4．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC是⊙O的切线
∴∠CAB= ，
又∵
∴∠ABC= - =40
又∵OD=OB
∴∠BDO=∠ABC=40
又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD
∴∠AOD=40 +40 =80
故答案为C.
【分析】由AC是⊙O的切线可得∠CAB= ，又由 ，可得∠ABC=40 ；再由OD=OB，则∠BDO=40 最后由∠AOD=∠OBD+∠OBD计算即可.
5．【答案】D
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；切线的性质；切线的判定
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵⊙O的半径为2，点A的坐标为 ，即OC=2.
∴AC是圆的切线.
∵OA=4，OC=2，
∴∠AOC=60°.
又∵直线AB为⊙O的切线，
∴∠AOB=∠AOC=60°.
∴∠BOD=180°－∠AOB-∠AOC=60°.
又∵OB=2，∴OD=1，BD= ，即B点的坐标为 .
故答案为：D.
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，根据A点坐标可得AC为⊙O的切线，同时求出∠AOC的大小，结合AB为⊙O的切线， 可得∠AOB=∠AOC=60°，从而得出∠BOD=60°，最后解直角△BOD即可求出B点的坐标.
6．【答案】40°
【知识点】切线的性质
7．【答案】10
【知识点】切线的性质
8．【答案】相切
【知识点】切线的判定
9．【答案】（1+2 ，4），（1﹣2 ，4），（1，﹣4）
【知识点】切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当半径为4的⊙P与x轴相切时，
此时P点纵坐标为4或﹣4，
∴当y＝4时，4＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝1+2 ，x2＝1﹣2 ，
∴此时P点坐标为：（1+2 ，4），（1﹣2 ，4），
当y＝﹣4时，﹣4＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝x2＝1，
∴此时P点坐标为：（1，﹣4）.
综上所述：P点坐标为：（1+2 ，4），（1﹣2 ，4），（1，﹣4）.
故答案为：（1+2 ，4），（1﹣2 ，4），（1，﹣4）.
【分析】根据⊙P的半径为4和⊙P与x轴相切得出P点的纵坐标，进而得出其横坐标，即可得出答案.
10．【答案】 r； r
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接O1D.
∵圆O1的切线AD交OC的延长线于点E，
∴O1D⊥AE，
由题意知，CO＝AO＝2r，O1D＝O1C＝r，
由切线长定理知，AD＝AO＝2r，
∴AO1＝ r，
由勾股定理得，AE2＝AO2+OE2，
即（2r+DE）2＝（2r）2+（2r+EC）2，①
O1E2＝O1D2+DE2，
即（r+EC）2＝r2+DE2，②
由①②解得，DE＝ r.
故填空答案： r； r.
【分析】连接O1D，由切线的性质知O1D⊥AE，由题意知，CO=AO=2r，O1D=O1C=r，进而由切线长定理知，AD=AO=2r；再根据勾股定理得AE2＝AO2+OE2，O1E2＝O1D2+DE2，然后即可得到关于DE，CE，的方程组，解之即可得到DE= r.
11．【答案】3
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB-AP=8-5=3.
故答案为：3.
【分析】由切线长定理可得AC=AP，BP=BD，然后根据BD=PB=AB-AP进行计算.
12．【答案】
【知识点】切线的性质；相切两圆的性质
【解析】【解答】解：连接BD，则圆心O1、O2在BD上，设⊙P与正方形的切点为H、G，
设圆O1的半径为R，圆O2的半径为r，
∵且O1分别与DA、DC边相切，∴O1G⊥AD、O1H⊥DC.
又∵O1G= O1H=R，∴四边形GO1HD为正方形.
∴.
同理， .
∵AB=AD=3cm，∴ .
∴DO1+ O1O2+BO2=BD= ，即： .
∴.
∴圆心距O1O2为 .
故答案为： .
【分析】连接BD，则圆心O1、O2在BD上，设⊙P与正方形的切点为H、G，设圆O1的半径为R，圆O2的半径为r，根据切线的性质得出O1G⊥AD、O1H⊥DC，进而判断出四边形GO1HD为正方形，根据等腰直角三角形的性质得出，，根据勾股定理算出BD的长，由DO1+ O1O2+BO2=BD列出方程，求解即可得出答案.
13．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵为的直径，
∵为的斜边上的中线，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵为的斜边上的中线，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先连接OD，由BC为直径得∠BDC=90°，从而DE为Rt△ADC斜边上的中线得ED=EC，再利用等腰三角形性质及角度关系证明∠EDO=90°即可；
（2）先利用直角三角形斜边中线性质求出AC，再由∠ABC=30°求出AB，然后利用勾股定理求出BC，最后在Rt△BCD中求出CD，再用勾股定理求得BD的长.
（1）证明：如图，连接，
∵为的直径，
∵为的斜边上的中线，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵为的斜边上的中线，
．
14．【答案】（1）解：如图1，即为所作；
（2）解：以点D为圆心，CD为半径作圆，作于，如图所示：
∵是的平分线，∠ACD=90°，，
∴，
∵CD是半径，
∴DC是半径，
∴与相切．
【知识点】角平分线的性质；切线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）以点D为圆心，CD为半径作圆，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，即可证得结论．
（1）解：如图1，即为所作；
（2）证明：如图2，作于，
∵是的平分线，，，
∴，
∵是半径，，
∴与相切．
15．【答案】（1）解：连接OC．∵OB=OC，∠B=30°，∴∠OCB=∠B=30°，∴∠COD=∠B+∠OCB=60°，
∵∠BDC=30°，
∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC，
∵BC是弦，∴点C在⊙O上，
∴DC是⊙O的切线，点C是⊙O的切点；
（2）解：∵AB=2，
∴OC=OB= =1，
∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，
∴DC= OC= .
【知识点】三角形内角和定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OC，根据已知易证明∠COD=60°，再利用三角形内角和定理求出∠DCO的度数，即可证得DC⊥OC，根据切线的判定定理即可证得结论。
（2）根据已知求出OC的长，然后在Rt△COD中，利用解直角三角形求出DC的长即可。
16．【答案】（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAD，
∴AE∥OD，
∴∠AED+∠EDO=180°，
∵DE⊥AC，
∴∠EDO=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC交OD于F，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵∠AED=∠EDO=90°，∴四边形DECF为矩形，∴DE=CF= ，∠DFC=90°，∴OD⊥BC，
∴BC=2CF=2 ，
∵AB=4，
∴AC= =2．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）证切线需要证明该线垂直于过切点的半径，所以我们首先要连接OD，并进一步利用平行线性质，互补关系，证明∠EDO=90°
（2）利用垂径定理结合矩形性质可得DE=CF= ，BC=2CF=2 ，再利用勾股定理易得AC= =2．
17．【答案】证明：连接 .
平分 ，
.
，
，
，
，
，
.
点 为半径 的外端点，
直线 是 的切线.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定
【解析】【分析】由AC为角平分线得到 ，再由半径OA=OC，利用等边对等角得到 ，可证 ，由平行线的性质可得出OC与CD垂直，则CD为圆O的切线.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