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专题01一元二次方程及其解法题型专练
题型一 一元二次方程的定义
题型二 一元二次方程的一般形式
题型三 一元二次方程的解
题型四 解一元二次方程-配方法
题型五 解一元二次方程-公式法
题型六 解一元二次方程-因式分解法
题型七 根的判别式
题型八 根与系数的关系
题型一 一元二次方程的定义
1．（2026春 苍梧县期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．2x﹣3＝1
【答案】A
【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一判断选项即可．
【解答】解：A、3（x+1）2＝2（x+1），整理得3x2+4x+1＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有分式，不是整式方程，故此选项不符合题意；
C、当a＝0时不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．（2026春 海门区校级期中）下列方程中，一元二次方程的个数有（　　）
（1）2x2﹣3＝0；（2）x2+y2＝5；（3）x2﹣5x＝0；（4）x22．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断每个方程是否符合要求，统计符合定义的方程个数即可，一元二次方程需满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程．
【解答】解：由题意，一元二次方程需满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程．
（1）对于2x2﹣3＝0，符合定义，故是一元二次方程；
（2）对于x2+y2＝5，含有x和y两个未知数，不符合定义，则不是一元二次方程；
（3）对于x2﹣5x＝0，符合题意，故是一元二次方程；
（4）对，分母含有未知数x，不是整式方程，故不符合定义，则不是一元二次方程．
综上，一元二次方程共有2个．
故选：B．
3．（2025秋 闵行区校级期末）若方程6x﹣2＝□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　）
A．2y2 B．22 C．3x2 D．x
【答案】C
【分析】需明确一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程这几个条件，据此逐一分析选项即可．
【解答】解：根据一元二次方程定义对各选项分析如下：
A选项：代入后方程为6x﹣2＝2y2，含有两个未知数x和y，不符合一元二次方程定义；
B选项：代入后方程为6x﹣2＝22，整理得6x﹣24＝0，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意；
C选项：代入后方程为6x﹣2＝3x2，整理得3x2﹣6x+2＝0，只含一个未知数x，且x的最高次数为2，符合一元二次方程定义，符合题意；
D选项：代入后方程为6x﹣2＝x，整理得5x﹣2＝0，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意；
故选：C．
4．（2026春 顺义区校级期中）若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是m＝±3　 ．
【答案】m＝±3．
【分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列出等式与不等式求解即可．
【解答】解：由题意得|m|﹣1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝±3，
故答案为：m＝±3．
5．（2025秋 瑞昌市月考）已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x+5＝0．
（1）当m满足什么条件时，此方程是一元一次方程？
（2）当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？
【答案】（1）m＝﹣2；
（2）m≠±2．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义解答即可．
【解答】解：（1）由题意得m2﹣4＝0且m﹣2≠0．
解得m＝﹣2；
（2）由题意得m2﹣4≠0，
解得m≠±2．
题型二 一元二次方程的一般形式
6．（2026春 苍梧县期中）将一元二次方程3x2﹣2＝x化成一般形式后，常数项是﹣2，则二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3，﹣2 B．3，1 C．3，﹣1 D．3，0
【答案】C
【分析】将方程整理为一般形式ax2+bx+c＝0，确定各项系数即可求解．
【解答】解：根据题意可知，方程3x2﹣2＝x的一般形式为3x2﹣x﹣2＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为﹣1，常数项为﹣2，
∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣1．
故选：C．
7．（2026春 威海期末）关于x的方程x2﹣6x+3＝0，下列说法错误的是（　　）
A．二次项系数为1 B．一次项系数为﹣6
C．常数项为0 D．它是一元二次方程
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义和一般形式作答．
【解答】解：A、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，二次项系数为1，说法正确；
B、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，一次项系数为﹣6，说法正确；
C、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，常数项为3，说法错误；
D、关于x的方程x2﹣6x+3＝0，它是一元二次方程，说法正确；
故选：C．
8．（2026春 舒城县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项是0，则m＝（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2
【答案】C
【分析】根据二次项的系数不等于0，常数项等于0即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：，
解得：m＝﹣2．
故选：C．
9．（2026春 苍南县期中）将一元二次方程x（x+2）＝1化为一般式为x2+2x﹣1＝0　 ．
【答案】x2+2x﹣1＝0．
【分析】去括号，移项，即可得出答案．
【解答】解：x（x+2）＝1，
x2+2x﹣1＝0，
故答案为：x2+2x﹣1＝0．
10．（2025秋 武侯区校级期末）将方程（x﹣1）（x+4）＝3化为一般形式得x2+bx+c＝0，则b+c＝　﹣4　 ．
