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第1章 二次函数 单元综合知识梳理卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
2．已知在二次函数y=-x2+（a-1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是（　　）
A．a=-1 B．a=3 C．a≥-1 D．a≤3
3．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为（　　）
A．－2 B．1 C．2 D．9
4．二次函数 的图像如图所示，现有以下结论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个.
5．如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
6．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图象如图4所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5.其中正确的个数有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④有两个相等的实数根，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．二次函数 变形为 的形式，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 1 -1 1 7 17 …
则关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）
A．有最小值 B．对称轴是直线x=2
C．当x<-1时，y随x的增大而减小 D．开口向上
10．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为　 　元时，获得的利润最多．
12．将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线与 轴的交点坐标是　 　．
13． 如果关于x的分式方程有整数解，且二次函数y＝（m﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，那么符合条件的所有整数m的和为 　 　．
14．抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件：（1）4a﹣b=0； （2）a﹣b+c＞0；（3）与x轴有两个交点，且两交点的距离小于2．以下有四个结论：①a＜0；②c＞0；③ac= b2；④ ＜a＜ ．则其中正确结论的序号是　 　．
15．若A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=﹣（x+1）2﹣2图象上不同的两点，且x1＞x2＞﹣1，记m=（x1﹣x2）（ y1﹣y2），则m　 　0．（填“＞”或“＜”）
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x轴的正半轴上，顶点C 的坐标为(4，3)，D 是抛物线 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 的面积最大为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题8分，20、21题每题10分，22、23每题14分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．近年来，电商成为带动我国经济和社会转型发展的新动力。2022年某省粮食生产再获丰收，某村通过直播带货对产出的生态米进行销售．每袋成本为40元，物价部门规定每袋售价不得高于55元．市场调查发现，若每袋以45元的价格销售，平均每天销售105袋，而销售价每涨价1元，平均每天就可以少售出3袋．
（1）求该电商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/袋）之间的函数关系式；
（2）当每袋大米的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
18．在杭州举行的亚运会比赛中，一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
19．把边长为的正方形硬纸板（如图1），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图2），折纸厚度忽略不计.
图1图2
（1）要使折成的盒子的底面积为，剪掉的正方形边长应是多少厘米？
（2）折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由：如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉的正方形边长.
20．已知二次函数与x轴交于A和B，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）在抛物线上存在一点P使的面积为10，请求出点P点坐标．
21．商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．
（1）该商场平均每月可售出　 　件商品（用含的代数式表示）；
（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？
（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠元利润给希望工程，通过销售记录发现，在扣除捐款后当每件商品销售价格大于85元时，每天的利润随增大而减小，求的取值范围．
22．如图，某小区准备用总长的篱笆围成一块矩形花圃为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆与将矩形分割成三块矩形区域，而且这三块区域的面积相等，设．
（1）填空：　 　用含的代数式表示
（2）当矩形区域的面积为时，求长．
（3）当围成的花圃的面积最大时，求长．
23．如图，平行四边形ABCO在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S1，右侧部分图形的面积记为S2，求S1与S2的比．
（3）在y轴上取一点D，坐标是（0，），将直线OC沿x轴平移到O′C′，点D关于直线O′C′的对称点记为D′，当点D′正好在抛物线上时，求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式．
参考答案
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．
【答案】A
2．
【答案】D
3．
【答案】A
4．
【答案】B
5．
【答案】B
6．
【答案】D
7．
【答案】B
8．
【答案】A
9．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵图象经过（-2，1）与（0，1）
∴抛物线对称轴直线为x=，即对称轴直线x=-1
故B错误，符合题意
∵图象经过点（0，1）（1，7），且对称轴直线为x=-1
∴当x＞1时，y随x的增大而增大
∴开口向上
当x<-1时，y随x的增大而减小
故C、D正确，不符合题意
由开口向上可得二次函数有最小值
故A正确，不符合题意
故答案为：B.
