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第一章 三角形 章节练习 2026-2027学年浙教版数学八年级上册
一、选择题（每题3分，共30分）
1． 如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是的高的是（　　）
A． B．
C． D．
2． 对于命题“如果∠1+∠2>90°， 那么∠1， ∠2都大于45°°能说明它是假命题的反例是 (　　)
A．∠1=∠2=45° B．∠1=50°， ∠2=50°
C．∠1=45°， ∠2=50° D．∠1=46°， ∠2=40°
3．如图，，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离为（　　）米．
A．25 B．22.5 C．12.5 D．20
5．如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（　　）
A． B．5 C． D．
7．如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形中，，．若，则的长不可能是（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
10．如图，，均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且，分别与，交于点M，N，连接．则下列结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤．其中正确的有其中正确结论的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（每题3分，共15分）
11． 如图，在等腰中，，若，则的度数为　 　.
12．如图，在中，D、E分别为、的中点，若的面积为，则的面积为　 　．
13．如图，是等边三角形，点D、E分别是边、上一点，且，与相交于点F，则的大小是　 　度．
14．如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于　 　．
15．为等边三角形，点E在边上，，在射线上取点D，使，连接并延长交射线于点F，则下列说法正确的是：　 　．
①当时，为等腰三角形；
②；
③在边上存在点E，使；
④．
三、解答题（共8题，共75分）
16．已知一个三角形的三边长为，若此三角形的周长为偶数，求的值．
17．如图所示，在中，是角平分线，是高．
（1）若，求：①的度数；②的度数．
（2）已知，则 （用表示）．
18．如图，已知△ABC≌△ADE．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）当∠BED=50°时，求∠AEC的度数．
19．如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地. C，D 两地到路段AB 的距离CE，DF 相等吗 为什么
20．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．
（1）已知的周长是7cm，求的长；
（2）若，，求的度数．
21．【问题背景】
如图，在中，，和的平分线和相交于点 G．
【问题探究】
（1）的度数为 ；
（2）过G作交的延长线于点 F，交于点 H，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
22．如图，在中，，于点，交于点，，连接.
（1）如图1，当在内部时，求证：；
（2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：.
23．小明在物理课．上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，．
（1）试说明；
（2）求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ AD是的高 ，
∴∠ADB=∠ADE=90°.
故答案为：B .
【分析】根据已知条件可得∠ADB=∠ADE=90°，根据图形即可得出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∠1=∠2=45°时， ∠1+∠2=90°，不能说明如果∠1+∠2>90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，不符合题意；
B、∠1=50°， ∠2=50°时， ∠1+∠2>90°， ∠1、∠2都大于45°，不能说明如果∠1+∠2>90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，不符合题意；
C、∠1=45°， ∠2=50°时， ∠1+∠2>90°， ∠1、∠2不都大于45°，说明如果∠1+∠2>90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，符合题意；
D、∠1=46°， ∠2=40°时， ∠1+∠2<90°，不能说明如果∠1+∠2>90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据反例是举出的例子能够使得题设成立，而结论不成立的例子逐项判断解答即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：D．
【分析】首先根据全等三角形的对应角相等得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
在和中，
∵，
∴，
∴米，
∴A，B间的距离为25米，
故答案为：A．
【分析】根据题目情境得，，，即可得，根据全等性质得米．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，∴，
∵M、N分别在、的中垂线上，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
【分析】根据垂直平分线性质可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
∵的平分线和的平分线交于上一点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的性质得出AB=CD，，根据等腰三角形的判定得到AB=BE，CD=CE，从而求出AD=4，再由，得到直角三角形ADE，根据勾股定理即可解答.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴A.当添加时，可根据“”判定；
B. 当添加时，可根据“”判定；
C.当添加时，可根据“”判定．
D. 当添加时，无法判定．
故选：D．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ BE平分ABC交AC边于E，∠ABE＝25°，
∴∠ABD=2∠ABE=50°.
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°－∠ABD=40°，
∵ ∠BAC＝60°，
∴∠DAC=∠BAC－∠BAD=20°.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD的度数，再利用三角形高的性质以及三角形的内角和定理可求出∠BAD，最后利用角的和差运算即可得到答案.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：延长，截取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴的长不可能13．
故选：D．
【分析】
本题考查了全等三角形的判断和性质，三角形三边关系的应用．延长，截取，连接，证明，得出，根据三角形三边关系得出，根据，得出，即可得出答案．
10．【答案】A
【解析】【解答】解：①∵、均是等边三角形，
∴，，，，
∴，，
在和中
，
∴，
∴；
∴结论正确；
②由①得：△ACE≌△DCB，
∴，，
∵，
而∠BOE=180°-∠ONE-∠AEC，∠BCE=180°-∠BNC-∠DBC，
∴，
∴结论正确；
③由①得：∠DCE=∠ACD=60°，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴结论正确；
④过点C作于点P，作于点Q，如图所示：
由①得：△ACE≌△DCB，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴结论正确；
⑤由①得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴结论正确.
