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山东菏泽市定陶区2025-2026学年九年级下学期期中数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　）
A. 1 B. 0 C. -1 D. -2
2.通电瞬间,导线中的电流以接近光速形成,但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有m/s,比蜗牛爬行的速度还慢.数据“”用科学记数法表示为()
A. B. C. D. 74
3.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（）
A. B. C. D.
5.某年级组织数学单元检测，随机抽取60名学生的成绩进行统计分析，如图所示．关于这60名学生的成绩，下列说法正确的是（）
A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85
6.先化简，再选取合适的整数代入，下列说法正确的是（ ）
A. 化简结果为可取2 B. 化简结果为可取0
C. 化简结果为可取1 D. 化简结果为可取2
7.如图，在中，，点D为线段上一点，将沿直线折叠后，点B落在点E处，且，则的度数是（　　）
A. B. C. D.
8.为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价．该药品的原价是144元，降价后的价格是100元，若平均每次降价的百分率均为x，则可列方程（ ）
A. B. C. D.
9.已知一元二次方程有实数根，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则整数的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数且a＜0）过（-1，0）和（m,0）两点，且3＜m＜4，下列四个结论：①c＞0；②；③若关于x的方程a（x+1）（x-m）=3有实数根，则4ac-b2≥12a；④方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2，则.其中，正确结论的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在平面直角坐标系中，把点A（m,2）先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B.若点B的横坐标和纵坐标相等，则m= .
12.已知关于x的分式方程有增根，则m的值是 .
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为 ．
14.对于x、y定义了一种新运算G，规定，若关于a的不等式组恰好有2个整数解，则实数P的取值范围是 ．
15.如图,在平面直角坐标系中,过原点O的直线与反比例函数y=的图象交于A,B两点,分别以点A,点B为圆心,画半径为1的A和B.当A,B分别与x轴相切时,切点分别为点C和点D,连接AC,BD,则阴影部分图形的面积和为 .(结果保留)
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解决下列问题：
(1) 计算：；
(2) 解不等式组，并写出该不等式组的整数解．
17.(本小题8分)
如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
(1) 求证：；
(2) 若，求的度数．
18.(本小题8分)
如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
(1) 如图1，连接，求的度数；
(2) 如图2，若点为的中点，且，求的长．
19.(本小题8分)
某市为推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校随机调查部分学生“用过的餐巾纸应投放的收集桶颜色”，根据调查结果，绘制成如下不完整统计图．根据图中信息，解答下列问题：
用过的餐巾纸投放情况统计图
(1) 填空：此次调查一共随机采访了 ，名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 度；
(2) 若该校有4000名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
(3) 从四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中两人的概率；
(4) 请根据此次调查结果，求出选取红色、蓝色、绿色、灰色四类别人数的方差，并判断这组数据的波动情况．
20.(本小题10分)
小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，）
21.(本小题10分)
为落实“书香校园”建设，某校开展数学综合实践活动，决定采购经典读物与科普读物充实班级图书角．市场调研：购买2套经典读物和3套科普读物共需220元；购买3套经典读物和1套科普读物共需190元．实践任务：学校计划购买两种读物共200套，请结合经费与配比要求：①科普读物数量不超过经典读物的3倍；②购买总费用不超过9200元．
(1) 求每套经典读物、科普读物的单价；
(2) 本次实践活动共有几种符合条件的采购方案？
(3) 通过计算确定最省钱的采购方案，并求出最低费用．
22.(本小题11分)
已知二次函数（b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3) 当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
23.(本小题12分)
综合与实践
【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示．
(1) 【归纳总结】
定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）：
① ；
② ．
(2) 【知识迁移】如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形；
(3) 若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论．
(4) 【拓展延伸】如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】4
12.【答案】3
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：原式；
【小题2】
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集是，
不等式组的整数解为，0，1，2．

17.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵，
∴，即，，
∴，
∵，
∴，
∴．

18.【答案】【小题1】
解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
在四边形中，∵
∴，
∴；
【小题2】
解：连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为：．

19.【答案】【小题1】
200
198
【小题2】
解：（人）；
【小题3】
解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中两人的结果有2种，
概率为；
【小题4】
解：选择“绿”的学生人数为（人），
四类别人数依次为红16人，蓝44人，绿30人，灰110人
平均数：
方差：
方差为1298，数值较大，说明这组数据的波动较大（或“不稳定”、“离散程度大”）．

20.【答案】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：大楼的高度约为．

21.【答案】【小题1】
解：设每套经典读物元，每套科普读物元．
由题意得方程组：，
解得，
答：经典读物每套50元，科普读物每套40元；
【小题2】
解：设购买经典读物a套，则科普读物套．
依题意列不等式组：，
解得，且为整数．
方案数为：（种）
答：共有71种购买方案；
【小题3】
解：设总费用为元，则，
∵，所以随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，（元），
套，
答：购买经典读物50套，科普读物150套时，采购方案最省钱，最低费用为8500元．

22.【答案】【小题1】
解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
∴解得，
∴二次函数的关系式为.
【小题2】
解：将点向上平移2个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为，恰好落在抛物线上，
∴，
解得或（舍去），
∴的值为4．
【小题3】
解：∵，
∴抛物线开口向上，关于直线对称，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
当时，，
分三种情况：
①当时，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时取得最大值，即最大值为，
当时取得最小值，即最小值为，
∵最大值与最小值的差为，
∴，
解得
与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去；
②当时，
此时时取得最大值，即最大值为，
时取得最小值，即最小值为，
此时最大值与最小值的差为，符合题意；
③当时，
此时时取得最小值，即最小值为，
时取得最大值，最大值为，
由题意可得：，
解得，，
与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去；
综上，n的取值范围为.

23.【答案】【小题1】
筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线
/（本题答案不唯一，只要正确即可）
筝形的面积等于对角线乘积的一半/（本题答案不唯一，只要正确即可）
【小题2】
证明：如图1，连接，
由旋转知四边形和四边形为全等的正方形，
，，
在和中，
，
，
，
∴四边形是筝形．
【小题3】
解：四边形是筝形，
理由：如图2，连接，
由旋转知四边形和四边形为全等的菱形，
，，
，
，
，
，
∴四边形是筝形．
【小题4】
解：如图3，
由（2）知四边形是筝形，
，，
点A、E在线段的垂直平分线上，
，
，
∴点O在以线段为直径的半圆上运动，
取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，，
，
当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，
∵正方形的边长为6，
∴，
，且M为的中点，
，
∴，
．

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