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第二十五章 一元二次方程
25.2 降次——解一元二次方程
学习目标与重难点
学习目标：
1. 经历将一元二次方程"降次"为一元一次方程的探究过程，理解配方法、公式法、因式分解法的基本原理，发展运算能力与推理意识。
2. 掌握配方法的一般步骤，能用配方法解数字系数的一元二次方程；理解求根公式的推导过程，掌握根的判别式 ，能用公式法解一元二次方程。
3. 掌握因式分解法解一元二次方程的条件与步骤，能根据方程特征灵活选择适当的解法，体会"降次"转化思想和方法选择的最优化。
学习重点：配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的原理与步骤；求根公式及根的判别式的应用。
学习难点：配方法中"配方"的技巧（常数项的确定）；求根公式的推导；根据方程特征灵活选择解法。
预习自测
一、知识链接
1. 平方根的意义：如果 x = p（p≥0），那么 x = ±√p。
2. 完全平方公式：；。
3. 因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）。
4. 若 ab=0，则 或 （两个因式的积为0，则至少有一个因式为0）。
自学自测
1. 方程 的根是______。
2. 方程 的根是______。
3. 将 配成完全平方式，需要加上的常数是______，配成 。
4. 一元二次方程 的求根公式是____________，根的判别式 Δ=______。
教学过程
一、创设情境、导入新课
与解一元一次方程类似，解一元二次方程也是把它逐步转化为"x=m"的形式。与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要"降次"，即把二次方程转化为一次方程。本节我们研究如何通过"降次"解一元二次方程。
【思考】我们已经会解什么样的一元二次方程？（提示：形如 x =p 或 (x+n) =p 的方程）
二、合作交流、新知探究
探究一：配方法
1. 直接开平方法（降次的基本途径）
先看简单方程 ：根据平方根的意义，得 ，即 。
一般地，对于方程 ：
（1）当 p>0 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x =x =0；
（3）当 p<0 时，方程无实数根。
【探究】怎样解方程 (x+3) =5？
由 ，根据平方根的意义降次，得 ，
即 或 。
所以方程的两个根为 ，。
实质：根据平方根的意义，把一个一元二次方程"降次"，转化为两个一元一次方程。
2. 配方法
【探究】怎样解方程 x +6x+4=0？
关键：将方程左边转化为完全平方式。
移项，得 。
两边同加，即 9，得 。
左边写成完全平方式，得 。
以下用直接开平方法求解（同上）。
【定义】通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
【例1】用配方法解下列方程：
（1）； （2）； （3）。
解：（1）移项，得 x -8x=-1。
配方，得 ，即 。
由此可得 ，所以 ，。
（2）移项，得 2x -3x=-1。
二次项系数化为1，得 x - (3/2)x = -1/2。
配方，得 ，
即 。
由此可得 ，所以 x =1，x =1/2。
（3）移项，得 3x -6x=-4。
二次项系数化为1，得 x -2x=-4/3。
配方，得 。
因为实数的平方不会是负数，所以原方程无实数根。
【配方法步骤归纳】
① 移项：将常数项移到方程右边；
② 化1：二次项系数不为1时，两边同除以二次项系数；
③ 配方：两边同加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；
④ 开方：若右边非负，用直接开平方法降次求解；若右边为负，方程无实数根。
探究二：公式法
1. 求根公式的推导
任何一元二次方程都可化为一般形式 ，能否用配方法得出它的解？
移项，得 。
二次项系数化为1，得 x + (b/a)x = -c/a。
配方，得 。 ①
因为 a≠0，所以 4a >0。式子 的值有三种情况：
（1）当 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 时，方程有两个相等的实数根；
（3）当 时，方程无实数根。
2. 根的判别式与求根公式
式子 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母 "Δ" 表示，即 。
当 Δ≥0 时，方程 的实数根可写为：
这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
【例2】用公式法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
解：（1）a=1，b=-4，c=-7。
Δ = ，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：。
所以 ，。
（2）a=2，b=-2√2，c=1。
Δ = ，方程有两个相等的实数根。
x =x = 。
（3）方程化为 5x -4x-1=0，a=5，b=-4，c=-1。
Δ = ，方程有两个不相等的实数根。
x = ，所以 x =1，x =-1/5。
（4）方程化为 x -8x+17=0，a=1，b=-8，c=17。
Δ = ，方程无实数根。
【公式法步骤归纳】
① 化为一般形式 ax +bx+c=0，确定 a、b、c 的值（注意符号）；
② 计算判别式 Δ=b -4ac；
③ 若 Δ≥0，代入求根公式求解；若 Δ<0，方程无实数根。
探究三：因式分解法
【问题】把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，物体经过 x s 后的离地高度约为 10x-5x 。物体经过多少秒落回地面？
设物体经过 x s 落回地面，此时高度为0，即 。
将左边分解因式，得 。
