资源简介

⒈
专题4 圆辅助线4——切线相关辅助线
切线相关辅助线 核心解析
圆辅助线思路围绕四大核心定理展开：一是圆心角定理，遇弦、弧时常连半径、作弦心距，构建相等
线段与圆心角，实现“两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距”四组量的知一推
三；二是垂径定理，见到弦就过圆心作垂线，实现平分弦、平分弧的转化,，同时能构建直角三角形，采
用勾股定理；三是圆周角定理及其推论，借助同弧转移等角，以此搭建角度、边长的等量关系解题；四是
切线的性质与判定，已知切点，连接圆心，可得半径垂直于切线.
模块1 切线相关辅助线
辅助线 1：切点连圆心
如图 1，已知直线为圆的切线，连接圆心与切点，得到半径垂直切线，构造直角三角形；可结合勾股
定理计算线段，搭配圆周角、弦切角定理转换角度。图 2、3、4 为切线长定理基本图形，由圆外一点向
圆引出两条切线，连接该点与圆心，可利用切线长相等、连线平分切线夹角、连线垂直平分切点连线的性
质解题。
图 1 图 2 图 3 图 4
模块2 例题解析
典型例题1 如图 5，在 Rt△AOB中，OA=OB= 3 2，⊙O的半径为 1，点 P是AB边上的动点，
过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ的最小值为　 　．
图 5 图 6
⒉
专题4 圆辅助线4——切线相关辅助线
【辅助线思路】
看到切线PQ，连接圆心O与切点Q，得到OQ⊥PQ，构造Rt△OPQ，利用勾股定理建立线段关系，
再结合垂线段最短求最值。
【解析】
如图 6，连接OQ、OP
∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∠OQP= 90°，
在Rt△OPQ中，由勾股定理：PQ= OP2 OQ2 ,
已知⊙O半径OQ= 1为定值，因此当OP长度最小时，PQ取得最小值，
在Rt△AOB中，OA=OB= 3 2 ，∠AOB= 90 ，AB= OA2+OB2 = (3 2)2+(3 2)2= 6
根据“垂线段最短”，当OP⊥AB时，OP最短。利用三角形面积法：
S 1 1△AOB = 2 OA OB= 2 AB OP
OP OA OBmin = = 3 2×3 26 = 3AB
将OP = 3，OQ= 1代入：PQ = 32 2min min -1 = 2 2
典型例题2 如图 7，AB为半圆O的直径，点 F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切
于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC=DE。
(1) 求证：OD⊥AB；
(2) 若半圆O的半径为 8，且OA= 2OE，求DF的长。
图 7 图 8
【辅助线思路】
连接圆心O与切点 C，得OC⊥PC，利用直角结合等角关系完成证明与计算。
【解析】
(1) 如图 8，连接OC，则OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵DC=DE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴∠OEA=∠DEC=∠DCE
⒊
专题4 圆辅助线4——切线相关辅助线
∵PC与⊙O相切于点C，与OF的延长线相交于点D，
∴PC⊥OC，
∴∠BOD=∠OEA+∠OAC=∠DCE+∠OCA=∠OCD= 90 ，
∴OD⊥AB。
(2) 解：∵⊙O的半径为 8，
∴OA=OF=OC= 8。
∵OA= 2OE= 8，∴OE= 4，
∴FE=OF OE= 8 4= 4，∴DC=DE=DF+ 4。
∵OC2+DC2=OD2，且OD=DF+ 8，
∴ 82+ (DF+ 4)2= (DF+ 8)2，
解得DF= 2，∴DF的长是 2。
典型例题3 如图 9，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B= 60°，∠C= 70°，
则∠EDF的度数为 .