【答案】﹣4．
【分析】利用一元二次方程的一般形式进行计算，即可解答．
【解答】解：（x﹣1）（x+4）＝3，
x2+4x﹣x﹣4＝3，
x2+4x﹣x﹣4﹣3＝0，
x2+3x﹣7＝0，
∴b＝3，c＝﹣7，
∴b+c＝3+（﹣7）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
题型三 一元二次方程的解
11．（2025秋 呼伦贝尔期末）已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个实数根，则a的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
【答案】C
【分析】将已知根代入原方程，即可解出参数a的值．
【解答】解：由题意得：将x＝﹣1代入原方程，得（﹣1）2+2×（﹣1）+a＝0，
计算得1﹣2+a＝0，
整理得a﹣1＝0，
解得a＝1，
故选：C．
12．（2025秋 隆昌市校级期末）如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　）
A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027
【答案】C
【分析】将x＝m代入原方程，可得出m2﹣2m＝1，再将其代入原式＝﹣2（m2﹣2m）+2025中，即可求出结论．
【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴原式＝﹣2（m2﹣2m）+2025＝﹣2×1+2025＝2023．
故选：C．
13．（2025秋 嵩县期末）根据下列表格的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3
x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　）
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3
【答案】B
【分析】利用表中数据得到x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，则可判断x2+12x﹣15＝0时，有一个根满足1.1＜x＜1.2．
【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，
x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，
∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0，
即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，
故选：B．
14．（2026 嘉陵区二模）关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0有一个根为x＝﹣1，则实数a，b之间的关系为a﹣b＝1　 ．
【答案】a﹣b＝1．
【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根x＝﹣1代入原方程，化简整理即可得到a与b的关系．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0，得a×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣1＝0，
整理得a﹣b﹣1＝0，
所以a﹣b＝1，
故答案为：a﹣b＝1．
15．（2026春 临淄区期末）已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，试求的值．
【答案】﹣1．
【分析】根据一元二次方程的解计算即可．
【解答】解：由条件可得：a2﹣2026a+1＝0，
∴a2+1＝2026a，a2﹣2025a＝a﹣1，
∴．
16．（2026春 安庆校级期中）已知t是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，求：
（1）代数式3t2﹣6t+4的值；
（2）代数式t3﹣4t2+2t+1的值．
【答案】（1）10；
（2）﹣3．
【分析】（1）将x＝t代回方程并将其变形得t2﹣2t＝2，进而即可求解；
（2）由（1）可得t2＝2t+2，将t3变形为2t2+2t，再将其代回原式即可求解．
【解答】解：（1）当x＝t时，t2﹣2t﹣2＝0
t2﹣2t＝2，
∵3t2﹣6t+4＝3（t2﹣2t）+4，
∴原式＝3×2+4
＝10；
（2）由（1）得，t2﹣2t＝2，
∴t2＝2t+2，
∴t3＝t t2
＝t（2t+2）
＝2t2+2t，
∴原式＝（2t2+2t）﹣4t2+2t+1
＝﹣2t2+4t+1
＝﹣2（t2﹣2t）+1
＝﹣2×2+1
＝﹣3．
17．（2026 越秀区校级三模）已知A＝（2x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）+2x．
（1）化简A；
（2）若x为方程x2+2x﹣3＝0的解，求A的值．
【答案】（1）3x2+6x+10；
（2）19．
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）根据方程的解的定义得到x2+2x＝3，再根据A＝3x2+6x+10＝3（x2+2x）+10计算求解即可．
【解答】解：（1）A＝（2x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）+2x
＝4x2+4x+1﹣（x2﹣9）+2x
＝3x2+6x+10；
（2）由条件可知：x2+2x﹣3＝0，
∴x2+2x＝3，
∴A＝3x2+6x+10＝3（x2+2x）+10＝3×3+10＝9+10＝19．
题型四 解一元二次方程-配方法
18．（2026 焦作开学）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣1）2＝4 D．（x﹣2）2＝4
【答案】C
【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到结果．
【解答】解：原方程移项得x2﹣2x＝3，
方程两边同时加1，得x2﹣2x+1＝3+1，
整理得（x﹣1）2＝4．
故选：C．
19．（2026春 宁海县校级期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝6 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝6 D．（x+1）2＝4
【答案】A
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，
移项，得x2﹣2x＝5，
两边都加1，得x2﹣2x+1＝5+1，
配方，得（x﹣1）2＝6．
故选：A．
20．（2026春 安庆校级期中）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，若配方后结果为（x﹣m）2＝n，则m﹣n的值为（　　）
