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专题02 代数式与因式分解
5年真题1年模拟
考点分类 安徽考情（2022-2026） 命题规律
考点01代数式与因式分解 2026 、2022两次考查 1. 高频基础送分考点，间隔年份轮换出题； 2. 题型以选择、填空为主，少量融入化简求值大题； 3. 核心考查：列代数式、提公因式、平方差 / 完全平方公式因式分解； 4. 难度偏低，侧重公式基础运用，极少综合复杂变形。
考点02规律探究 2026 2025 2024 2023 2022连续五年必考 中考固定热门解答题。 分为数字规律、图形排列规律、代数式递推规律三类；3. 每年必考 1 道，分值稳定，区分度较强； 4. 常结合整式、数列，考查归纳推理、通项公式书写。
考点03 整式的运算 2026 2025 2024 2023 2022连续五年必考 1. 必考内容：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、多项式乘除、化简求值； 2. 计算类基础得分点，易错点集中在符号、指数运算。
考点01 代数式与因式分解
1．（2026·安徽·中考真题）广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多，D的面积比B的面积的3倍少．设A的面积为，B的面积为．
(1)C的面积为_____（用含的代数式表示），D的面积为_____（用含的代数式表示）；
(2)若A的面积与B的面积之和为，C的面积比D的面积少，求和．
【答案】(1)；；
(2)和的值分别为4和6
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）根据题意可得和，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵C的面积比A的面积的2倍多，A的面积为，
∴C的面积为；
∵D的面积比B的面积的3倍少，B的面积为，
∴D的面积为；
（2）解：∵A的面积与B的面积之和为，
∴，
∵C的面积比D的面积少，
∴
，
∴，
解得．
2．（2026·安徽·中考真题）因式分解：_____．
【答案】
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】根据平方差公式因式分解即可．
【详解】解：．
3．（2022·安徽·中考真题）某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额．
(1)设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y
(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？
【答案】(1)1.25x+1.3y
(2)2021年进口额亿元，出口额亿元．
【分析】（1）根据进出口总额＝进口额＋出口额计算即可；
（2）根据2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，列方程1.25x+1.3y=520+140，然后联立方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y 1.25x+1.3y
故答案为：1.25x+1.3y；
（2）解：根据题意1.25x+1.3y=520+140，
∴，
解得：，
2021年进口额1.25x=亿元，2021年出口额是亿元．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，列代数式，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤是解题关键．
考点02 规律探究
1．（2026·安徽·中考真题）项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为．
设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数．
【规律探究】
分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
勾股数 序号
2 1 1
3 1 2
2 3
4 1 4
2 5
3 6
… … … …
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：
(1)，对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____；
(2)勾股数对应的_____，_____；
(3)序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）．
【项目拓展】
(4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
【答案】(1)24，10，26，7
(2)6，1
(3)11，60，61
(4)不正确，
理由：当，时，，序号为；
当，时，，序号为；
∵，，
∴序号从10增加到11时，的值减小，
∴他的猜想不正确．
【分析】（1）根据表格中的规律求解即可；
（2）根据题干中勾股数的定义可得，，，把、两式相加并结合已知条件则求出m的值，然后把m的值代入求解即可；
（3）根据表格中的规律发现：每一个m对应的勾股数组数为组，从得出m值从2取到k时，勾股数的总组数为组，然后根据题意得出，求出k的值，即可求解；
（4）举反例说明即可．
【详解】（1）解∶当，时，，，，
∴，对应的勾股数是，序号为7；
（2）解：根据题意，得，，，
∴，即，
又，
∴，
把代入，得，
解得，
∴勾股数对应的，；
（3）解：由表格知，当时，符合题意的勾股数有组；
当时，符合题意的勾股数有组；
当时，符合题意的勾股数有组；
……
当（的整数）时，符合题意的勾股数有组；
此时一共有组勾股数，
当时，解得或（舍去），
∴序号为15时，，，
∴，，，
序号为15的勾股数是；
（4）略
2．（2025·安徽·中考真题）综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．
（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为．
（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”．
观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为．
自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm．
【项目分析】
（1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元．
（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．
