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山东省德州市乐陵市2026年九年级第一次模拟检测数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1.的相反数的倒数是（ ）
A. B. C. D. 2026
2.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列说法中，正确的是（　　）
A. -x2+2x-1的常数项是1 B. ab2的次数是3
C. 系数是-3 D. 和6y2x3是同类项
4.六角井是我国常见的竖井样式，其结构示意图如图所示，则它的俯视图是（）
A. B. C. D.
5.观察下列作图痕迹，所作为的边上的中线是　　
A. B. C. D.
6.如图，的顶点C在x轴正半轴上，，以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，则点C的对应点的坐标为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
7.在数学活动课上，老师将6种生活现象制成如表所示看上去无差别的卡片，并分成两组，从每组中分别随机抽取一张，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为（）
第一组 冰化成水 酒精燃烧 铁棒生锈
第二组 衣服晾干 牛奶变质 钢丝弯曲
A. B. C. D.
8.如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆O．过点O作的平行线交两弧于D、E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
9.某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样.第一次花费380元，第二次花费360元，第三次花费480元，第二次购买的单价比第一次少1元，第三次购买的单价比第一次多2元.若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（　　）
A. 方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价
B. 第一次购买节能灯的单价是10元
C. 第二次购买节能灯的数量比第一次多了2个
D. 如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为
10.小红用390元购买甲、乙两种书，已知甲种书每本40元，乙种书每本20元，若购买的甲种书比乙种书多，则总共购买的本数最大值是（）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.如果代数式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 .
12.在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是 ．
13.如图，在等腰中，直角边，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，当点从点运动到点时，点所经过的路线长为 ．
14.已知反比例函数，则当1≤x≤3时，的最小值是 .
15.如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是 ．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解答下列各题
(1) 计算：
(2) 先化简，再求值：，其中．
17.(本小题10分)
践行文化自信，让中华文化走向世界．习近平指出，“提高国家文化软实力，要努力展示中华文化独特魅力”，要“把跨越时空、超越国度、富有永恒魅力、具有当代价值的文化精神弘扬起来，把继承传统优秀文化又弘扬时代精神、立足本国又面向世界的当代中国文化创新成果传播出去”．郑州市甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的中华文化知识水平，在同一次知识竞赛中，从两校各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分（如图）．
甲校：93 82 76 77 76 89 89 89 83 94 84 76 69 83 92 87 88 89 84 92 87 89 79 54 88 98 90 87 68 76
乙校：85 61 79 91 84 92 92 84 63 90 89 71 92 87 92 73 76 92 84 57 87 89 88 94 83 85 80 94 72 90
(1) 请根据乙校的数据补全条形统计图；
(2) 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示，请补全表格：
平均数 中位数 众数
甲校 83.6
乙校 83.2 86 92
(3) 请判断哪所学校学生的中华文化知识水平更好一些．并根据（2）中的数据说明理由；
(4) 为进一步提高两所学校学生的中华文化知识水平，请你提出一条合理化建议．
18.(本小题10分)
根据以下材料，完成任务．
材料1 如图，幸福村村口有棵大树，平时是居民喜欢的一个聚集地
材料2 小明画出了大树的侧面示意图，经过测量，点距离地面，与水平面的夹角为
材料3 当太阳光线与地面的夹角为时，阴影的长约为
任务1 求出大树的树枝的边缘点到树干的距离
任务2 求出大树的树枝的长度（保留整数）
备注 参考数据：
19.(本小题10分)
小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1) 求反比例函数的表达式．
(2) 将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
20.(本小题12分)
综合与实践
【课本再现】
(1) 九年级兴趣小组在复习课本时，发现这样一个题目，请你帮忙解决：如图①，一个铝合金型材长，用它制作一个“日”字形窗户的框架，如果恰好用完这条铝合金型材，那么当，分别为多少米时，窗户的面积最大？直接写出答案；
(2) 【类比迁移】兴趣小组的小明同学认为可以把这种解决问题的方法从平面图形迁移到立体图形，并绘制了如图②所示的长方形硬纸片，其中，，现要用它围成一个长方体盒子的侧面，请你帮忙算一下这个盒子的最大体积是多少？
(3) 【深入思考】兴趣小组的小亮同学认为将（2）中的长方形硬纸片按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更大，你认可小亮的观点吗？请说明理由；
(4) 【拓展延伸】
若给出一个长为a，宽为的长方形纸片围成一个长方体盒子的侧面，直接写出其最大体积．
21.(本小题12分)
如图，是的直径，是的切线，交于点．
(1) 用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；(保留作图痕迹，不写作法)
(2) 在（1）的条件下，若，求的半径．
22.(本小题13分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．此抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线与此抛物线交于点，点与点不重合．
(1) 抛物线的对称轴为直线 ；
(2) 当抛物线经过坐标原点时，
①求此抛物线所对应的二次函数表达式；
②当（为常数）时，的最小值为，求的值；
(3) 在（2）的条件下，将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达式．
23.(本小题13分)
几何综合
(1) 【方法尝试】如图，矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，，分别是它们的对角线．求证：；
(2) 【类比迁移】
如图，在和中，，，，，．将绕点在平面内逆时针旋转，连接，．
请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
当点，，在同一直线上时，求线段的长；
(3) 【拓展延伸】如图，在中，，，过点作，在射线上取一点，连接，使得，请直接写出线段的最大值．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 /
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
，
当时，原式．