A．﹣13 B．13 C．﹣7 D．7
【答案】C
【分析】根据题意先给x2﹣6x﹣1＝0配方求出m，n的值，再求出代数式的值即可．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴x2﹣6x+9＝1+9，
∴（x﹣3）2＝10，
∵（x﹣m）2＝n，
∴m＝3，n＝10，
∴m﹣n＝3﹣10＝﹣7，
即m﹣n的值为﹣7．
故选：C．
21．（2026春 鲤城区校级期末）若关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，那么（a+b）2026＝　1　 ．
【答案】1．
【分析】利用配方法把方程x2﹣6x+a＝0化为（x+b）2＝7的形式，进而求出a、b，代入计算即可．
【解答】解：由题意，∵x2﹣6x+a＝0，
∴x2﹣6x+9＝﹣a+9，
∴（x﹣3）2＝﹣a+9，
∵关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，
∴b＝﹣3，﹣a+9＝7，
∴a＝2，
∴（a+b）2026＝（2﹣3）2026＝1．
故答案为：1．
22．（2026春 庐阳区校级期中）用配方法解一元二次方程9x2+bx+a＝0得，则a的值为　3　 ．
【答案】3．
【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为9x2﹣18x+3＝0，再通过对比系数求出a的值．
【解答】解：两边平方得（3x﹣3）2＝6，
展开左边得9x2﹣18x+9＝6，
整理得9x2﹣18x+3＝0，
原方程为9x2+bx+a＝0，
对比系数，可得a＝3．
故答案为：3．
23．（2026 安庆二模）解方程：x2﹣6＝﹣2（x+1）
【答案】见试题解答内容
【分析】方程变形后，配方为完全平方式，开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：x2+2x＝4，
配方得：x2+2x+1＝5，即（x+1）2＝5，
开方得：x+1＝±，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1．
24．（2026 颍东区模拟）解方程：x2﹣4x＝1．
【答案】见试题解答内容
【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：配方得x2﹣4x+4＝1+4，
即（x﹣2）2＝5，
开方得x﹣2＝±，
∴x1＝2，x2＝2．
25．（2026春 杨浦区校级期中）（用配方法解方程）2x2﹣3x﹣3＝0．
【答案】，．
【分析】先把x的系数化为1，再利用配方法求解即可．
【解答】解：2x2﹣3x﹣3＝0，
x的系数化为1得，，
移项得，，
方程两边同时加二次项系数一半的平方得，，
，
，
解得，．
26．（2025秋 白山期末）解方程：x2﹣10x+6＝0．
【答案】，．
【分析】利用配方法解方程即可．
【解答】解：由题意得，x2﹣10x＝﹣6，
∴x2﹣10x+25＝19，
∴（x﹣5）2＝19，
∴，
∴，．
题型五 解一元二次方程-公式法
27．（2026春 桥西区期末）用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值．
【解答】解：原方程移项得x2﹣2x﹣1＝0，
，
对比题干给出的式子，可知□处应填2．
故选：C．
28．（2026 福州校级模拟）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　）
A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0
【答案】B
【分析】通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为，
∴，
∴﹣b＝1，2a＝6，
解得b＝﹣1，a＝3，
∵b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣5），
∴c＝﹣5，
∴原方程为3x2﹣x﹣5＝0，
故选：B．
29．（2026 新疆一模）一元二次方程2x2﹣3x＝1的根为　，　 ．
【答案】，．
【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，计算根的判别式Δ＝b2﹣4ac，再利用求根公式 求解即可．
【解答】解：2x2﹣3x＝1，
2x2﹣3x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0，
∴，
∴，．
30．（2026春 绵阳期末）已知a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，则　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【分析】根据题意将a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3代入计算即可．
【解答】解：由条件可得：
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
31．（2026 龙沙区三模）解方程x2+3x﹣1＝0．
【答案】，．
【分析】根据公式法求解即可．
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，则方程有两个不相等的实数根，
，
即，．
32．（2026 依安县校级三模）用公式法解方程：5x2﹣4x﹣1＝0．
【答案】x1＝1，x2．
【分析】先求出判别式的值，判断是否是非负数，再代入求根公式可得答案
【解答】解：∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
则x，
即x1＝1，x2．
33．（2026春 凤阳县期末）解方程：（2x﹣1）（x+3）＝4．
【答案】x1＝1，．
【分析】将方程化为一元二次方程的一般形式；利用求根公式求出方程的解．
【解答】解：（2x﹣1）（x+3）＝4，
2x2+5x﹣7＝0，
∵a＝2，b＝5，c＝﹣7，
∴Δ＝b2﹣4ac＝81，
∴，
∴x1＝1，．
题型六 解一元二次方程-因式分解法
34．（2025秋 祥符区期末）方程x（x﹣2）＝x﹣2的解为（　　）
A．x＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
【答案】D
【分析】可通过因式分解法解方程，注意不能直接约去含未知数的因式，避免漏根．
【解答】解：原方程移项可得：
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
故选：D．
35．（2026 乌当区校级二模）关于x的一元二次方程x2+5x＝0的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣5
C．x1＝0，x2＝﹣5 D．x1＝0，x2＝5
【答案】C
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：x2+5x＝0，