（3）方式确定：
（i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
（ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
（iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．
（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．
方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）．
根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元．
由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元．
方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接．
类似于方案一的成本计算，令
方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元．
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．
【答案】；；；；；
【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量，进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似．
【详解】解：项目主题：
观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形；
由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得增加的长度为3个边长，即
计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为
项目分析：
计算方案二每行可拼接的单元数量令，
移项可得，即，
两边同时除以，解得，
每行可以先拼块拼接单元．
计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量
拼块拼接单元，
共用去个正六边形和个正三角形组件．
由知，所拼长度为，
剩余，无法再摆放组件．
由知，方案二每行的成本为元．
由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，
则，
两边同时除以，，
故需铺17行．
计算方案二的总成本．
方案二所需的总成本为元．
项目实施：
两种方案比较可知：．
选方案二完成实践活动．
故答案为：；；；；；．
3．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
奇数 的倍数
表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：
（）（ ）（ ）；
（）______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
【答案】(1)（），；（）；
(2)
【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解；
（）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．
【详解】（1）（）由规律可得，，
故答案为：，；
（）由规律可得，，
故答案为：；
（2）解：假设，其中均为自然数．
分下列三种情形分析：
若均为偶数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．
若均为奇数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．
若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．
而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．
由可知，猜测正确．
故答案为：．
4．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：
(1)第个图案中“”的个数为 ；
(2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）
解：第1个图案中有个，
第2个图案中有个，
第3个图案中有个，
第4个图案中有个，
……
∴第个图案中有个，
故答案为：．
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，
第2个图案中“★”的个数可表示为，
第3个图案中“★”的个数可表示为，
第4个图案中“★”的个数可表示为，……，
第n个图案中“★”的个数可表示为，
（3）解：依题意，，
第个图案中有个，
∴，
解得：（舍去）或．
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
5．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)
解：第n个等式为，
证明如下：
等式左边：，
等式右边：
，
故等式成立．
【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；
（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．
【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，
故答案为：；
（2）略
【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
考点03整式的运算
1．（2026·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则与幂的运算法则逐项计算判断即可．
【详解】解：A、，，
该选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，
该选项不符合题意；
C、，
该选项符合题意；
D、，
该选项不符合题意．
2．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选；B．
3．（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据相应运算法则依次判断即可
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、当时，，当时，，选项错误，不符合题意；
故选：C
4．（2023·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键．
