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第二十九章 圆
一、单选题
1．如图所示，点P是上的任意一点，则以点P为端点的半径（　　）
A．有1条 B．有2条 C．有无数条 D．不存在
2．如图所示，是的直径，点，在上，，则的度数是（　　）
A．136° B．137° C．138° D．139°
3．如图，点A、B、C、D在上，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．一点到某圆的最小距离为4，最大距离为9，则该圆的半径是（　　）
A．2.5或6.5 B．2.5 C．6.5 D．5或13
5．如图，四边形内接于，连接，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．如果三角形内的一点到三边的距离相等，则这点是（　　）
A．三角形三条边垂直平分线的交点
B．三角形三条边中线的交点
C．三角形三个内角平分线的交点
D．三角形三条边上高的交点
7．钟面上的分针的长为1，从3点到3点30分，分针在钟面上扫过的面积是（　　）
A．π B．π C．π D．π
二、判断题
8．判断正误
（1）直径是圆的对称轴；
（2）平分弦的直径垂直于弦.
三、填空题
9．已知圆锥的母线长为13cm，侧面展开图的面积为，则这个圆锥的高为　 　.
10． 60°的圆心角所对的弧长为2πcm，则此弧所在圆的半径为　 　.
11．如图，四边形内接于，为延长线上的一点．若．则的度数是　 　．
12．已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为　 　．
13．用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，应首先假设：　 　。
14．如图，已知A、B、C是上的三个点，，则　 　．
四、综合题
15．如图，为的直径，于点，交于点，于点.
（1）求证：；
（2）当，时，求圆中阴影部分的面积.
16．如图，在方格纸中，A，B，C三点都在小方格的顶点上（每个小方格的边长为1）．
（1）在图甲中画一个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形，并求出它的周长．
（2）在图乙中画一个经过A，B，C三点的圆，并求出圆的面积．
17．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图所示）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
18．如图，在△OAB中，点A的坐标是(-3，1)，点B的坐标是(-2，4)，将△OAB绕点O逆时针旋转180°得到△OA1B1．
（1）画出△OA1B1．
（2）求点A的运动路径长．
19．如图，⊙ 中，弦 与 相交于点E， ，连接 .
求证：
（1） ；
（2） .
20．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E.
（1）当BC=6时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：以点P为端点的半径为，有1条，
故答案为：．
【分析】根据圆的半径的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BDC=21°，
∴∠BOC=2∠BDC=42°，∴∠AOC=180°-42°=138°．
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求解即可．
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】
先连接，结合题目给出的条件可以得出，再结合同圆的半径相等，可得，由此可得，最后借助三角形内角和定理进行计算，即可得到最终结果.
4．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：应分两种情况讨论：
①当点在圆内时，最近点的距离为4，最远点的距离为9，
则直径=最近点的距离+最远点的距离，即：直径=4+9=13，因而半径是6.5；
②当点在圆外时，最近点的距离为4，最远点的距离为9，则直径=最远点的距离-最近点的距离=9-4=5，因而半径是2.5.
故答案为：A.
【分析】分类讨论：①当点在圆内时，根据最大距离与最小距离的和等于该圆的直径算出答案；②当点在圆外时，根据最大距离与最小距离的差等于该圆的直径算出答案,综上所述即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，∴ ，
由圆周角定理得， ，
∵∴
故选：B．
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理可得，再根据计算即可，其中掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：三角形三个内角平分线的交点是三角形的内心，到三角形三边的距离相等.
故答案为：C.
【分析】三角形的内心到三角形三边的距离相等，是三角形三个角平分线的交点.
7．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：从3点到3点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，
则分针在钟面上扫过的面积是：=π．
故选：A．
【分析】从3点到3点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，利用扇形的面积公式即可求解．
8．【答案】（1）正确
（2）错误
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】一个圆中有无数条直径，且每条直径都可被视为这个圆的对称轴，故（1）符合题意，正确。在一个圆中，已知一条弦，如有一条直径平分这条弦，但所分得的弦的弧度不相等，则该直径不垂直于这条弦，故（2）不符合题意，错误。
【分析】一定要利用垂径定理的概念进行判断题的分析
9．【答案】12
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，
∵圆锥的母线长为13cm，侧面展开图的面积为65πcm2，
∴，
∴r=5，
∴圆锥的高为：cm.