x（x+5）＝0，
x＝0或x+5＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣5．
故选：C．
36．（2026 黄冈模拟）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝2x，解答过程如下所示：
甲同学 乙同学
两边同时除以x，得x＝2． 移项，得x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0． ∴x﹣2＝0或x＝0，解得x1＝2，x2＝0．
其中完全正确的是（　　）
A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确
【答案】B
【分析】根据因式分解法解一元二次方程求解判断即可．
【解答】解：由题意得，甲同学的解法错误，理由如下：
方程两边不能同时除以x，因为x可能为0，这样会漏解；
乙同学利用解一元二次方程方法—因式分解法，计算正确，
∴完全正确的是乙同学．
故选：B．
37．（2026春 长武县校级期末）方程x2﹣9x+20＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定
【答案】C
【分析】先求出方程的解，根据等腰三角形的性质得出两种情况，①当等腰三角形的三边为4，4，5，②当等腰三角形的三边为4，5，5，再求出答案即可．
【解答】解：x2﹣9x+20＝0，
（x﹣4）（x﹣5）＝0，
x﹣4＝0或x﹣5＝0，
解得：x＝4或5，
①当等腰三角形的三边为4，4，5时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+4+5＝13，
②当等腰三角形的三边为4，5，5时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+5+5＝14，
所以等腰三角形的周长是13或14，
故选：C．
38．（2026春 拱墅区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣a）＝0的两个根分别是5和1，则a的值为 　1　 ．
【答案】1．
【分析】利用因式分解法解方程得x1＝5，x2＝a，从而可确定a的值．
【解答】解：∵（x﹣5）（x﹣a）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣a＝0，
解得x1＝5，x2＝a，
∵关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣a）＝0的两个根分别是5和1，
∴a＝1．
故答案为：1．
39．（2026春 萨尔图区校级月考）已知2x2+5xy﹣7y2＝0，且y≠0，则的值　﹣3.5或1　 ．
【答案】﹣3.5或1
【分析】方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程变形得：2（）2+5 7＝0，
分解因式得：（2 7）（1）＝0，
解得：3.5或1，
故答案为：﹣3.5或1
40．（2026 龙江县一模）解方程：x2﹣4x+3＝0．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0
（x﹣1）（x﹣3）＝0
x﹣1＝0或x﹣3＝0
x1＝1，x2＝3．
41．（2026 东光县模拟）用适当的方法解方程．
（1）x2＝8x+9；
（2）3（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
【答案】（1）x1＝9，x2＝﹣1；
（2）．
【分析】（1）把方程整理成一般形式，用因式分解法解方程即可：
（2）移项后用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）原方程整理得：x2﹣8x﹣9＝0，
（x﹣9）（x+1）＝0，
x﹣9＝0，x+1＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣1；
（2）整理得：3（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x﹣5）＝0，
x﹣1＝0，3x﹣5＝0，
解得：．
42．（2025秋 奈曼旗期末）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）4x（2x+1）＝3（2x+1）．
【答案】（1）x1＝﹣7，x2＝1；
（2）x1，x2．
【分析】（1）利用因式分解法（十字相乘）求解比较简便；
（2）把2x+1看成一个整体，运用因式分解法（提公因式）求解比较简便．
【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0，
（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x+7＝0或x﹣1＝0．
∴x1＝﹣7，x2＝1；
（2）4x（2x+1）＝3（2x+1），
移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，
∴（2x+1）（4x﹣3）＝0．
∴2x+1＝0或4x﹣3＝0．
∴x1，x2．
43．（2026春 上城区校级期中）解方程：
（1）x2+4x+3＝0；
（2）2x（x﹣3）+x＝3．
【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝﹣1；
（2）x1＝3，x2．
【分析】（1）把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵x2+4x+3＝0，
∴（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1；
（2）∵2x（x﹣3）+x＝3，
∴2x（x﹣3）+x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（2x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或2x+1＝0，
∴x1＝3，x2．
44．（2026春 顺义区校级期中）计算：
（1）x2﹣10x+21＝0；
（2）5x2﹣3x＝x+1．
【答案】（1）x1＝3，x2＝7；
（2）．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先整理原方程，再利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）原方程因式分解可得：
（x﹣3）（x﹣7）＝0，
x﹣3＝0或x﹣7＝0，
x1＝3，x2＝7．
（2）原方程移项可得：
5x2﹣4x﹣1＝0，
（5x+1）（x﹣1）＝0，
5x+1＝0，x﹣1＝0，
．
题型七 根的判别式
45．（2026 渭源县模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实根，则c的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】B