5．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可．
【详解】A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；
B．，符合题意；
C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意；
D．，不符合题意，
故选B
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．
一、单选题
1．（2026·安徽合肥·一模）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A，对用十字相乘法分解，得，A分解正确；
B，是完全平方式，得，B分解正确；
C，利用平方差公式分解，得，C分解正确；
D，整理得，根据平方差公式：
D分解错误．
2．（2026·安徽滁州·三模）下列运算的结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：选项A：，∴符合要求；
选项B：∵与不是同类项，不能合并，结果不是，∴不符合要求；
选项C：，结果不是，∴不符合要求；
选项D：，结果不是，∴不符合要求．
3．（2026·安徽合肥·三模）下列运算中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】选项A：∵ ，∴ A错误；
选项B：∵ ，∴ B错误；
选项C：∵ 根据同底数幂乘法法则，，等式成立，∴ C正确；
选项D：∵ ，∴ D错误．
4．（2026·安徽阜阳·二模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：原式．
5．（2026·安徽·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，错误，不符合题意；
D、，错误，不符合题意．
6．（2026·安徽·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
、，故选项不符合题意；
、，故选项不符合题意；
、，故选项符合题意．
7．（2026·安徽阜阳·二模）已知实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
，
，
，
∴，
∴，
由，得，
，
∴；
由得，
，
．
故选：D．
8．（2026·安徽阜阳·三模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：．
9．（2026·安徽淮南·三模）已知，则这四个数从小到大排列顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：，
，
，
，
，
比较负数部分：，
，即，
比较正数部分：，
，即，
综上可得 ．
10．（2026·安徽阜阳·三模）按如下步骤及规律计算，可以得到两组式子，，…，和，，…，．
第1步：，； 第2步：，； 第3步：，； ……
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
，
，
，
……
依此类推，得
，，
∴．
二、填空题
11．（2026·安徽合肥·一模）因式分解：________．
【答案】
【详解】解：
．
12．（2026·安徽滁州·一模）分解因式___________．
【答案】
【详解】解：．
13．（2026·安徽阜阳·三模）已知，则代数式的值为______．
【答案】2
【详解】解：，
，
．
14．（2026·安徽六安·二模）已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推．根据以上材料，回答下列问题：
（1）计算： __________（用含x，y的代数式表示）；
（2）当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且），则的值为__________．
【答案】
【详解】（1）解：∵两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式，此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，
∴；
（2）解：由题意知，，
，
，
，
，
（2）由题意知，原多项式
，
∵n为大于3的正整数，该多项式是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且），原式展开后有5个潜在项，
∴要使其成为三项式，需有两个项的系数为0，故只有当或时，才能保证有两个项的系数恒为0，
∴或，
当，即时，要使原多项式为五次三项式，
∴，得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
当，即时，要使原多项式为五次三项式，
∴得或，
或，得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
综上，．
15．（2026·安徽淮南·二模）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“ ”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，
（1）计算：_____；
（2）若不含项，则_____．
【答案】 14 15
【详解】解：（1）
；
（2）∵，
∴当时，；
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴
，
∵不含项，
∴，
∴，
设，，则，
∴，
∴，
∵均为的整数幂，为偶数，
∴，
∴，
∴，
∴．
三、解答题
16．（2026·安徽芜湖·二模）计算：．
【答案】
【详解】解：原式
17．（2026·安徽六安·二模）化简：．
【答案】
【详解】解：
18．（2026·安徽滁州·二模）先化简，再求值：．其中x，y满足．
【答案】，0
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
19．（2026·安徽阜阳·三模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；1
【详解】解：原式
．
当，时，
原式．
20．（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)
解：第个等式为；
证明：
左边，
右边，
∴左边右边，
∴等式成立．
【详解】（1）解：由题意得，
第5个等式：，
第6个等式：；
（2）略
21．（2025·安徽阜阳·一模）【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第个三角形数是 ；图2中，第个正方形数是 （请用含的式子表示）．
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，即第个与第个三角形数之和等于第个的正方形数．请将上述联系用含有的等式表示出来，并证明．
