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参考答案
一、A 基础过关 · 逐题精讲
A1．
【解答】答案 ，，.先把方程写成一般形式 ，再逐项读出系数并带符号：，，.
A2．
【解答】答案 .先把方程与一般形式对照，这里 ，，.注意 要连同负号一起代入，于是判别式 ，所以判别式的值是 .
A3．
【解答】答案 .先确认三个系数，这里 ，，.因为常数项是负数， 这一项算出来反而是正的，代入得 ，所以判别式的值是 .
A4．
【解答】答案 一般形式为 ，，，.移项得 ，此时 ，，（注意右边的项移过来要变号）.
A5．
【解答】答案 有两个相等的实数根.，因为 ，所以方程有两个相等的实数根.
A6．
【解答】答案 ，.先确定各系数：，，，算得 ，说明方程有两个不相等的实数根.再代入求根公式得 ，所以 ，.
A7．
【解答】答案 ，.先确定各系数：，，，算得 .注意分母是 而不是 ，代入求根公式得 ，两个根分别约分得 ，.
A8．
【解答】答案 ，.先确定各系数：，，，算得 .代入公式后要先把根号化到最简，，于是 ，约分时分子的两项都要除以 ，最后得 .
二、B 能力提升 · 逐题精讲
B1．
【解答】答案 .由有两个不相等的实根得 ，即 ，解得 .
B2．
【解答】答案 .把“无实数根”翻译成判别式的语言就是 .这里 ，，，代入得 ，即 .移项后两边同除以 ，解得 .
B3．
【解答】答案 .有两个相等实根即 ，即 ，解得 .
三、C 拓展挑战 · 逐题精讲
C1．
【解答】答案 .因为 是方程的根，所以 ，即 .整体代入得原式 .
C2．
【解答】答案 .因为 满足 ，移项得 ，所以所求值为 .
四、能力提升·拓展 逐题精讲
D1．
【解答】答案 且 .既是二次方程又有两不等实根，需 且 .由 得 ，再结合 ，故 且 .
D2．
【解答】答案 ，.先确定各系数：，，，算得 .注意分母是 ，代入求根公式得 ，再把根号化简为 ，最后约分得 .
五、真题演练·中考链接 逐题精讲
E1．
【解答】答案 .有两个不相等实根即 ，解得 .
E2．
【解答】答案 .当≠0，对应的条件是 ，解得 且；
当=0方程为3x+1＝0，显然有解.综上，k的取值范围是 .
E3．
【解答】答案 .有两个相等实根即 ，解得 .2.2.3《公式法》暑期预习学案
苏科版 九年级数学 上册 · 第 2 章第 2 节（第 3 课时）
2026–2027 学年 · 1 课时
班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________
一、学习目标
（核心素养指向：运算能力、推理能力、抽象能力）本课结束后，你应该能够：
1. 能通过对一般式 配方，推导出求根公式，并说出公式成立的前提是 .
2. 能正确写出带符号的 、、，先算判别式 再代入公式求根，书写规范、结果化到最简.
3. 能由 的符号判断根的情况（两个不等 / 两个相等 / 无实数根），并反过来由根的情况求出字母的取值范围.
二、学习重难点
重点：求根公式的规范使用：先化一般形式，再定 、、，先算 ，最后代公式.
难点：符号处理（、 为负时的判别式计算）；由根的情况反求参数时不漏“二次项系数不为 ”.
三、学法指导·知识回顾
1. 学习路径：回顾配方法 → 对一般式 配方 → 得到求根公式 → 认识判别式 → 用 判断根的情况 → 由根的情况反求参数.
2. 本课数学思想方法主线：一是“从特殊到一般”——把每道题都要配一遍方的过程，一次性配成公式；二是“分类讨论”——按 的符号分三种情况讨论根的个数.
3. 已学铺垫（先自己答一答）：（1）用配方法解 ；（2）方程 的 、、 分别是多少（记得带符号）？
四、知识清单·划重点
1. 求根公式：当 时，方程 的根为 ______.
2. 根的判别式：把 ______ 叫做一元二次方程根的判别式.
3. 根的情况分类： 时方程有 ______ 个不相等的实数根； 时有 ______ 个相等的实数根； 时方程 ______ 实数根.
4. 用公式法的四步：① 把方程化为 ______ 形式；② 写出 、、（______ 必须跟着一起写）；③ 先计算 ______；④ 若它非负，再代入公式求根并化简.
