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专题12 三角函数图象与性质选填题
（十大考点，64题）
考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律
考点01 三角函数的周期 2024上海卷、2022上海卷、2021全国乙卷、2019北京卷、2018全国Ⅰ卷、2017全国Ⅱ卷 1. 题型以选择、填空为主，属于基础必考小题，难度偏低。2. 核心考查正弦、余弦、正切型函数最小正周期计算，复合三角函数周期判断。3. 命题形式单一固定，多结合函数最值综合考查，侧重公式直接套用。
考点02 三角函数的图象 2026天津卷、2023新课标Ⅱ卷、2021全国甲卷、2020全国Ⅰ卷、2020山东卷 1. 高频选填考点，多为识图、判解析式题型，难度中等。2. 核心根据函数图像特征求参数ω、φ、A，还原三角函数解析式。3. 依托图像交点、对称轴、特殊点坐标命题，侧重数形结合思想的运用。
考点03 三角函数的值域及最值 2025天津卷、2025上海卷、2024天津卷、2024全国甲卷、2022天津卷、2021北京卷、2019全国Ⅰ卷、2017全国Ⅱ卷、2017全国Ⅲ卷 1. 本专题高频核心考点，选择填空均有考查，考频极高。2. 核心考查定区间内三角函数最值、值域求解，结合单调性、对称性分析取值范围。3. 常综合周期、平移、奇偶性命题，是三角函数小题主要得分点与常规考点。
考点04 三角函数中交点与零点问题 2025上海卷、2024新课标Ⅰ卷、2018全国Ⅲ卷 1. 以填空、选择题压轴小题为主，难度中等偏上。2. 核心考查三角函数在指定区间零点个数、函数图像交点个数判断。3. 结合区间范围、整数解个数设问，侧重图像分析与区间精准讨论。
考点05 单调性 2022北京卷、2022新高考全国Ⅱ卷、2021新高考全国Ⅰ卷、2019全国Ⅰ卷、2019全国Ⅱ卷、2017全国Ⅲ卷 1. 高考常规必考题型，多选、单选高频出现，难度适中。2. 核心考查三角函数单调区间判断、分段三角函数单调性分析。3. 常结合绝对值三角函数、复合三角函数综合设问，易设置易错陷阱。
考点06 性质综合 2024新课标Ⅱ卷、2023上海卷、2023全国乙卷、2023天津卷、2022新高考全国Ⅰ卷、2020全国Ⅲ卷、2019全国Ⅲ卷 1. 中档综合性小题，多为多项选择题，区分度适中。2. 综合考查周期、奇偶性、对称轴、对称中心、极值、最值多重性质。3. 一题多考点，侧重对三角函数整体性质的理解与综合辨析能力。
考点07 求参数值 2026全国一卷、2024北京卷、2024新课标Ⅱ卷、2019全国Ⅱ卷、2018江苏卷、2017天津卷 1. 经典题型，以填空、单选为主，难度中等。2. 依托函数极值、周期、对称轴、奇偶性条件求解ω、φ等参数。3. 条件简洁明确，侧重利用三角函数特殊性质列方程精准运算。
考点08 求参数范围 2025北京卷、2025全国一卷、2023新课标Ⅰ卷、2022全国甲卷、2022全国乙卷、2018全国Ⅱ卷、2018北京卷 1. 三角函数难点小题，常作为压轴选填，区分度较高。2. 结合零点个数、极值点个数、单调性、恒成立问题求解参数取值范围。3. 需要分类讨论、区间锁定，对逻辑严谨性与数形结合能力要求高。
考点09 三角函数的伸缩偏移变换 2026北京卷、2023全国甲卷、2022全国甲卷、2019天津卷、2018天津卷、2017全国Ⅰ卷、2020江苏卷 1. 高考高频基础中档题型，年年高频考查。2. 核心考查三角函数图像平移、伸缩、对称变换规则。3. 易错点集中在平移单位、伸缩倍数，常结合奇偶性、对称性综合验证。
考点10 三角函数的应用 2026上海卷、2025上海卷、2023上海卷、2020山东卷 1. 新高考特色创新题型，以上海卷、山东卷考查为主。2. 结合几何模型、生活实际、工程测量、物理运动场景构建三角函数模型。3. 侧重建模能力、实际运算、最值优化求解，题型新颖灵活。
考点01 三角函数的周期
（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错误；
对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，，周期，故D错误，
故选：A．
（2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
（2018·全国I卷·高考真题）已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
（2017·全国II卷·高考真题）函数的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，故选C．
【名师点睛】函数的性质：
(1).
(2)最小正周期
(3)由求对称轴.
(4)由求增区间;由求减区间.
（2022·上海·高考真题）函数的周期为___________；
【答案】
【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案.