【答案】（1）；
（2）
证明：左边
右边，
∴等式成立．
【详解】解：（1）由题意知在图1中，第个三角形数为，
第个三角形数为，
图2中，第个正方形数为
故答案为：，；
（2）略
22．（2026·安徽安庆·一模）我们将四个全等的小菱形按如图1所示组合的图形称为一个基本图形，将此基本图形（大菱形）向右平移，使其中一个小菱形重合，得到第2个图案，第3个图案，第4个图案……
(1)观察图1并完成下表：
图案 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 …
大菱形的个数 1 2 3 4 …
小菱形的个数 4 7 10 ______ …
(2)第5个图案中菱形的总个数为______；第n个图案中，菱形的总个数为______（用含n的代数式表示）．
(3)如图2，将第n个图案放在平面直角坐标系中，已知小菱形的锐角为，且基本图形的中心点的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，……，的坐标为，则______，______．根据以上分析，请将上述材料中横线上所缺内容补充完整．
【答案】(1)13；
(2)16，；
(3)，．
【详解】（1）解：略
（2）解：观察表格发现，后一个大菱形中小菱形的个数比前一个多3，
则第5个图案中菱形的总个数为（个），
第n个图案中，菱形的总个数为；
（3）解：如图，标记顶点，得到菱形，连接、交于点，
小菱形的锐角为，
，，，，，
是等边三角形，，
，
轴，
轴，
中心点的坐标为，
，，
，
，即小菱形的横向对角线长为，
的坐标为，……，的坐标为，
，．
23．（2026·安徽安庆·三模）【探究】
(1)观察下列算式，并完成填空：
，
，
，
，
______．
(2)下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，每层有块正方形地板砖，第一层包括块正三角形地板砖，第二层包括块正三角形地板砖……以此递推．
（ⅰ）第层中含有______块正三角形地板砖；
（ⅱ）第层中含有______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）．
【应用】
(3)若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有块正六边形、块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
(3)还需要块正方形地板砖
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
……
∴，
∴．
（2）解：（ⅰ）由图形可知，每层含个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为、、……，
第一层包括块正三角形地板砖，
第二层包括块正三角形地板砖，
第三层包括块正三角形地板砖，
∴第层包括块正三角形地板砖，
（ⅱ）由（i）规律可得，第层中含有块正三角形地板砖．
（3）解：设可铺设层，
∵有块正六边形、块正三角形地板砖，
∴，
∴，
解得：（负值舍去），即共铺设层，
∵每层都有块正方形地板砖，
∴还需要块正方形地板砖．
24．（2026·安徽阜阳·二模）尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和．某数学兴趣小组对此开展探究活动，研究了这个神秘数的性质，并进行了举例论证：；；；；．
按上述规律，回答下列问题：
(1)当m是奇数7时，等号右边式子中的第1个数是 ．
(2)如果表示成k个连续奇数之和，其中有一个奇数是61，那么 ．
(3)数学兴趣小组还发现以下规律：已知，，且m，n均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”，若的“分解”中最小的数是79，求n的值．
【答案】(1)43
(2)8
(3)5
【详解】（1）解：观察可发现等号右边式子的第1个数的规律：
，，，，
则分解后的第1个奇数为,
∴当m是奇数7时，等号右边式子中的第1个数是．
（2）解：根据（1）规律，分解出的k个连续奇数，第一个数是，
最后一个数是，
∴，
当时，，，不满足题意；
当时，，，满足题意；
当时，，不满足题意；
∴．
（3）解：观察的“分解”规律：
，最小数：，
，最小数：，
，最小数：，，
∴的“分解”中最小的数为，
令，即，
则有，解得．
25．（2026·安徽·二模）综合与实践：
某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为．
【观察思考】
当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③）；…；以此类推．
【规律总结】
(1)按图示规律，第一个图案（图②）的长为______，第六个图案的长为______；
(2)若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为（为正整数），则______（用含的代数式表示）；
【问题解决】
(3)若要使走廊的长不小于91，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？
【答案】(1)，9.1
(2)；
(3)65
【详解】（1）解：第一个图案的长度，
第二个图案的长度，
…，
第n个图案边长为；
∴第六个图案的长为；
（2）解：由（1）得第n个图案的长为；
（3）解：由题意得：，
解得，
∴至少需要带有圆形花纹的地砖65块
26．（2026·安徽淮南·二模）综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．
【项目准备】
密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．
密铺方式构建：运用密铺知识得到图1所示的拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为．
(1)密铺规律探究：为方便研究，称图2为图1的“拼接单元”．
观察发现：自左向右拼接图1时，图1每增加一个图2所示的拼接单元，则增加 ① 个正六边形和 ② 个正三角形，长度增加 ③ ，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为 ④ ．
【项目分析】
①项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元．
②基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．
③方式确定：
（ⅰ）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