图 9 图 10
【辅助线思路】
见切线，连切点和圆心，连接OE，OF．由切线的性质知：∠OFA= 90°，∠OEA= 90°，
【解析】
如图 10，连接OE，OF．
∵∠B= 60°，∠C= 70°，
∴∠A= 180° -∠B-∠C= 180° 60° 70° = 50°．
∵AB是圆O的切线，
∴∠OFA= 90°．同理∠OEA= 90°．
∴∠A+∠EOF= 180°．
∴∠EOF= 130°，

∵EF =EF, ∴∠EDF= 12 ∠EOF= 65°．
⒋
专题4 圆辅助线4——切线相关辅助线
典型例题4 如图 11，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC= 3，BC= 4，⊙O是△ABC的内切圆，点D
是斜边AB的中点，则OD的长度是　 　．
图 11
【辅助线思路】
设圆O与△ABC三边相切的切点为 E、F、Q，得到OE⊥AC，OF⊥BC，OQ AB，进一步推
出四边形CFOE是正方形，得到CE=CF=OF=OE.
【解析】
如图 12，连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是 r，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 5，
∵⊙O是三角形ABC的内切圆，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE=OF，AE=AQ，BF=BQ，
∵∠C= 90°，
∴∠C=∠CFO=∠CEO= 90°，
∴四边形CFOE是正方形，
∴CE=CF=OF=OE，
∴ 3- r+ 4- r= 5，
∴ r= 1，AQ=AE= 3- 1= 2，OQ= 1，
∵D是AB的中点，∴AD= 52 ， 图 12
∴DQ=AD-AQ= 12 ，
∴OD2=OQ2+DQ2，∴OD= OQ2+DQ2= 5 52 ，故答案为： 2 ．
⒌
专题4 圆辅助线4——切线相关辅助线
切线相关辅助线 专题训练
辅助线 1：切点连圆心
1 如图，CD切⊙O于B，若∠C= 30°，则∠ABD的度数是 ．
2 如图，P是⊙O的直径CD的延长线上一点，∠P= 30°，则当∠ACP= 时，直线PA是⊙O
的切线．
3 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点 B，角尺的直角顶点为 C，已知
AC= 6cm,CB= 8cm，则⊙O的半径为_____cm．
⒍
专题4 圆辅助线4——切线相关辅助线
4 如图，半圆⊙O的圆心在BC上，AC、AB分别与⊙O相切于点C、D，半圆⊙O交BC于另一点
E．连接DE、AO，求证：DE∥AO．
5 如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，C为⊙O上一点，∠ACB= 126°，则∠P的度数为__
______．
6 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D， E， F，已知∠A= 40°，连接OB，OC，DE，
EF，则∠BOC=　 　 °，∠DEF=　 　 °．
⒎
专题4 圆辅助线4——切线相关辅助线

7 如图，⊙O与矩形ABCD的边相切于点E，F，G，点P是EFG上一点，则∠P的度数是 .
8 如图，已知⊙O内切于Rt△ABC,∠C= 90°,BC边上切点为点D，作⊙O的直径DE，连结AE并延
长AE交BC于点F，若∠AFC= 45°,FD= 2，则AB的长为________．
9 如图，AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，AB= 2，CD= 4，AC= 10．若∠A+∠C= 90°，
则⊙O的半径是　　．
⒏
专题4 圆辅助线4——切线相关辅助线
10 如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，AE分别相切于点M，N，且经过点C，D．若⊙O的
半径为 2，则MN的长是 　　 ． (结果保留 π)
11 如图，Rt△ABC中，斜边BC= 10，AC= 6，内切圆 I切各边为D，E，F，连结EF，作DG⊥
EF交AB于G，则GD长为 .
12 已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C= 90°．若AC= 12cm，BC= 9cm，求⊙O的半径
r；若AC= b，BC= a，AB= c，求⊙O的半径 r．

⒐
专题4 圆辅助线4——切线相关辅助线
13 如图，在△ABC中，AB= 10，AC= 8，BC= 6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分
别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是 .