【详解】,
所以的周期为：
故答案为：.
（2019·北京·高考真题）函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】.
【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
【详解】函数,周期为
【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式 三角函数的最小正周期公式，属于基础题.
考点02 三角函数的图象
（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.
【详解】由题意，
由题意及图得，函数为奇函数，且当时，，
对A选项，当时，，与图象不符，故A错误；
对B选项，当时，，与图象不符，故B错误；
对D选项，当时，，与图象不符，故D错误；
对C选项，在中，
，即该函数为奇函数，
，与图象相符，故C正确.
（2020·全国I卷·高考真题）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的图像和性质即可解得.
【详解】因为图像经过，
所以.
即.
解得.
由图像可知，即，
解得，所以，.
所以的最小正周期为.
故选：C
（2020·山东·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．

【答案】
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
【答案】
【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.
【详解】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
考点03 三角函数的值域及最值
（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴，
所以时函数取最大值，
又因为是它的一个对称中心，
所以，，
设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知，
即，
又在上单调递增，则，
∴，则，，
∵，∴时，，∴，
当时，，
由正弦函数的单调性可知.
故选：A
（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.
【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以，
即，当时，，
所以当，即时，
故选：D
（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
（2017·全国III卷·高考真题）函数f(x)=sin(x+)+cos(x )的最大值为
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】由诱导公式可得，
则,
函数的最大值为.
所以选A.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________．
【答案】
【分析】利用余弦函数的单调性可得.
【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，
且，
故函数在上的值域为.
故答案为：.
（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
（2019·全国I卷·高考真题）函数的最小值为___________．
【答案】.
【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.
【详解】，
，当时，，
故函数的最小值为．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
（2017·全国II卷·高考真题）函数（）的最大值是__________．
【答案】1
【详解】化简三角函数的解析式，
可得
，
由，可得，
当时，函数取得最大值1．
（2017·全国II卷·高考真题）函数的最大值为__________.
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
【详解】解：函数f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，
可知函数的最大值为：．
故答案为．
【点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值．
考点04 三角函数中交点与零点问题
（2025·上海·高考真题）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（ ）．
A．0 B．338 C．674 D．1012
【答案】D
【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分或时，和两种情况讨论求解即可.
【详解】由，即，
对于，周期为，
且，，
当或时，不等式在中无整数解；
当时，若不等式有在内只有1个整数解，
比如时，此时在内的整数解为，
而，
则在中可能有个整数解；
若不等式有在内只有2个整数解，
比如时，此时在内的整数解为或，
则在中可能有个整数解；
由于，
则在内最多只有2个整数解，因此在中不可能有1012个整数解.
故选：D.
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
（2018·全国III卷·高考真题）函数在的零点个数为________．
【答案】
【分析】方法一：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数．
【详解】［方法一］：【最优解】
由题可知，或
解得,或故有3个零点．
故答案为：．
方法二：
令，即，解得，，分别令，得，所以函数在的零点的个数为3．
故答案为：．
【整体点评】方法一：先求出的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解；
方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点．
考点05 单调性
（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
（2019·全国I卷·高考真题）关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．
（2017·全国III卷·高考真题）设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为 2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减
【答案】D
【详解】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；
f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；
由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．
故选D.
（2019·全国II卷·高考真题）下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
【答案】A
【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．
【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．
【点睛】
利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
考点06 性质综合
（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答.
【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，
当时，，，而，，
因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；
当时，，，
因此在上的最小值，在上的最小值，D可能；
对于C，若，则，
若，则区间的长度，并且且，
即且与矛盾，所以C不可能.
故选：C
【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值.
（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
（2019·全国III卷·高考真题）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案．
【详解】当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，
∴，
∴，故④正确，
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若f（x）在单调递增，
则 ，即 ，
∵，故③正确．
故选D．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
（2020·全国III卷·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
考点07 求参数值
（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
（2019·全国II卷·高考真题）若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=
A．2 B．
C．1 D．
【答案】A
【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.
【详解】由题意知，的周期，得．故选A．
【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．
（2017·天津·高考真题）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则
， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．
【考点】求三角函数的解析式
【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.
（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________．
【答案】
【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果.
【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知，
因为函数在上单调递增，则，即，
可得，解得，
且，，则.
解法一：因为函数为偶函数，
则，，且，
则，，
若，则，
即或，不符合题意，
若，则，
即或，符合题意；
且或；
综上所述：，.
解法二：因为，
若函数为偶函数，则，即，
且，则，
若，则，，
即或在内恒成立，
可知函数在上单调递减，不符合题意，
若，则，，
即或在内恒成立，
可知函数在上单调递增，符合题意，
且或；
综上所述：，.
解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增，
可知在处取到极小值，则，，且，
则，，则，
即或，符合题意；
且或.