【分析】根据根的判别式解答即可．
【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，
整理得16﹣4c＝0，
解得c＝4．
故选：B．
46．（2025秋 呼伦贝尔期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可能取的值是（　　）
A．﹣2026 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程定义要求二次项系数不为0，结合两个不相等的实数根对应判别式大于0，据此列不等式可求出m的取值范围，再结合各选项即可解答．
【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根．
∴，
解得且m≠3，即选项A符合题意．
故选：A．
47．（2026 叶县三模）关于x的一元二次方程x2﹣x+2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】C
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＜0，然后根据根的判别式的意义进行判断．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2＝1﹣8＝﹣7＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
48．（2026 雷州市校级模拟）已知关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围为k＜﹣1　 ．
【答案】k＜﹣1．
【分析】根据根的判别式，即可求出k的取值范围．
【解答】解：根据根的判别式可得：（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0，
解得：k＜﹣1．
故答案为：k＜﹣1．
49．（2026春 上城区校级期中）关于x的方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，则m能取的所有正整数的和为　6　 ．
【答案】6．
【分析】当m＝1时，是一次方程，方程的解为x，当m≠1时，是一元二次方程，根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，然后求出m的取值范围，进而求出结果．
【解答】解：当m﹣1＝0时，m＝1，
方程为﹣4x+4+6＝0，方程的解为x，
当m﹣1≠0时，则Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，
解得m≤3且m≠1．
故m能取的正整数值为1，2，3，其和为6．
故答案为：6．
50．（2025秋 新余校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣3＝0（k为常数）．
（1）若方程的一个根为2，求k的值；
（2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）﹣1；
（2）证明：∵x2+kx﹣k﹣3＝0中a＝1，b＝k，c＝﹣k﹣3，
∴Δ＝k2﹣4×1×（﹣k﹣3）＝k2+4k+12＝（k+2）2+8，
∴（k+2）2+8＞0，即Δ＞0，
∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【分析】（1）将x＝2代入方程，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值；
（2）计算方程的判别式，通过配方证明Δ＞0，从而证明方程总有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：由条件可得：22+2k﹣k﹣3＝0，
解得k＝﹣1；
（2）证明：∵x2+kx﹣k﹣3＝0中a＝1，b＝k，c＝﹣k﹣3，
∴Δ＝k2﹣4×1×（﹣k﹣3）＝k2+4k+12＝（k+2）2+8，
∴（k+2）2+8＞0，即Δ＞0，
∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
51．（2026 南充模拟）a为实数，关于x的方程为（2a+2）x2﹣3（a﹣3）x﹣2a+4＝0．
（1）求证：原方程一定有实数根．
（2）若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数a的值．
【答案】（1）证明：当2a+2＝0时，a＝﹣1．
此时原方程为12x+6＝0．有实数根．
当2a+2≠0时，Δ＝9（a﹣3）2+4（2a+2）（2a﹣4）
＝9（a2﹣6a+9）+4（4a2﹣4a﹣8）
＝9a2﹣54a+81+16a2﹣16a﹣32
＝25a2﹣70a+49
＝（5a﹣7）2≥0，
∴原方程有两个实数根，
综上，原方程一定有实数根．
（2）a的值为2，或5．
【分析】（1）需分二次项系数2a+2是否为0两种情况讨论．当2a+2＝0时，方程为一次方程，有实数根；当2a+2≠0时，计算并证明判别式Δ≥0．
（2）先求出方程的根，因为根为自然数，再通过此来限制即可得出a的值．
【解答】（1）证明：当2a+2＝0时，a＝﹣1．
此时原方程为12x+6＝0．有实数根．
当2a+2≠0时，Δ＝9（a﹣3）2+4（2a+2）（2a﹣4）
＝25a2﹣70a+49
＝（5a﹣7）2≥0，
∴原方程有两个实数根，
综上，原方程一定有实数根．
（2）解：原方程的根．
则，
．
由，知a+1是6的因数．
∴a+1≥1．
当a+1＝1，即a＝0时，x1＝2﹣6＝﹣4（舍）．
当a+1＝2，即a＝1时，x1＝2﹣3＝﹣1（舍）．
当a+1＝3，即a＝2时，x1＝2﹣2＝0．
当a+1＝6，即a＝5时，x1＝2﹣1＝1．
综上，a的值为2或5．
52．（2026春 河口区期末）已知关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m+2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（2p2+3p﹣1）（m﹣2）＝6，求m的值．
【答案】（1）；
（2）m＝5．
【分析】（1）由一元二次方程根的判别式计算即可得出结果；
（2）将x＝p代入方程得2p2+3p﹣m+2＝0，整理得出2p2+3p＝m﹣2，再代入（2p2+3p﹣1）（m﹣2）＝6，计算即可得出结果．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m+2＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣m+2）≥0，
解得：；
（2）∵p是方程的一个实数根，
∴2p2+3p﹣m+2＝0，
变形得2p2+3p＝m﹣2，
∵（2p2+3p﹣1）（m﹣2）＝6，
∴（m﹣2﹣1）（m﹣2）＝6，
解得m1＝0，m2＝5，
∵，
∴m＝5．
