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30.2 三角形的内切圆
一、单选题
1．如图，中，，点是的内心．则的度数（　　）
A． B． C． D．
2．三角形的内心是三角形的（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点
3．根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定内心的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（　　）
A． B．4 C． D．
5．如图，⊙I是Rt△ABC中的内切圆，，过点I作分别交CA，CB于E，F，若EA＝4，BF＝3，则⊙I的半径是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在中，，点I是内心，则　 　．
7．如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为　 　．
8．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为O，则点O是的　 　心
9．如图，在中，，是的内切圆，则的半径为　 　．
10．如图，⊙是的内切圆，，则　 　．
11．《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径是多少？”答：直径是　 　步．
12．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，内接于圆，顶点，，均在格点上
（1）线段的长为　 　；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的内心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过5条）．　 　
三、复合题
13．计算：
（1）（5 ﹣6 +4 ）÷ .
（2）（3 ﹣2 ）2﹣（3 +2 ）2.
14．计算：
（1）=　 　.
（2） ＝　 　．
15．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于点D，与△ABC的外接圆相交于点E，连接BE.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
16．如图，中，，点I是的内心．
（1）O是边上一点，以r为半径的恰好经过B、I两点，求r的值；
（2）过点I的直线l分别交边、边于点M、N．以下两个结论：①为定值；②为定值，其中只有一个结论是正确的，判断哪个结论正确并求出该定值．
四、解答题
17．以6、8、10为三边的，O是它的外心，I是它的内心，r是它内切圆半径，求r及的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
2．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
3．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心；尺规作图-作角的平分线
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，
连接，，设与相切于点，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵是的内切圆，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】连接，，设与相切于点，连接，根据等边三角形性质可得，根据三角形内切圆性质可得，，，则，根据等角对等边可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据特殊角的三角形函数值即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
6．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵点I是的内心，
∴、分别平分、，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】首先点I是的内心，，，再根据三角形内角和定理可得出进而得出，再根据三角形内角和定理即可得出58°=122°。
7．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
8．【答案】内心
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心
9．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
10．【答案】117
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵是的内切圆，
∴，，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据三角形内切圆性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求出答案
11．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
12．【答案】5；利用等腰三角形的性质找到线段的垂直平分线，找到线段垂直平分线，交于点，交内接于圆于点，由垂径定理得到点是的中点，连接交于点，则点为的内心
【知识点】三角形的内切圆与内心；运用勾股定理解决网格问题
13．【答案】（1）解：原式＝
＝20﹣18+8
＝2+8 ；
（2）解：原式＝（3 ﹣2 +3 +2 ）（3 ﹣2 ﹣3 ﹣2 ）
＝6 ×（﹣4 ）
＝﹣24 .
【知识点】代数式求值；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先将括号打开，再分别计算除法，将结果化简，最后合并同类项即可；
（2）根据平方差公式计算即可.
14．【答案】（1）
（2）
【知识点】算术平方根；有理数的乘方法则
【解析】【解答】（1） ＝ ；（2） ＝ ，
故答案为： ；
【分析】直接由乘方和算术平方根的定义即可求得.
15．【答案】（1）证明：连接BI，
∵点I是△ABC的内心，∴ ， .∵ ，∴ ， .∴ ， .
（2）解：∵ ， ，∴△EBD∽△EAB.∴ ， .∴ .
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证明 只需证出 ；（2）求出△EBD∽△EAB，可得 ，进而可得到 .
16．【答案】（1）r的值为
（2）②正确，定值为
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
17．【答案】r为2，长
【知识点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
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