（ⅱ）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与六个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
（ⅲ）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．
(2)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．
方案一：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接（如图3）．
根据规律，令，解得，所以每行可以先拼10块拼接第一行单元，即共用去10个正六边形和60个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图3所示的阴影正六边形）．最终需用11个正六边形和60个正三角形组件，本方案每行的成本为 ⑤ 元．
由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺21行．本方案所需的总成本为 ⑥ 元．
方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接．
类似于方案一的成本计算，令，解得，所以每行可以先拼12块拼接单元，即共用去12个正六边形和72个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余，无法再摆放组件．方案二每行的成本为 ⑦ 元．
由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得 ，故需铺18行．方案二所需的总成本为 ⑧ 元．
【项目实施】
(3)根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动，应选择方案 ⑨ ．
【答案】(1)1；6；60；
(2)115；2415；132；2376
(3)二
【详解】（1）解：如图，每增加一个拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形；增加的总长度为3个边长，即；
有一个拼接单元时的长度为70 cm，
有2个拼接单元式时的长度为，
有3个拼接单元时的长度为，
…
所以x个这样的拼接单元拼成一行的长度为．
（2）解：方案一：
因为每行需要11个正六边形和60个正三角形组件，正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元，则
每行的成本为（元）；
需要铺21行，
所以所需的总成本为（元）；
方案二：
因为每行需要12个正六边形和72个正三角形组件，则
每行的成本为（元）；
需要铺18行，
所以所需的总成本为（元）．
（3）解：，
选择方案二．
27．（2026·安徽·二模）数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字．例如，初始数列为2，5，第1次构造后得到2，5，15（即），第2次构造后得到2，5，15，35（即），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示，数列的第项为（，，，）．
(1)观察前几次构造的结果，完成下列问题：
构造次数 构造后的数列 的值 的值
， /
，，
，，，
，，，，
，，，，，
第次构造后的的值为 ；（直接填数字）
根据上表规律，第次构造后的值是 ；（用含的代数式表示）
(2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程：
，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即，
当时， ，的结果为 ．（用含的代数式表示）
(3)在原题的数列生成游戏中，记第次构造后的数列中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为（）．若存在常数，使得为定值，请求出这个定值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不存在，理由如下：
设奇数位置（项序号为奇数）的和为，偶数位置和为，
当为偶数时，第次构造后总项数为，
奇数位置个数，偶数位置个数，
由（1）可得：，
初始数列为，，从第项起满足：，
当时，，
当时，令，则，
∴，
∴，
∴，
当时，
当时，，
∴，
∴
（同（2）错位相减的方法可得）
，
∴，，
∵，，
∴
，
设（定值），则，
，
对任意成立， 对应系数相等，
，
无解，不存在符合题意的的值．
【详解】（1）解：根据构造规则，第次构造新增的项就是，
由表格规律，第次，则第次．
观察已知结果： ，，，
归纳可得；
（2）解：由题意，是，，，这列数中的第个数，可得，
由分析可得：，
；
又，，
代入得：；
（3）略
28．（2026·安徽·三模）综合与实践
【项目主题】探究正多边形单位点数的个数．
【项目探究】将正边形（）不断向外扩展，每扩展一个正边形每条边上的单位点数的个数就增加一个，那么个正边形的单位点数总共有多少个？接下来从最简单的正多边形入手，根据特殊到一般思想，归纳单位点数规律，再由规律解决特殊问题．
【探究一】
(1)个正三角形的单位点数总共有多少个？
如图1-1，1个正三角形的单位点数总共有个；
如图1-2，2个正三角形的单位点数总共有个；
如图1-3，3个正三角形的单位点数总共有个；
如图1-4，4个正三角形的单位点数总共有（ ）个；
……
个正三角形的单位点数总共有：（ ）个．
【探究二】
个正方形的单位点数总共有多少个？
如图2-1，1个正方形的单位点数总共有个；
如图2-2，2个正方形的单位点数总共有个；
如图2-3，3个正方形的单位点数总共有个；
如图2-4，4个正方形的单位点数总共有个；
……
个正方形的单位点数总共有：个．
【探究三】
(2)个正五边形的单位点数总共有多少个？
如图3-1，1个正五边形的单位点数总共有5个，即；
如图3-2，连接，，得到三个三角形，每个三角形都有6个点，就是（个）点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的单位点数总共有：（个），即；
如图3-3，连接，，得到三个三角形．每个三角形都有10个点，就是（个）点，因为每两个三角形有4个点重合，所以，3个正五边形的单位点数总共有：（个），即；
如图3-4，连接，，得到三个三角形，每个三角形都有15个点，就是（个）点，因为每两个三角形有5个点重合，所以，4个正五边形的单位点数总共有：（个），即……
个正五边形的单位点数总共有：（ ）个；
【探究四】
(3)个正六边形的点数总共有（ ）个．（用含的代数式表示）
【项目归纳】
(4)个正边形的单位点数总共有： ]个；
【项目实施】
(5)若19个正边形的单位点数总共有3820个，则的值为 ．
【答案】(1)5，
(2)
(3)
(4)
(5)22
【详解】（1）解：如图1-1，1个正三角形的单位点数总共有个；
如图1-2，2个正三角形的单位点数总共有个；
如图1-3，3个正三角形的单位点数总共有个；
