资源简介

专题13 三角恒等变换选填题
（四大考点，37题）
考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律
考点 01 两角和差公式 2025 全国二卷、2025 上海卷、2024 新课标 Ⅰ 卷、2024 新课标 Ⅱ 卷、2024 全国甲卷、2022 上海卷、2019 全国 Ⅰ 卷、2019 江苏、2018 全国 Ⅱ 卷、2017 全国 Ⅰ 卷、2017 北京卷、2017 江苏 1. 以单选、填空小题为主，三角恒等变换基础必考题型，难度低。
2. 核心考查正弦、余弦、正切两角和与差公式，结合象限角符号求值。
3. 常给出单角三角函数值，求两角和差的函数值，侧重公式直接代入运算。
考点 02 二倍角公式 2026 全国二卷、2026 上海卷、2025 全国一卷、2024 上海卷、2023 新课标 Ⅰ 卷、2023 上海卷、2021 新高考 Ⅰ 卷、2020 全国 Ⅱ 卷、2019 全国 Ⅱ 卷、2019 全国 Ⅰ 卷、2018 全国 Ⅰ/Ⅲ 卷、2017 全国 Ⅲ 卷 1. 高频核心考点，选择、填空均大量出现，综合性强。
2. 核心考查正弦、余弦二倍角三个变形公式，用于化简、求周期、最值。
3. 常结合三角形面积、函数周期、图像性质综合命题，是化简的核心工具。
考点 03 半角公式与降幂公式 2023 新课标 Ⅱ 卷、2019 北京卷 1. 考查频次偏低，多为基础填空、选择题，难度中等。
2. 核心利用降幂公式处理平方型三角函数，结合半角公式完成角度转化。
3. 多用于化简复杂三角式，常和周期、值域问题搭配考查。
考点 04 辅助角公式 2024 全国甲卷、2022 浙江卷、2022 北京卷、2021 全国乙卷、2020 北京卷、2017 全国 Ⅱ 卷、2017 山东卷 1. 必考综合型小题，是求周期、最值的关键手段。
2. 核心将合并为单一三角函数，求解最值、周期、零点。
3. 常结合区间值域、函数零点、参数取值综合设问，中档题居多。
考点01 两角和差公式
（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2019·全国I卷·高考真题）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
（2025·上海·高考真题）已知，则__________．
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______.
（2022·上海·高考真题）已知，则_________.
（2019·江苏·高考真题）已知，则的值是_____.
（2018·全国II卷·高考真题）已知，则__________．
（2018·全国II卷·高考真题）已知，，则__________．
（2017·全国I卷·高考真题）已知，tanα=2，则=______________．
（2017·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
（2017·江苏·高考真题）若,则____________.
考点02 二倍角公式
（2026·全国二卷·高考真题）已知为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
（2002·北京·高考真题）若角满足条件，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
（2019·全国II卷·高考真题）已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
（2018·全国III卷·高考真题）函数的最小正周期为
A． B． C． D．
（2018·全国III卷·高考真题）若，则
A． B． C． D．
（2018·全国I卷·高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B． C． D．
（2017·全国III卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2026·上海·高考真题）已知，则__________．
（2023·上海·高考真题）已知，则=__________.
（2020·全国II卷·高考真题）若，则__________．
（2019·全国I卷·高考真题）函数的最小值为___________．
考点03 半角公式与降幂公式
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
（2019·北京·高考真题）函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
考点04 辅助角公式
（2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
（2017·山东·高考真题）函数y＝sin2x＋cos 2x的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______．
（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
（2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
（2017·全国II卷·高考真题）函数的最大值为__________.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题13 三角恒等变换选填题
（四大考点，37题）
考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律
考点 01 两角和差公式 2025 全国二卷、2025 上海卷、2024 新课标 Ⅰ 卷、2024 新课标 Ⅱ 卷、2024 全国甲卷、2022 上海卷、2019 全国 Ⅰ 卷、2019 江苏、2018 全国 Ⅱ 卷、2017 全国 Ⅰ 卷、2017 北京卷、2017 江苏 1. 以单选、填空小题为主，三角恒等变换基础必考题型，难度低。
2. 核心考查正弦、余弦、正切两角和与差公式，结合象限角符号求值。
3. 常给出单角三角函数值，求两角和差的函数值，侧重公式直接代入运算。
考点 02 二倍角公式 2026 全国二卷、2026 上海卷、2025 全国一卷、2024 上海卷、2023 新课标 Ⅰ 卷、2023 上海卷、2021 新高考 Ⅰ 卷、2020 全国 Ⅱ 卷、2019 全国 Ⅱ 卷、2019 全国 Ⅰ 卷、2018 全国 Ⅰ/Ⅲ 卷、2017 全国 Ⅲ 卷 1. 高频核心考点，选择、填空均大量出现，综合性强。
2. 核心考查正弦、余弦二倍角三个变形公式，用于化简、求周期、最值。
3. 常结合三角形面积、函数周期、图像性质综合命题，是化简的核心工具。
考点 03 半角公式与降幂公式 2023 新课标 Ⅱ 卷、2019 北京卷 1. 考查频次偏低，多为基础填空、选择题，难度中等。
2. 核心利用降幂公式处理平方型三角函数，结合半角公式完成角度转化。
3. 多用于化简复杂三角式，常和周期、值域问题搭配考查。
考点 04 辅助角公式 2024 全国甲卷、2022 浙江卷、2022 北京卷、2021 全国乙卷、2020 北京卷、2017 全国 Ⅱ 卷、2017 山东卷 1. 必考综合型小题，是求周期、最值的关键手段。
2. 核心将合并为单一三角函数，求解最值、周期、零点。
3. 常结合区间值域、函数零点、参数取值综合设问，中档题居多。
考点01 两角和差公式
（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
（2019·全国I卷·高考真题）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
【答案】D
【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】详解：=
【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
（2025·上海·高考真题）已知，则__________．
【答案】
【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可.