五、情境导入
生活情境：一座石拱桥正在修缮，工程队要在桥洞下搭一个矩形脚手架，已知它的宽比高多 3 m，占地面积为 5 .
设脚手架的高为 m，则宽为 m，由面积得 ，整理成一般形式为 .
（示意图：石拱桥桥洞）
想一想：这个方程能因式分解吗？试着找两个数，积是 、和是 ——很难凑出整数，因式分解法在这里失灵了.
用配方法当然解得出来，但每道题都重配一遍太费事.能不能对一般式 配一次方，得到一个“万能公式”，以后直接把数字代进去？这正是本课要做的事.
六、典例精析与变式
例 1（基础 · 直接用公式法）：用公式法解方程 .
【分析】先写出带符号的 、、，再算判别式，确认非负后才代入求根公式.
【解答】，，.，所以 ，即 ，.
变式 1：用公式法解方程 .
【解答】，，，，所以 ，即 ，.
例 2（变式 · 先化一般形式）：用公式法解方程 .
【分析】右边含未知数，必须先移项化成一般形式，否则读出来的 、 全是错的.
【解答】移项得 .，，，，所以 ，即 ，.
例 3（综合 · 判别式与参数）：已知关于 的方程 .
(1) 取什么值时，方程有两个不相等的实数根？(2) 当 时，解这个方程.
【分析】(1) 把“有两个不相等的实数根”翻译成 ，得到关于 的不等式；(2) 代入后判别式为 ，两根相等.
【解答】(1) .由 得 ，解得 .(2) 当 时方程为 ，此时 ，方程有两个相等的实数根 .
★ 易错预警：① 不化一般形式就读 、、.② 丢掉负号—— 时 而不是 .③ 还硬开根号.④ 由根的情况求参数时，忘了“是一元二次方程”隐含 .
七、夯实基础·当堂测
★A 基础过关
A1． 写出方程 的二次项系数 、一次项系数 、常数项 （带符号）.
A2． 计算方程 的判别式 的值.
A3． 计算方程 的判别式 .
A4． 把方程 化为一般形式，并写出 、、.
A5． 不解方程，判断 根的情况.
A6． 用公式法解方程 .
A7． 用公式法解方程 .
A8． 用公式法解方程 .
★★B 能力提升
B1． 关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
B2． 关于 的方程 无实数根，求 的取值范围.
B3． 关于 的方程 有两个相等的实数根，求 的值.
★★★C 拓展挑战
C1． 设 是方程 的一个根，不求 ，求 的值.
C2． 已知 是方程 的一个根，求 的值.
八、能力提升·拓展
D1． 关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
D2． 用公式法解方程 .
九、易错专攻
错点 1：不化一般形式就读系数.
辨析：解 时，不能直接说 、.必须先移项得 ，才有 ，，.右边只要还有未知数或常数，系数就没法读.（对应 A6、D1）
错点 2：系数符号丢失，判别式算错.
辨析： 时 ，不是 ； 时 ，两个负号相乘要变正.这是判别式最高频的算错点.（对应 A2、A4）
错点 3：求参数范围时漏掉二次项系数不为 0.
辨析：若“关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根”，既要 ，又要 .只写 会把 错误地算进答案.（对应 B1、D2、E1）
十、真题演练·中考链接
本组练什么：本组练中考对本节的常规考法：判别式与根的情况互相推断.这类题几乎年年考，且常与“是一元二次方程”的隐含条件合并设陷阱.
E1． （2024 广州）关于x的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
E2． （2021 菏泽）关于x的方程 有实数根，求 的取值范围.
E3． （2025 镇江）关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，求 的值.
十一、学后反思
请对照下列三问，在横线上写下你的思考（只给框架，不代写结论）：
· 知识：我能默写求根公式，并写出判别式 ______，还能说出它的三种情况分别对应什么.
· 方法·思想：本课用到了“从特殊到一般”和“____ 讨论”思想，我在 ______ 处体会到了它.
· 努力方向：我最容易错的地方是 ____________，下次我会 ____________.
□ 我能说清求根公式是怎么由配方法推出来的
□ 我能先算 再代公式，规范解出两根并化到最简
□ 我能由根的情况反求参数范围，并记得
自评：本次当堂测我做对 ______ / 18 题，错题号：____________.

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