（2018·江苏·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
【答案】.
【详解】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.
详解：由题意可得，所以，因为，所以
点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；
(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.
考点08 求参数范围
（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【详解】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，
即的对称中心是，
即，
又，则时最小，最小值是，
即.
故选：B
（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
（2018·全国II卷·高考真题）若在是减函数，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，故选：A.
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
（2022·全国乙卷·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
（2018·北京·高考真题）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.
【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，
所以，
因为，所以当时，取最小值为.
【点睛】函数的性质
（1）.
（2）周期
（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，
（4）由求增区间；由求减区间.
考点09 三角函数的伸缩偏移变换
（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】平移后函数为，与关于轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程，排除不恒成立情形，得到的取值个数.
【详解】将向右平移个单位得
.
由题意，与的图像关于轴对称，即恒成立，
即. 分两种情形讨论：
①，对任意不恒成立，舍去；
②，化简得
，即.
由得，
对应，因此的取值个数为3.
（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
（2019·天津·高考真题）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可．
【详解】因为为奇函数，∴；
又
，，又
∴，
故选C．
【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数．
（2018·天津·高考真题）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
【答案】A
【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
【详解】由函数图象平移变换的性质可知：
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得一个单调递增区间为：.
函数的单调递减区间满足：，
即，
令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（2018·天津·高考真题）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
【答案】A
【详解】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.
详解：由函数图象平移变换的性质可知：
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足：，
即，
令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（2017·全国I卷·高考真题）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，
故选D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.
（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】/
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当时
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
考点10 三角函数的应用
（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
【答案】
【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出，结合初速度为0，求出，结合第一次达到最大值的时间构造方程求出，进而求出解析式．
【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4，
又，
所以，解得，故；
已知初速度为0，则，解得，
已知，则，
速度第一次达到4时用时秒，则，即，
此时．
（2026·上海·高考真题）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到）
【答案】
【分析】根据题意，结合条件分别表示出，然后在中，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】
设壶嘴最低点，最高点分别是，
图中圆柱轴截面矩形，距离点最近的顶点是点，另外三个顶点分别为，
当水平液面经过点时，可将油倒出，
设倾斜角为，当液面经过点时，，
先考虑液面不超过点，即的情况，
设液面与分别交于点，
设的中点为，过作的垂线，垂足为，
则，，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
在中，，
即，
即，
即，所以，
即，
因为，所以至少将油壶倾斜即可将油倒出.
故答案为：
（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到）
【答案】
【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角.
【详解】如图，在处，，在处满足，
（其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于），
故设，则，
由勾股定理，，解得，
于是
故答案为：
（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．
【答案】
【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答.
方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答.
【详解】方法1：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
求导得，由，得，
当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
方法2：依题意，斜坡长度，
因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
由，得，即，其中锐角由确定，
显然，而，则，当且仅当，即时取等号，
此时，即，
所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
故答案为：
（2020·山东·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】
【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】设，由题意，，所以，
因为,所以，
因为，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，
即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，
解得；
等腰直角的面积为；
扇形的面积，
所以阴影部分的面积为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题12 三角函数图象与性质选填题
（十大考点，64题）
考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律
考点01 三角函数的周期 2024上海卷、2022上海卷、2021全国乙卷、2019北京卷、2018全国Ⅰ卷、2017全国Ⅱ卷 1. 题型以选择、填空为主，属于基础必考小题，难度偏低。2. 核心考查正弦、余弦、正切型函数最小正周期计算，复合三角函数周期判断。3. 命题形式单一固定，多结合函数最值综合考查，侧重公式直接套用。
考点02 三角函数的图象 2026天津卷、2023新课标Ⅱ卷、2021全国甲卷、2020全国Ⅰ卷、2020山东卷 1. 高频选填考点，多为识图、判解析式题型，难度中等。2. 核心根据函数图像特征求参数ω、φ、A，还原三角函数解析式。3. 依托图像交点、对称轴、特殊点坐标命题，侧重数形结合思想的运用。