【详解】由可得，
所以，
故答案为：
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______.
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
（2022·上海·高考真题）已知，则_________.
【答案】
【分析】由两角和的正切公式求解即可．
【详解】，
故答案为：
（2019·江苏·高考真题）已知，则的值是_____.
【答案】.
【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
【详解】由，
得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.
（2018·全国II卷·高考真题）已知，则__________．
【答案】
【分析】方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.
【详解】［方法一］：直接使用两角差的正切公式展开
因为，所以，解之得．
故答案为：．
［方法二］：整体思想＋两角和的正切公式
．
故答案为：．
［方法三］：换元法＋两角和的正切公式
令，则，且．
．
故答案为：．
【整体点评】方法一：直接利用两角差的正切公式展开，解方程，思路直接；
方法二：利用整体思想利用两角和的正切公式求出；
方法三：通过换元法结合两角和的正切公式求出，是给值求值问题的常用解决方式．
（2018·全国II卷·高考真题）已知，，则__________．
【答案】
【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】
两式两边平方相加得，．
［方法二］： 利用方程思想直接解出
，两式两边平方相加得，则．
又或，所以．
［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式
由，可得，则或．
若，代入得，即．
若，代入得，与题设矛盾．
综上所述，．
［方法四］：平方关系＋诱导公式
由，得．
又，，即，则．从而．
［方法五］：和差化积公式的应用
由已知得
，则或．
若，则，即．
当k为偶数时，，由，得，又，所以．
当k为奇数时，，得，这与已知矛盾．
若，则．则，得，这与已知矛盾．
综上所述，．
【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；
方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；
方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；
方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；
方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．
（2017·全国I卷·高考真题）已知，tanα=2，则=______________．
【答案】
【详解】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．
（2017·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
【答案】
【详解】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.
（2017·江苏·高考真题）若,则____________.
【答案】
【详解】
故答案为.
考点02 二倍角公式
（2026·全国二卷·高考真题）已知为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简可得，结合角的范围分别求出，即可求解.
【详解】由，得：
因为是第二象限角，所以，，
化简得：，即
由于，解得：，
因为，所以，
所以
（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错误；
对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，，周期，故D错误，
故选：A．
（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项.
【详解】，由二倍角公式，，
整理可得，，A选项正确；
由诱导公式，，
展开可得，
即，
下证.
方法一：分类讨论
若，则可知等式成立；
若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，
又，于是，
与条件不符，则不成立；
若，类似可推导出，则不成立.
综上讨论可知，，即.
方法二：边角转化
时，由，则，
于是，
由正弦定理，，
由余弦定理可知，，则，
若，则，注意到，则，
于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，
结合，而都是锐角，则，
于是，这和相矛盾，
故不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，
则，可同方法一种讨论的角度，推出，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知同时为或者异号，即，展开可得，
，
即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知.
由，由，则，即，
则，同理，由上述推导，，则，
不妨设，则，即，
由两角和差的正弦公式可知，C选项正确
由两角和的正切公式可得，，
设，则，
由，则，则，
于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误.
故选：ABC
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
（2002·北京·高考真题）若角满足条件，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由，知在第二或第四象限，由，知，综合可知在第二象限．
【详解】因为，所以在第二或第四象限，
又，，所以在第二象限．
故选：B
（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
（2019·全国II卷·高考真题）已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
（2018·全国III卷·高考真题）函数的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析:将函数进行化简即可
详解：由已知得
的最小正周期
故选C.
点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题
（2018·全国III卷·高考真题）若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：由公式可得结果.
详解：
故选B.
点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.
（2018·全国I卷·高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.
【详解】由三点共线，从而得到，
因为，
解得，即，
所以，故选B.
【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
（2017·全国III卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
所以选A.
【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.
（2026·上海·高考真题）已知，则__________．
【答案】
【详解】．
（2023·上海·高考真题）已知，则=__________.
【答案】/
【分析】由正切的倍角公式求解
【详解】已知，则.
故答案为：
（2020·全国II卷·高考真题）若，则__________．
【答案】
【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
（2019·全国I卷·高考真题）函数的最小值为___________．
【答案】.
【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.
【详解】，
，当时，，
故函数的最小值为．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
考点03 半角公式与降幂公式
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
（2019·北京·高考真题）函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】.
【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
【详解】函数,周期为
【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式 三角函数的最小正周期公式，属于基础题.
考点04 辅助角公式
（2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
（2017·山东·高考真题）函数y＝sin2x＋cos 2x的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再利用周期公式计算可得.
【详解】∵y＝2＝2sin，
，
故选：C.
【点睛】该题考查三角函数的性质与辅助角公式，属于基础题目.
（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴
∴
故答案为：1，
（2020·北京·高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
【答案】（均可）
【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.
【详解】因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.
（2017·全国II卷·高考真题）函数的最大值为__________.
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
【详解】解：函数f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，
可知函数的最大值为：．
故答案为．
【点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