53．（2026春 奉化区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝3，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．
【答案】（1）因为关于x的一元二次方程为x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0，
则Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4（2m﹣2）＝m2+2m+1﹣8m+8＝（m﹣3）2≥0，
所以不论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）7或8．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质，结合分类讨论的数学思想进行计算即可．
【解答】（1）证明：因为关于x的一元二次方程为x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0，
则Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4（2m﹣2）＝m2+2m+1﹣8m+8＝（m﹣3）2≥0，
所以不论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：由题知，
当AB为等腰三角形ABC的底时，
Δ＝（m﹣3）2＝0，
则m＝3，
所以方程为x2﹣4x+4＝0，
解得x1＝x2＝2，
因为2+2＞3，
所以m＝3符合题意，
此时△ABC的周长为：2+2+3＝7；
当AB为等腰三角形ABC的腰时，
将x＝3代入方程得，
9﹣3（m+1）+2m﹣2＝0，
解得m＝4，
所以方程为x2﹣5x+6＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
因为2+3＞3，
所以m＝4符合题意，
此时△ABC的周长为：2+3+3＝8，
综上所述：△ABC的周长为7或8．
题型八 根与系数的关系
54．（2026 南充模拟）一元二次方程2x2+x﹣2＝0两根之积为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，利用计算即可．
【解答】解：方程的两根之积为．
故选：B．
55．（2026 内江模拟）若x1，x2是方程x2﹣10x﹣1＝0的两个实数根，则代数式的值为（　　）
A．11 B．10 C．﹣9 D．0
【答案】A
【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含x1的一次式表示，再结合韦达定理（根与系数的关系）得到x1+x2的值，最后代入代数式化简求值．
【解答】解：由条件可知：，
∴，
∵x1，x2是方程x2﹣10x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝10，
∴
＝x1+x2+1
＝10+1
＝11．
故选：A．
56．（2026 马鞍山三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3kx+4＝0的两个根为x1，x2，且满足x1+x2＝x1 x2，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合题目给出的等量关系求解k，再验证方程存在两个实根即可得到结果．
【解答】解：由条件可知：x1+x2＝3k，x1 x2＝4，
∵x1+x2＝x1 x2，
∴3k＝4，
解得：，
验证判别式：Δ＝（﹣3k）2﹣4×1×4＝0，符合要求，
故k的值为．
故选：A．
57．（2026 江州区三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2＝0的两实数根之积等于m2﹣9m+2，则m的值为（　　）
A．0 B．﹣10 C．10 D．0 或10
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积，结合题意列方程求解m，再根据方程有两个实数根，利用判别式检验，舍去不符合题意的解．
【解答】解：由题知，
一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2＝0两根之积为m+2，
又因为该方程的两实数根之积等于m2﹣9m+2，
所以m+2＝m2﹣9m+2，
解得m1＝0，m2＝10，
因为方程有两个实数根，
所以Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（m+2）＝m2﹣6m﹣7≥0，
当m＝0时，Δ＝﹣7＜0，此时方程无实数根，舍去，
当m＝10时，Δ＝102﹣6×10﹣7＝33＞0，符合题意，
所以m的值为10．
故选：C．
58．（2026春 肥城市期末）已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则m2﹣mn+n﹣2m的值为　15　 ．
【答案】15．
【分析】先利用根的定义对所求代数式降次，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入化简后的代数式计算即可．
【解答】解：由一元二次方程根的定义得m2﹣3m﹣6＝0，即m2＝3m+6，
由根与系数的关系得m+n＝3，mn＝﹣6，
将m2＝3m+6代入所求代数式得：
m2﹣mn+n﹣2m＝3m+6﹣mn+n﹣2m＝m+n﹣mn+6＝3﹣（﹣6）+6＝15
＝m+n﹣mn+6
＝3﹣（﹣6）+6
＝15．
故答案为：15．
59．（2026春 仓山区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根为x1，x2，求的值．
【答案】（1）证明：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×[﹣m（m+4）]
＝16+4m2﹣16m
＝4（m﹣2）2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）16．
【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到Δ＝4（m﹣2）2，再利用非负数的性质得到Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4，先把原式变形为x1（x1+x2）+4x2，再整体代入得到原式＝4（x1+x2），然后再次利用整体代入的方法计算．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×[﹣m（m+4）]
＝16+4m2﹣16m
＝4（m﹣2）2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝4，
原式＝x1（x1+x2）+4x2
＝4x1+4x2
＝4（x1+x2）
＝4×4
＝16．
60．（2026春 成武县期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围．；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求a的值．