如图1-4，4个正三角形的单位点数总共有（）个；
……
个正三角形的单位点数总共有：个；
（2）解：由题意可得：个正五边形的单位点数总共有：个；
（3）解：如图4-1，连接，，，
得到四个三角形，每个三角形都有3个点，就是（个）点，
因为每两个三角形有2个点重合，
所以，1个正六边形的单位点数总共有：（个）；
如图4-2，连接，，，
得到四个三角形，每个三角形都有6个点，就是（个）点，
因为每两个三角形有3个点重合，
所以，2个正六边形的单位点数总共有：（个）；
如图4-3，连接，，，
得到四个三角形，每个三角形都有10个点，就是（个）点，
因为每两个三角形有4个点重合，
所以，3个正六边形的单位点数总共有：（个）；
……
个正六边形的点数总共有：
个；
（4）解：个正三角形的单位点数总共有：个；
个正方形的单位点数总共有：个；
个正五边形的单位点数总共有：个；
个正六边形的点数总共有：个；……
个正边形的单位点数总共有：个；
（5）解：根据题意，知当时，得，
解得．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 代数式与因式分解
5年真题1年模拟
考点分类 安徽考情（2022-2026） 命题规律
考点01代数式与因式分解 2026 、2022两次考查 1. 高频基础送分考点，间隔年份轮换出题； 2. 题型以选择、填空为主，少量融入化简求值大题； 3. 核心考查：列代数式、提公因式、平方差 / 完全平方公式因式分解； 4. 难度偏低，侧重公式基础运用，极少综合复杂变形。
考点02规律探究 2026 2025 2024 2023 2022连续五年必考 中考固定热门解答题。 分为数字规律、图形排列规律、代数式递推规律三类；3. 每年必考 1 道，分值稳定，区分度较强； 4. 常结合整式、数列，考查归纳推理、通项公式书写。
考点03 整式的运算 2026 2025 2024 2023 2022连续五年必考 1. 必考内容：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、多项式乘除、化简求值； 2. 计算类基础得分点，易错点集中在符号、指数运算。
考点01 代数式与因式分解
1．（2026·安徽·中考真题）广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多，D的面积比B的面积的3倍少．设A的面积为，B的面积为．
(1)C的面积为_____（用含的代数式表示），D的面积为_____（用含的代数式表示）；
(2)若A的面积与B的面积之和为，C的面积比D的面积少，求和．
2．（2026·安徽·中考真题）因式分解：_____．
3．（2022·安徽·中考真题）某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额．
(1)设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y
(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？
考点02 规律探究
1．（2026·安徽·中考真题）项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为．
设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数．
【规律探究】
分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
勾股数 序号
2 1 1
3 1 2
2 3
4 1 4
2 5
3 6
… … … …
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：
(1)，对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____；
(2)勾股数对应的_____，_____；
(3)序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）．
【项目拓展】
(4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
2．（2025·安徽·中考真题）综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．
（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为．
（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”．
观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为．
自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm．
【项目分析】
（1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元．
（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．
（3）方式确定：
（i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
（ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
（iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．
（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．
方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）．
根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元．
由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元．
方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接．
类似于方案一的成本计算，令
方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元．
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．
3．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
奇数 的倍数
表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：
（）（ ）（ ）；
（）______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