17.【答案】【小题1】
解：由表格可得，乙校70﹣79的有5人，60﹣69的有2人，
补全条形统计图，如下图．
【小题2】
87
89
【小题3】
解：甲校的平均分高于乙校，说明总成绩甲校好于乙校，中位数甲校高于乙校，说明甲校一半以上的学生成绩较好；
【小题4】
解：为进一步提高两所学校学生的中华文化知识水平，建议在课后多开展中华文化知识活动．

18.【答案】【详解】解：（1）如图，过点作，垂足为，由题意，得，
∵，
∴，
又，
∴，
作于点，
则四边形是矩形，
∴．
即树枝的边缘点到树干的距离为；
（2）在中，，，
∴，
∴树枝的长约为．

19.【答案】【小题1】
解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵含角的三角板为等腰直角三角形，，
∴，，
如图，连接，旋转到的位置；
∴，
∵的对应点在的图象上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴.

20.【答案】【小题1】
解：设为，则，
∴窗户的面积
∵，
∴抛物线开口向下
∴当时，S取得最大值，
∴，时，窗户的面积最大；
【小题2】
解：如图，
设，则
根据题意得，这个盒子的体积
∵，
∴抛物线开口向下
∴当时，V取得最大值576；
【小题3】
解：不认可，理由如下：
如图，
设，则
根据题意得，这个盒子的体积
∵，
∴抛物线开口向下
∴当时，V取得最大值384
∵
∴按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更小，
∴不认可小亮的观点；
【小题4】
解：如图，
设，则
根据题意得，这个盒子的体积
∵，
∴抛物线开口向下
∴当时，V取得最大值．

21.【答案】【小题1】
解：如图，过点作的垂线，交于点，则，点即为所求；

是的切线，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
【小题2】
解：，
是的切线，
是的切线，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，即的半径为．

22.【答案】【小题1】
2
【小题2】
解：①把代入得：，
，
抛物线所对应的二次函数表达式为；
②当，即时，，取最小值，
，
解得或（舍去），
；
当，即时，，取最小值，
此时最小值为，不符合题意；
当时，，取最小值，
，
解得（舍去）或；
综上所述，的值为或3；
【小题3】
解：设平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线．
分三种情况讨论：
①当，即时，在对称轴的右侧，
二次函数在取得最小值，
，
解得或，不符合题意；
②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意；
③当，即时，在对称轴的左侧，
二次函数在时取得最小值，
，
解得或（舍去），
此时二次函数的表达式为，
即．
综上所述，平移后新的二次函数的表达式为．

23.【答案】【小题1】
证明：如图，延长交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
由旋转的性质可知，，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：，，理由：
如图，延长分别交于点，交于点，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，；
如图，当点落在线段上时，设，
∵，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
整理得，，
解得，（舍去），
∴；
如图，当点在线段上时，
设，则，，
∵，
∴，
整理得，，
∴，（舍去），
∴，
∴综上所述，线段的长为或；
【小题3】
解：如图，过点作，使得，取的中点，连接，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，即最大值为，
∴当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值，
∴．

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