10．
【答案】C
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．
【答案】70
12．
【答案】（1，0）
13．
【答案】0
14．
【答案】①
15．
【答案】＜
16．
【答案】15
三、解答题（17、18、19题每题8分，20、21题每题10分，22、23每题14分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
【答案】（1）解：w=（x-40）[105-3（x-45）]=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600，
答：该电商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/袋）之间的函数关系式为w=-3x2+360x-9600
（2）解：w=-3x2+360x-9600=-3（x-60）2+1200，
∵=-3＜0，且对称轴为x=60，
∴当x＜60，w随x的增大而增大，
又∵40≤x≤55，
∴当x=55时，w有最大值，最大值为1125元．
答：当销售价为55元时，可以获得最大利润，为1125元
18．
【答案】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，
设抛物线的表达式为，
∴，
解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：令，则，
解得（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
19．
【答案】（1）解：设剪掉的正方形的边长为.
则，
即，
解得（不合题意，舍去），
∴剪掉的正方形的边长为；
（2）解：侧面积有最大值.
设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系为：，即，
即，
∵二次项系数为，自变量的取值范围为：
∴当时，有最大值，
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为
20．
【答案】（1）解：令得：，
解得：或，
∴点、；
∵y轴交于点C，
∴点，
∴、，；
（2）∵，且，
∴，即，
解得：，
当时，由，得：或，
即点P坐标为或，
当时，，方程无解；
综上，P点坐标为或．
21．
【答案】（1）
（2）解：设每月销售利润为元，
则，
，，
当时，有最大值，最大值为16000，
商品售价定为80元时，每月销售利润最大；
（3）解：根据题意得：，
对称轴为直线，
，
当时，随的增大而减小，
每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随增大而减小，
，
解得，
又，
的取值范围为．
22．
【答案】（1）
（2）解：，，
，
由矩形的面积公式得：，
即，
解得：，，
或，
长为或；
（3）解：，，
，
，
当时，围成的花圃的面积最大，此时，，
当围成的花圃的面积最大时，长为．
23．
【答案】解：（1）如图1，∵四边形ABCO是平行四边形，∴BC=OA，BC∥OA．∵A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），∴点C的坐标为（2，4）．∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C．∴．解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6．（2）如图1，∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6．∴对称轴x=﹣=，设OC所在直线的解析式为y=ax，∵点C的坐标为（2，4），∴2a=4，即a=2．∴OC所在直线的解析式为y=2x．当x=时，y=1，则点F为（，1）．∴S2=EC EF=×（2﹣）×（4﹣1）=．∴S1=S四边形ABCO﹣S2=2×4﹣=．∴S1：S2=：=23：9．∴S1与S2的比为23：9．（3）过点D作DM⊥CO，交x轴于点M，如图2，∵点C的坐标为（2，4），∴tan∠BOC=．∵∠OMD=90°﹣∠MOC=∠BOC，∴tan∠OMD==．∵点D的坐标是（0，），∴=，即OM=7．∴点M的坐标为（7，0）．设直线DM的解析式为y=kx+b，则有，解得：∴直线DM的解析式为y=﹣x+．∵点D与点D′关于直线O′C′对称，∴DD′⊥O′C′，且DD′的中点在直线O′C′上．∵OC∥O′C′，∴DD′⊥OC．∴点D′是直线DM与抛物线的交点．联立解得：，，∴点D′的坐标为（﹣1，4）或（，）．设直线O′C′的解析式为y=2x+c，①当点D′的坐标为（﹣1，4）时，如图3，线段DD′的中点为（，）即（﹣，），则有2×（﹣）+c=，解得：c=．此时直线O′C′的解析式为y=2x+．②当点D′的坐标为（，）时，如图4，同理可得：此时直线O′C′的解析式为y=2x+．综上所述：当点D′的坐标为（﹣1，4）时，直线O′C′的解析式为y=2x+；当点D′的坐标为（，）时，直线O′C′的解析式为y=2x+．

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