考点03 三角函数的值域及最值 2025天津卷、2025上海卷、2024天津卷、2024全国甲卷、2022天津卷、2021北京卷、2019全国Ⅰ卷、2017全国Ⅱ卷、2017全国Ⅲ卷 1. 本专题高频核心考点，选择填空均有考查，考频极高。2. 核心考查定区间内三角函数最值、值域求解，结合单调性、对称性分析取值范围。3. 常综合周期、平移、奇偶性命题，是三角函数小题主要得分点与常规考点。
考点04 三角函数中交点与零点问题 2025上海卷、2024新课标Ⅰ卷、2018全国Ⅲ卷 1. 以填空、选择题压轴小题为主，难度中等偏上。2. 核心考查三角函数在指定区间零点个数、函数图像交点个数判断。3. 结合区间范围、整数解个数设问，侧重图像分析与区间精准讨论。
考点05 单调性 2022北京卷、2022新高考全国Ⅱ卷、2021新高考全国Ⅰ卷、2019全国Ⅰ卷、2019全国Ⅱ卷、2017全国Ⅲ卷 1. 高考常规必考题型，多选、单选高频出现，难度适中。2. 核心考查三角函数单调区间判断、分段三角函数单调性分析。3. 常结合绝对值三角函数、复合三角函数综合设问，易设置易错陷阱。
考点06 性质综合 2024新课标Ⅱ卷、2023上海卷、2023全国乙卷、2023天津卷、2022新高考全国Ⅰ卷、2020全国Ⅲ卷、2019全国Ⅲ卷 1. 中档综合性小题，多为多项选择题，区分度适中。2. 综合考查周期、奇偶性、对称轴、对称中心、极值、最值多重性质。3. 一题多考点，侧重对三角函数整体性质的理解与综合辨析能力。
考点07 求参数值 2026全国一卷、2024北京卷、2024新课标Ⅱ卷、2019全国Ⅱ卷、2018江苏卷、2017天津卷 1. 经典题型，以填空、单选为主，难度中等。2. 依托函数极值、周期、对称轴、奇偶性条件求解ω、φ等参数。3. 条件简洁明确，侧重利用三角函数特殊性质列方程精准运算。
考点08 求参数范围 2025北京卷、2025全国一卷、2023新课标Ⅰ卷、2022全国甲卷、2022全国乙卷、2018全国Ⅱ卷、2018北京卷 1. 三角函数难点小题，常作为压轴选填，区分度较高。2. 结合零点个数、极值点个数、单调性、恒成立问题求解参数取值范围。3. 需要分类讨论、区间锁定，对逻辑严谨性与数形结合能力要求高。
考点09 三角函数的伸缩偏移变换 2026北京卷、2023全国甲卷、2022全国甲卷、2019天津卷、2018天津卷、2017全国Ⅰ卷、2020江苏卷 1. 高考高频基础中档题型，年年高频考查。2. 核心考查三角函数图像平移、伸缩、对称变换规则。3. 易错点集中在平移单位、伸缩倍数，常结合奇偶性、对称性综合验证。
考点10 三角函数的应用 2026上海卷、2025上海卷、2023上海卷、2020山东卷 1. 新高考特色创新题型，以上海卷、山东卷考查为主。2. 结合几何模型、生活实际、工程测量、物理运动场景构建三角函数模型。3. 侧重建模能力、实际运算、最值优化求解，题型新颖灵活。
考点01 三角函数的周期
（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
（2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
（2018·全国I卷·高考真题）已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
（2017·全国II卷·高考真题）函数的最小正周期为
A． B． C． D．
（2022·上海·高考真题）函数的周期为___________；
（2019·北京·高考真题）函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
考点02 三角函数的图象
（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
（2020·全国I卷·高考真题）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
（2020·山东·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．

（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
（2021·全国甲卷·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
考点03 三角函数的值域及最值
（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
（2017·全国III卷·高考真题）函数f(x)=sin(x+)+cos(x )的最大值为
A． B．1 C． D．
（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________．
（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______．
（2019·全国I卷·高考真题）函数的最小值为___________．
（2017·全国II卷·高考真题）函数（）的最大值是__________．
（2017·全国II卷·高考真题）函数的最大值为__________.
考点04 三角函数中交点与零点问题
（2025·上海·高考真题）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（ ）．
A．0 B．338 C．674 D．1012
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
（2018·全国III卷·高考真题）函数在的零点个数为________．
考点05 单调性
（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
（2019·全国I卷·高考真题）关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
（2017·全国III卷·高考真题）设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为 2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减
（2019·全国II卷·高考真题）下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
考点06 性质综合
（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
（2019·全国III卷·高考真题）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
（2020·全国III卷·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
考点07 求参数值
（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
（2019·全国II卷·高考真题）若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=
A．2 B．
C．1 D．
（2017·天津·高考真题）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则
， B．，
C．， D．，
（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________．
（2018·江苏·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
考点08 求参数范围
（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2022·全国甲卷·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2018·全国II卷·高考真题）若在是减函数，则的最大值是
A． B． C． D．
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
（2022·全国乙卷·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
（2018·北京·高考真题）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．
考点09 三角函数的伸缩偏移变换
（2026·北京·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2019·天津·高考真题）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2018·天津·高考真题）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
（2018·天津·高考真题）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
（2017·全国I卷·高考真题）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
考点10 三角函数的应用
（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
（2026·上海·高考真题）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转_____________度可使油倒出（精确到）
（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到）
（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．
（2020·山东·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
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