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山东济南实验初级中学等学校2025-2026学年八年级下学期数学学科期中素养展示卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3.下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）
A. B.
C. D.
4.分式有意义的条件是（ ）
A. B. C. 且 D. 或
5.根据分式的基本性质, 下列各式从左到右的变形正确的是( )
A. = B. = C. =- D. =-1
6.如图，D、E分别是的边、的中点，连接BE、DE．若，，则的长是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7.如图，平行四边形的周长为40，的周长比的周长多4，则长为（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
8.若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. -1
9.如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于 FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥AD，AE＝3，DE＝2，则 ABCD的面积为（　　）
A. B. C. D. 20
10.如图，正三角形的边长为，点是边上的动点（不与端点、重合），在上方作正三角形．当点由点向点运动过程中．
①若，则；
②的度数随着点的运动而逐渐变小；
③若点为的中点，则的最小值为；
④面积的最大值为．
其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①③④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.因式分解： ．
12.当x= 时，分式的值等于零．
13.如图，在中，，在同一平面内，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，若，则的度数是 ．
14.若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 .
15.如图，Rt，射线交边于点D，点E为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，当取最小值时，平行四边形的面积为 ．
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
分解因式：
(1)
(2)
17.(本小题6分)
解方程：
18.(本小题6分)
先化简÷（1﹣），再从﹣1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值代入求值．
19.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
(1) 画出将关于原点的中心对称图形；
(2) 将绕点E逆时针旋转得到，画出；
(3) 若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．
20.(本小题8分)
如图，平行四边形，对角线交于点O，点E在上，点F在上，．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若，求的长．
21.(本小题10分)
某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同．
(1) 求、两款机器人的单价分别是多少万元？
(2) 如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．
22.(本小题10分)
【阅读材料】
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．
例如：；
．
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1) 【应用知识】因式分解： ； ．
(2) 【拓展应用】
对于四项以上的多项式，我们可以适当地将某一项拆成两项，再进行分组，从而因式分解来解决问题．此题可以通过将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试．
已知为等腰的三边长，且满足．求的周长．
(3) 已知，，求的值．
23.(本小题10分)
形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为，
∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1) 若为十字分式方程，则 ， ．
(2) 若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3) 若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值．
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形．
(1) 请求出直线的解析式；
(2) 平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是 ，重叠部分的面积是 ；
(3) 点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题12分)
初二某班同学在数学老师的指导下，以“图形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
(1) 【操作探究】如图1，在等腰直角中，，D是边上的一点，将绕着A点逆时针旋转得到，连按，请证明线段之间的数量关系．
(2) 【迁移探究】如图2，是等边三角形，P是内一点，，则
(3) 【拓展应用】如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使若，，求的面积．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】-2
13.【答案】
14.【答案】m＜-2且m≠-3
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：．
【小题2】
解：
．

17.【答案】解：，
两边同时乘以最简公分母，得
，
解得．
经检验，是原方程的根．

18.【答案】解:
=(-)
=
=
=,
x1且x2,
x=3,
则原式==2.
19.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求；
【小题2】
解：如图，即为所求；
【小题3】


20.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
即的长为．

21.【答案】【小题1】
解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元；
【小题2】
解：设购买款机器人台，则购买款机器人台，
根据题意得：，
解得：，
设购买成本为万元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，
此时，，
答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台．

22.【答案】【小题1】


【小题2】
当为腰时，三边长为3，3，6，不符合三角形三边关系，舍去；
当为腰时，三边长为6，6，3，此时周长为；
【小题3】
，
．

23.【答案】【小题1】
2
5
【小题2】
解：∵，
∴，
∵十字分式方程的两个解分别为，，
∴，
∴；
【小题3】
解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴方程是“十字分式方程”，
∵关于x的方程的两个解是，，
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴是的整数，即是整数，
又∵k是整数，
∴或，
∴或或或．

24.【答案】【小题1】
解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形，
∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N，
∵，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
【小题2】
平行四边形，

【小题3】
解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
同理可得直线的解析式为，
设，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
，
解得，
∴；
当为边时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或；
综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形．

25.【答案】【小题1】
，证明如下：
∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
【小题2】
105°
【小题3】
如图3所示，当点D在下方时，
∵在中，为直角，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
如图所示，将绕点A顺时针旋转90度得到，
∵，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴三点共线，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图4所示，当点D在上方时，过点A作交于E，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的面积为10或26．

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