【答案】（1）a的取值范围是且a≠0；
（2）2．
【分析】（1）利用根的判别式即可解决问题．
（2）利用根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个不相等的实数根，
a≠0，Δ＝[2（a+1）]2﹣4a（a﹣1）＞0，
解得，
∴a的取值范围是且a≠0．
（2）由题意可知，
，．
由 （x1+x2）2﹣2x1x2＝8可得：
28，
解得：a1，a2＝2，
经检验，a1，a2＝2是方程的解．
∵a的取值范围是且a≠0．
∴a＝2．
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专题01一元二次方程及其解法题型专练
题型一 一元二次方程的定义
1．（2026春 苍梧县期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．2x﹣3＝1
2．（2026春 海门区校级期中）下列方程中，一元二次方程的个数有（　　）
（1）2x2﹣3＝0；（2）x2+y2＝5；（3）x2﹣5x＝0；（4）x22．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025秋 闵行区校级期末）若方程6x﹣2＝□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　）
A．2y2 B．22 C．3x2 D．x
4．（2026春 顺义区校级期中）若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是　 　 ．
5．（2025秋 瑞昌市月考）已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x+5＝0．
（1）当m满足什么条件时，此方程是一元一次方程？
（2）当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？
题型二 一元二次方程的一般形式
6．（2026春 苍梧县期中）将一元二次方程3x2﹣2＝x化成一般形式后，常数项是﹣2，则二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3，﹣2 B．3，1 C．3，﹣1 D．3，0
7．（2026春 威海期末）关于x的方程x2﹣6x+3＝0，下列说法错误的是（　　）
A．二次项系数为1 B．一次项系数为﹣6
C．常数项为0 D．它是一元二次方程
8．（2026春 舒城县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项是0，则m＝（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2
9．（2026春 苍南县期中）将一元二次方程x（x+2）＝1化为一般式为　 　 ．
10．（2025秋 武侯区校级期末）将方程（x﹣1）（x+4）＝3化为一般形式得x2+bx+c＝0，则b+c＝　 　 ．
题型三 一元二次方程的解
11．（2025秋 呼伦贝尔期末）已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个实数根，则a的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
12．（2025秋 隆昌市校级期末）如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　）
A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027
13．（2025秋 嵩县期末）根据下列表格的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3
x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（　　）
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3
14．（2026 嘉陵区二模）关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0有一个根为x＝﹣1，则实数a，b之间的关系为　 　 ．
15．（2026春 临淄区期末）已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，试求的值．
16．（2026春 安庆校级期中）已知t是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，求：
（1）代数式3t2﹣6t+4的值；
（2）代数式t3﹣4t2+2t+1的值．
17．（2026 越秀区校级三模）已知A＝（2x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）+2x．
（1）化简A；
（2）若x为方程x2+2x﹣3＝0的解，求A的值．
题型四 解一元二次方程-配方法
18．（2026 焦作开学）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0，原方程应变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣1）2＝4 D．（x﹣2）2＝4
19．（2026春 宁海县校级期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　）
A．（x﹣1）2＝6 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝6 D．（x+1）2＝4
20．（2026春 安庆校级期中）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，若配方后结果为（x﹣m）2＝n，则m﹣n的值为（　　）
A．﹣13 B．13 C．﹣7 D．7
21．（2026春 鲤城区校级期末）若关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，那么（a+b）2026＝　 　 ．
22．（2026春 庐阳区校级期中）用配方法解一元二次方程9x2+bx+a＝0得，则a的值为　 　 ．
23．（2026 安庆二模）解方程：x2﹣6＝﹣2（x+1）
24．（2026 颍东区模拟）解方程：x2﹣4x＝1．
25．（2026春 杨浦区校级期中）（用配方法解方程）2x2﹣3x﹣3＝0．
26．（2025秋 白山期末）解方程：x2﹣10x+6＝0．
题型五 解一元二次方程-公式法
27．（2026春 桥西区期末）用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
28．（2026 福州校级模拟）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　）
A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0