综上可知，正确的结论有5个．
故答案为：A．
【分析】①由等边三角形的性质可得，，，，所以，，用边角边可证，然后由全等三角形的对应边相等可求解；
②由①得：△ACE≌△DCB，由全等三角形的对应角相等可得，在△OEN和△BNC中，根据三角形的内角和定理可判断求解；
③由题意，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得到，然后根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可求解；
④过点C作于点P，作于点Q，由①得：△ACE≌△DCB，根据三角形的面积公式可证，然后根据角平分线的判定“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”可判断求解；
⑤由①得：，由平行线的判定“同位角相等两直线平行”可得，再根据平行线的性质“两直线平行内错角相等”并结合已知可求解．
11．【答案】72°
【解析】【解答】解：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴
故答案为： 72°.
【分析】直接由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得底角∠B的度数.
12．【答案】6
【解析】【解答】解：∵D为的中点，
∴，，
同理可得，=
∵S△ABC=24，
∴，
故答案为：6.
【分析】根据三角形的中线将三角形面积分为相等的两部分即可得出答案.
13．【答案】60
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴≌（SAS），
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：60．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等。
根据等边三角形的性质并根据“”得出≌，此时即可得出，再根据进行角度变形即可得出答案。
14．【答案】25
【解析】【解答】解：延长交于，如下图，
∵平分，垂直于，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：25．
【分析】延长交于，由证明，得出，可得BD、CD分别是△ABE、△ACE的中线，根据中线平分面积可得出，，进一步即可得出的面积 ．
15．【答案】①②④
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
当时，，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，，故，
解得：（不符合题意），故③错误．
④证明：在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据等边三角形性质可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，当时，，根据等角对等边可判断①；根据角之间的关系可判断②；连接，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，，当时，，故，解方程可判断③；在上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系可判断④.
16．【答案】解：由题意知，，即，
∵周长为偶数，
∴为奇数，
∴．
【解析】【分析】本题考查了三角形的三边关系即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．由题意知，，即，所以a可取4、5、6，由周长为偶数，可得为奇数，进而可得的值．
17．【答案】（1）解：∵，∴，
∵是角平分线，是高，
∴，．
①∴；
②．
（2）
【解析】【分析】（1）由，求得，根据是角平分线，是高，求得，，①根据，进行计算，即可求解；②根据，结合三角形内角和定理和角的平分线，进行作答，即可求解．
（2）根据题意，得到，根据是角平分线，是高，求得，结合，即可求解.
（1）∵，
∴，
∵是角平分线，是高，
∴，．
①∴；
②．
（2）∵，
∴，
∵是角平分线，是高，
∴，．
∴；
∴．
，
故答案为：．
18．【答案】（1）证明：∵△ABC≌△ADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE∴∠1＝∠2
（2）解：∵△ABC≌△ADE
∴∠AED=∠C，AC=AE
∴∠AEC=∠C
∴∠AED=∠AEC=(180°-50°)=65°
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到：，进而根据角的运算即可求证；
（2）根据全等三角形的性质得到：，则，最后根据等腰三角形的性质即可求解.
19．【答案】解： CE=DF，理由如下：
由题意得：A C = B D ， ∠ A E C = ∠ B F D = 90 ，
∵ A C ∥ B D ，
∴ ∠ C A E = ∠ D B F
在 △ A C E 与 R △ B D F 中：
∠ C A E = ∠ D B F
∠ A E C = ∠ B F D
A C = B D
∴ △ A C E △ B D F （AAS），
∴ C E = D F ，即C、D到AB的距离相等，
【解析】【分析】先根据题意得：A C = B D ， ∠ A E C = ∠ B F D = 90 ，再利用平行线得性质得到∠ C A E = ∠ D B F，根据AAS判定 △ A C E △ B D F，再根据全等三角形的性质即可解答.
20．【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为．
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可得，，再根据三角形周长即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为．
21．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∵，
∴∠CAD+∠CDA=90°，
∵，
∴，
∴∠F+∠CDA=90°，
∴，
又∵，
∴，
∴，结论得证.
（3）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【解析】解：∵在中，，
∴，
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）利用三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义得到，由此即可利用三角形外角性质得，即可求出答案；
（2）利用直角三角的性质证明，于是可利用AAS证明，于是可利用全等三角形的性质得结论；
（3）由全等三角形的性质得到，则，再证明，即可得到．
（1）解：∵在中，，
∴，
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵和的平分线和相交于点 G，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
22．【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∴.
（2）证明：如图，在的延长线上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∵，
∴.
【解析】【分析】（1） 从问题入手，三条线段不在一个三角形或一条边上，想办法等量代换，如果在EF找到一点将EF的分成两段，与等号另一边两线段分别相等就可以证得结论了，结合已知的等边等角条件，故想到在EF上找到一点H，令EH=BH，连接AF作辅助线；接下来需要证明FH=FC，要证明两线段相等，通常可先尝试证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路即可；
（2）基本思路同（1），观察需要证明的等式，作辅助线找到线段BE的2倍，故想到在FE的延长线上找到一点N，令EN=BE，连接AN，则需要证明CF=NF，同样要证明两线段相等，先证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路写出证明过程。
23．【答案】（1）解：
又
在和中
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.

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