4．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：
(1)第个图案中“”的个数为 ；
(2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．
5．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
考点03整式的运算
1．（2026·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2026·安徽合肥·一模）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·安徽滁州·三模）下列运算的结果为的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·安徽合肥·三模）下列运算中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·安徽阜阳·二模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·安徽·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·安徽·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026·安徽阜阳·二模）已知实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·安徽阜阳·三模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．（2026·安徽淮南·三模）已知，则这四个数从小到大排列顺序是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2026·安徽阜阳·三模）按如下步骤及规律计算，可以得到两组式子，，…，和，，…，．
第1步：，； 第2步：，； 第3步：，； ……
则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2026·安徽合肥·一模）因式分解：________．
12．（2026·安徽滁州·一模）分解因式___________．
13．（2026·安徽阜阳·三模）已知，则代数式的值为______．
14．（2026·安徽六安·二模）已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推．根据以上材料，回答下列问题：
（1）计算： __________（用含x，y的代数式表示）；
（2）当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且），则的值为__________．
15．（2026·安徽淮南·二模）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“ ”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，
（1）计算：_____；
（2）若不含项，则_____．
三、解答题
16．（2026·安徽芜湖·二模）计算：．
17．（2026·安徽六安·二模）化简：．
18．（2026·安徽滁州·二模）先化简，再求值：．其中x，y满足．
19．（2026·安徽阜阳·三模）先化简，再求值：，其中，．
20．（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
21．（2025·安徽阜阳·一模）【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第个三角形数是 ；图2中，第个正方形数是 （请用含的式子表示）．
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，即第个与第个三角形数之和等于第个的正方形数．请将上述联系用含有的等式表示出来，并证明．
22．（2026·安徽安庆·一模）我们将四个全等的小菱形按如图1所示组合的图形称为一个基本图形，将此基本图形（大菱形）向右平移，使其中一个小菱形重合，得到第2个图案，第3个图案，第4个图案……
(1)观察图1并完成下表：
图案 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 …
大菱形的个数 1 2 3 4 …
小菱形的个数 4 7 10 ______ …
(2)第5个图案中菱形的总个数为______；第n个图案中，菱形的总个数为______（用含n的代数式表示）．
(3)如图2，将第n个图案放在平面直角坐标系中，已知小菱形的锐角为，且基本图形的中心点的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，……，的坐标为，则______，______．根据以上分析，请将上述材料中横线上所缺内容补充完整．
23．（2026·安徽安庆·三模）【探究】
(1)观察下列算式，并完成填空：
，
，
，
，
______．
(2)下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，每层有块正方形地板砖，第一层包括块正三角形地板砖，第二层包括块正三角形地板砖……以此递推．
（ⅰ）第层中含有______块正三角形地板砖；
（ⅱ）第层中含有______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）．
【应用】
(3)若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有块正六边形、块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？
24．（2026·安徽阜阳·二模）尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和．某数学兴趣小组对此开展探究活动，研究了这个神秘数的性质，并进行了举例论证：；；；；．
按上述规律，回答下列问题：
(1)当m是奇数7时，等号右边式子中的第1个数是 ．
(2)如果表示成k个连续奇数之和，其中有一个奇数是61，那么 ．
(3)数学兴趣小组还发现以下规律：已知，，且m，n均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”，若的“分解”中最小的数是79，求n的值．
25．（2026·安徽·二模）综合与实践：
某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为．
【观察思考】
当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③）；…；以此类推．
【规律总结】
(1)按图示规律，第一个图案（图②）的长为______，第六个图案的长为______；