根据"若 ab=0，则 a=0 或 b=0"，得 x=0 或 10-5x=0。
所以方程的两个根是 x =0，x =2。
（x =0 表示抛出时刻，x =2 表示落回地面时刻）
【定义】先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
【例3】用因式分解法解下列方程：
（1）； （2）。
解：（1）左边分解因式，得 (x-2)(x+1)=0。
于是 x-2=0 或 x+1=0，所以 x =2，x =-1。
（2）移项、合并同类项，得 4x -1=0。
左边分解因式（平方差），得 (2x+1)(2x-1)=0。
于是 2x+1=0 或 2x-1=0，所以 x =-1/2，x =1/2。
【因式分解法步骤归纳】
① 移项：将方程右边化为0；
② 分解：将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③ 降次：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④ 求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的根。
探究四：三种解法的比较与选择
【思考】配方法、公式法、因式分解法各有什么特点？如何选择？
配方法：适用于所有一元二次方程，是推导求根公式的基础，但步骤较多；
公式法：适用于所有一元二次方程，直接代入公式，是最通用的方法；
因式分解法：仅适用于左边易于分解因式的方程（如缺常数项、平方差、完全平方等），步骤简便快捷。
解一元二次方程的基本思路：先将二次方程降次为两个一次方程，再分别求解。优先选择简便方法（因式分解法），不具备分解条件时用公式法。
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】必做题：
1. 用直接开平方法解下列方程：
（1）； （2）。
2. 用配方法解下列方程：
（1）； （2）。
3. 用公式法解下列方程：
（1）； （2）。
4. 用因式分解法解下列方程：
（1）； （2）。
【知识技能类作业】选做题：
1. 关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围。
2. 选择适当的方法解下列方程：
（1）； （2）。
3. 已知关于 x 的方程 有两个相等的实数根，求 m 的值及方程的根。
【综合拓展类作业】
1. 如图，把小圆形场地的半径增加5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9:4。求小圆形场地的半径。
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1. 降次思想：解一元二次方程的核心是"降次"——将二次方程转化为一次方程。三种方法（配方法、公式法、因式分解法）都是降次的具体途径。
2. 配方法：步骤为移项→化1→配方（加一次项系数一半的平方）→开方。关键是正确配方，即 配成 。
3. 公式法：求根公式为 ；判别式 ，Δ>0 两不等实根，Δ=0 两相等实根，Δ<0 无实根。
4. 因式分解法：依据"若 ab=0，则 a=0 或 b=0"，将方程左边分解为两个一次因式乘积，右边为0，再分别令因式为0。适用于易于分解的方程。
5. 方法选择：优先因式分解法（简便），其次公式法（通用），配方法多用于推导和特定需求。
五、【作业布置】
【知识技能类作业】必做题：
1. 用配方法解下列方程：
（1）； （2）； （3）。
2. 用公式法解下列方程：
（1）； （2）； （3）。
3. 用因式分解法解下列方程：
（1）； （2）； （3）。
4. 不解方程，判别方程 的根的情况。
【知识技能类作业】选做题
1. 关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。
2. 已知 x=1 是方程 的一个根，求 b 的值及方程的另一个根。
3. 选择适当方法解方程：(x-2) =(2x+3) 。
【综合拓展类作业】
1. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10 kg。设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若月销售利润为8000元，销售单价应定为多少元？（列出方程并求解）
答案
自学自测：
1. x =3，x =-3
2. x =3，x =-1
3. 9；3
4. ；
【课堂练习】
【知识技能类作业】必做题
1.（1）x =3，x =-3；（2）x =-3，x =-9
2.（1）；（2），（即 x=-1±√21/3）
3.（1）x =2，x =-3；（2）Δ=-12<0，无实数根
4.（1）x =0，x =-1；（2）x =9/2，x =-9/2
【知识技能类作业】选做题
1. m>1/4 且 m≠1
2.（1）x =1/2，x =-3；（2）x =1，x =3
3. m=1，方程为 ，x =x =1
【综合拓展类作业】
1. 设小圆半径为r m，π(r+5) : πr = 9:4，即 (r+5) /r = 9/4，解得 r=10（r=-2舍去）。小圆半径为10 m。
【作业布置】
【知识技能类作业】必做题
1.（1），；（2）；（3）x =x =-1
2.（1）；（2）x =0，x =3/2；（3）
3.（1）x =0，x =2√3；（2）x =x =1；（3）x =-1/2，x =2/3
4. Δ=9+32=41>0，有两个不相等的实数根
【知识技能类作业】选做题
1. k<2 且 k≠0
2. b=1，另一个根为 x=-2
3. x =-1/3，x =-5
【综合拓展类作业】
1.（1）y=(x-40)[500-10(x-50)] = -10x +1400x-40000
（2）令 y=8000，得 ，即 ，解得 x =60，x =80。销售单价应定为60元或80元。

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