故答案为：12.
【分析】先假设圆锥的地面圆半径为r，根据圆锥的侧面展开图面积公式“S=πrl（r是底面圆半径，l是圆锥母线长）”可得r的值，最后利用勾股定理即可求出圆锥的高.
10．【答案】6cm
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵l= ，∴r= ═ =6cm.故答案为：6cm.
【分析】利用弧长公式建立等量，从而求出半径的长.
11．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：四边形内接于，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据圆内接四边形对角互补及邻补角定义，即可得出
12．【答案】60°
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形圆心角的度数为n
∴，解得：n=60°
故答案为：60°
【分析】设扇形圆心角的度数为n，根据扇形面积建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】李子为甜李
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵需证明：此必苦李，而反证法假设原命题的逆命题正确，
∴应假设：李子为甜李.
故答案为：李子为甜李.
【分析】由于反证法的步骤是首先假设结论不成立，即可作答.
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：在优弧上取点D，连接、，如图，
根据圆内接四边形的性质可知，
，又，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于圆内接四边形对角互补，则可在优弧AB上作取一不与A、B重合的点C，再连接AD、BD，则，再利用圆周角定理即可求得 ．
15．【答案】（1）证明：∵∴
∵∴
∵，是直径∴
∴
（2）解：
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)由垂径定理知F为AC的中点，由此知OF为△ABC的中位线，由此得OF=BC，而BC=BD，即OF=BC；
(2)用扇形AOC减去三角形AOC，即得阴影部分的面积.
16．【答案】（1）解：如图甲， ABCD即为所求作平行四边形，
其周长为2（AD+CD）=2（2 +4 ）=12 ；
（2）解：如图乙，⊙O即为所求作圆，
其面积为π （ ）2=10π．
【知识点】平行四边形的性质；确定圆的条件
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的两组对边分别相等可画出相应的平行四边形，且答案不唯一，求所画平行四边形的周长，则需要求平行四边形的边长，此时只需将边放在一个直角三角形中利用勾股定理即可求得；（2）三点确定一个圆，故画过点A，B，C三点的圆只需要确定圆心即可，而圆形为两条弦垂直平分线的交点；将圆的半径放在一个直角三角形中即可求得半径长，从而利用圆的面积公式可求得圆面积.
17．【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AB于E，
则CE=DE，AE=BE．
∴AE－CE=BE－DE即AC=BD
（2）解：连接OC，OA由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，∴OE=6∴CE= AE=
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作OE⊥AB于E，根据垂径定理得出CE=DE，AE=BE，根据等式的性质，等量减去等量差相等即可得出结论；
（2）连接OC，OA，根据勾股定理算出CE，AE的长，再根据AC=AE-CE即可算出答案。
18．【答案】（1）如图所示即为所求．
（2），
答：点的运动路径长为

【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】本题主要考查旋转图形的绘制以及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解决本题的关键．
（1）将线段分别绕点逆时针旋转后，作出点关于原点对称的点，再将点连接即可；
（2）先求出的长，在根据弧长计算公式计算即可．
19．【答案】（1）解：∵AB=CD，
∴ ，即 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）由AB=CD知 ，即 ，据此可得答案；（2）由 知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
20．【答案】（1）解：如图（1），
∵OD⊥BC，
∴BD= BC= ×6=3，
∵∠BDO=90°，OB=5，BD=3，
∴OD= =4，
即线段OD的长为4
（2）解：存在，DE保持不变.
理由：连接AB，如图（2），
∵∠AOB=90°，OA=OB=5，
∴AB= =5 ，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE= AB= ，
∴DE保持不变.
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出BD= BC= ×6=3，然后利用勾股定理算出OD的长；
（2） 存在，DE保持不变，理由如下： 连接AB，如图（2）， 首先根据勾股定理算出AB的长，根据垂径定理得出 D和E分别是线段BC和AC的中点， 根据三角形的中位线定理得出 DE= AB ，从而即可得出答案.
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