(2)若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为（为正整数），则______（用含的代数式表示）；
【问题解决】
(3)若要使走廊的长不小于91，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？
26．（2026·安徽淮南·二模）综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．
【项目准备】
密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．
密铺方式构建：运用密铺知识得到图1所示的拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为．
(1)密铺规律探究：为方便研究，称图2为图1的“拼接单元”．
观察发现：自左向右拼接图1时，图1每增加一个图2所示的拼接单元，则增加 ① 个正六边形和 ② 个正三角形，长度增加 ③ ，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为 ④ ．
【项目分析】
①项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元．
②基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．
③方式确定：
（ⅰ）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
（ⅱ）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与六个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
（ⅲ）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．
(2)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．
方案一：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接（如图3）．
根据规律，令，解得，所以每行可以先拼10块拼接第一行单元，即共用去10个正六边形和60个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图3所示的阴影正六边形）．最终需用11个正六边形和60个正三角形组件，本方案每行的成本为 ⑤ 元．
由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺21行．本方案所需的总成本为 ⑥ 元．
方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接．
类似于方案一的成本计算，令，解得，所以每行可以先拼12块拼接单元，即共用去12个正六边形和72个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余，无法再摆放组件．方案二每行的成本为 ⑦ 元．
由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得 ，故需铺18行．方案二所需的总成本为 ⑧ 元．
【项目实施】
(3)根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动，应选择方案 ⑨ ．
27．（2026·安徽·二模）数学兴趣小组设计了一个数列生成游戏：对于给定的一列有序数字，每次构造时在数列的末尾添加前一项的两倍与固定常数之和，形成新的一列有序数字．例如，初始数列为2，5，第1次构造后得到2，5，15（即），第2次构造后得到2，5，15，35（即），依此类推第次构造后的这列数字的和用表示，数列的第项为（，，，）．
(1)观察前几次构造的结果，完成下列问题：
构造次数 构造后的数列 的值 的值
， /
，，
，，，
，，，，
，，，，，
第次构造后的的值为 ；（直接填数字）
根据上表规律，第次构造后的值是 ；（用含的代数式表示）
(2)数学兴趣小组指导老师引导同学们推出了当时的结果，下面是部分分析过程：
，，，， 把上面这个式子的左边和右边分别相加，得， ．（其中表示，，，，这列数中的第个数） 那么如何计算的结果呢？ 不妨令（其中），则，两式左边和右边分别相减得，即，
当时， ，的结果为 ．（用含的代数式表示）
(3)在原题的数列生成游戏中，记第次构造后的数列中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为（）．若存在常数，使得为定值，请求出这个定值，若不存在，请说明理由．
28．（2026·安徽·三模）综合与实践
【项目主题】探究正多边形单位点数的个数．
【项目探究】将正边形（）不断向外扩展，每扩展一个正边形每条边上的单位点数的个数就增加一个，那么个正边形的单位点数总共有多少个？接下来从最简单的正多边形入手，根据特殊到一般思想，归纳单位点数规律，再由规律解决特殊问题．
【探究一】
(1)个正三角形的单位点数总共有多少个？
如图1-1，1个正三角形的单位点数总共有个；
如图1-2，2个正三角形的单位点数总共有个；
如图1-3，3个正三角形的单位点数总共有个；
如图1-4，4个正三角形的单位点数总共有（ ）个；
……
个正三角形的单位点数总共有：（ ）个．
【探究二】
个正方形的单位点数总共有多少个？
如图2-1，1个正方形的单位点数总共有个；
如图2-2，2个正方形的单位点数总共有个；
如图2-3，3个正方形的单位点数总共有个；
如图2-4，4个正方形的单位点数总共有个；
……
个正方形的单位点数总共有：个．
【探究三】
(2)个正五边形的单位点数总共有多少个？
如图3-1，1个正五边形的单位点数总共有5个，即；
如图3-2，连接，，得到三个三角形，每个三角形都有6个点，就是（个）点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的单位点数总共有：（个），即；
如图3-3，连接，，得到三个三角形．每个三角形都有10个点，就是（个）点，因为每两个三角形有4个点重合，所以，3个正五边形的单位点数总共有：（个），即；
如图3-4，连接，，得到三个三角形，每个三角形都有15个点，就是（个）点，因为每两个三角形有5个点重合，所以，4个正五边形的单位点数总共有：（个），即……
个正五边形的单位点数总共有：（ ）个；
【探究四】
(3)个正六边形的点数总共有（ ）个．（用含的代数式表示）
【项目归纳】
(4)个正边形的单位点数总共有： ]个；
【项目实施】
(5)若19个正边形的单位点数总共有3820个，则的值为 ．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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