29．（2026 新疆一模）一元二次方程2x2﹣3x＝1的根为　 　 ．
30．（2026春 绵阳期末）已知a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，则　 　 ．
31．（2026 龙沙区三模）解方程x2+3x﹣1＝0．
32．（2026 依安县校级三模）用公式法解方程：5x2﹣4x﹣1＝0．
33．（2026春 凤阳县期末）解方程：（2x﹣1）（x+3）＝4．
题型六 解一元二次方程-因式分解法
34．（2025秋 祥符区期末）方程x（x﹣2）＝x﹣2的解为（　　）
A．x＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
35．（2026 乌当区校级二模）关于x的一元二次方程x2+5x＝0的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣5
C．x1＝0，x2＝﹣5 D．x1＝0，x2＝5
36．（2026 黄冈模拟）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝2x，解答过程如下所示：
甲同学 乙同学
两边同时除以x，得x＝2． 移项，得x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0． ∴x﹣2＝0或x＝0，解得x1＝2，x2＝0．
其中完全正确的是（　　）
A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确
37．（2026春 长武县校级期末）方程x2﹣9x+20＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定
38．（2026春 拱墅区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣a）＝0的两个根分别是5和1，则a的值为 　 　 ．
39．（2026春 萨尔图区校级月考）已知2x2+5xy﹣7y2＝0，且y≠0，则的值　 　 ．
40．（2026 龙江县一模）解方程：x2﹣4x+3＝0．
41．（2026 东光县模拟）用适当的方法解方程．
（1）x2＝8x+9；
（2）3（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
42．（2025秋 奈曼旗期末）解方程：
（1）x2+6x﹣7＝0；
（2）4x（2x+1）＝3（2x+1）．
43．（2026春 上城区校级期中）解方程：
（1）x2+4x+3＝0；
（2）2x（x﹣3）+x＝3．
44．（2026春 顺义区校级期中）计算：
（1）x2﹣10x+21＝0；
（2）5x2﹣3x＝x+1．
题型七 根的判别式
45．（2026 渭源县模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实根，则c的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
46．（2025秋 呼伦贝尔期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可能取的值是（　　）
A．﹣2026 B．4 C． D．
47．（2026 叶县三模）关于x的一元二次方程x2﹣x+2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
48．（2026 雷州市校级模拟）已知关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围为　 　 ．
49．（2026春 上城区校级期中）关于x的方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，则m能取的所有正整数的和为　 　 ．
50．（2025秋 新余校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣3＝0（k为常数）．
（1）若方程的一个根为2，求k的值；
（2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
51．（2026 南充模拟）a为实数，关于x的方程为（2a+2）x2﹣3（a﹣3）x﹣2a+4＝0．
（1）求证：原方程一定有实数根．
（2）若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数a的值．
52．（2026春 河口区期末）已知关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m+2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设p是方程的一个实数根，且满足（2p2+3p﹣1）（m﹣2）＝6，求m的值．
53．（2026春 奉化区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝3，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．
题型八 根与系数的关系
54．（2026 南充模拟）一元二次方程2x2+x﹣2＝0两根之积为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．
55．（2026 内江模拟）若x1，x2是方程x2﹣10x﹣1＝0的两个实数根，则代数式的值为（　　）
A．11 B．10 C．﹣9 D．0
56．（2026 马鞍山三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3kx+4＝0的两个根为x1，x2，且满足x1+x2＝x1 x2，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
57．（2026 江州区三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2＝0的两实数根之积等于m2﹣9m+2，则m的值为（　　）
A．0 B．﹣10 C．10 D．0 或10
58．（2026春 肥城市期末）已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则m2﹣mn+n﹣2m的值为　 　 ．
59．（2026春 仓山区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根为x1，x2，求的值．
60．（2026春 成武县期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a+1）x+a﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围．；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求a的值．
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