14 如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC= 3，BC= 4，⊙O是△ABC的内切圆，点D是斜边AB
的中点，则OD的长度是　　．
15 如图，已知在矩形ABCD中，AB= 12，BC= 16，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切
圆，点E、F为切点，则EF的长是　　 cm．
⒑
专题4 圆辅助线4——切线相关辅助线
16 如图，正方形ABCD边长为 4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作
半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积 cm2
17 铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为 16cm的正方形纸片上剪出一个扇
形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，
发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二． (两个方案的图中，
圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切)请你帮助他算一算．
(1)请说明方案一不可行的理由；
(2)判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长 l及其底面圆半径 r；若不可行，请说明理由．
⒒专题 4 切线相关辅助线专题训练答案解析
专题 4 切线相关辅助线专题训练答案
辅助线 1：切点连圆心
1 如图，CD切⊙O于B，若∠C= 30°，则∠ABD的度数是 ．
【详解】如图，连接OB，
∵CD与⊙O相切于B，
∴∠OBC= 90°；
在Rt△COB中，∠C= 30°，
∴∠COB= 90° -∠C= 60°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB= 12 ∠COB= 30°，
∴∠ABD= 90° -∠OBA= 60°，
故答案为：60°．
2 如图，P是⊙O的直径CD的延长线上一点，∠P= 30°，则当∠ACP= 时，直线PA是⊙O的切
线．
【详解】解：当∠ACP= 30°时，直线PA是⊙O的切线．
证明：如图，连接OA．
∵∠P= 30°，∠ACP= 30°，
∴∠PAC= 120°．
∵OA=OC，
∴∠ACP=∠OAC= 30°，
·1·
专题 4 切线相关辅助线专题训练答案解析
∴∠OAP=∠PAC-∠OAC= 90°，即OA⊥PA，
∴直线PA是⊙O的切线．
故选：B．
3 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知AC=
6cm,CB= 8cm，则⊙O的半径为_____cm．
【解析】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥CB，
∴∠CBD=∠BDA=∠ACB= 90°，
∴四边形ACBD为矩形，
∴AD=CB= 8，BD=AC= 6，
设圆的半径为 rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：OA2=OD2+AD2，
即 r2= (r- 6)2+ 82，
r= 25解得： 3 ，
⊙O 25即 的半径为 3 cm．
25
故答案为：3 ．
4 如图，半圆⊙O的圆心在BC上，AC、AB分别与⊙O相切于点C、D，半圆⊙O交BC于另一点 E．
连接DE、AO，求证：DE∥AO．
【详解】连接OD，
·2·
专题 4 切线相关辅助线专题训练答案解析
∵AC、AB分别为⊙O的切线，
∴AC=AD，∠OCA=∠ODA= 90°，
在Rt△OAC和Rt△OAD中，
OA=OA
AC= ，AD
∴Rt△OAC≌Rt△OAD HL ，
∴∠AOC=∠AOD，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵∠COD=∠ODE+∠OED，
∴∠AOC=∠OED，
∴DE∥AO
5 如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，C为⊙O上一点，∠ACB= 126°，则∠P的度数为______
__．
【答案】72°
【解析】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠ACB+∠ADB= 180°，
∴∠ADB= 180° -126° = 54°，
∴∠AOB= 2∠ADB= 108°，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP= 90°，
·3·
专题 4 切线相关辅助线专题训练答案解析
∴∠P= 180° -∠AOB= 180° -108° = 72°．
故答案为：72°．
6 如图，⊙ O是 △ABC的内切圆，切点分别为 D，E，F，已知 ∠A= 40°，连接 OB，OC，DE，EF，则
∠BOC=　 110　 °，∠DEF=　 70　 °．
【解答】解：如图，连接OD和OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A= 40°，
∴OB，OC平分∠ABC，∠ACB，
∴∠BOC= 180° -∠OBC-∠OCB
= 180° - 12 (∠ABC+∠ACB)
= 180° - 12 × 140°
= 110°，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，
∴∠ADO=∠AFO= 90°，
∴∠DOF= 360° -90° -90° -40° = 140°，
∴∠DEF= 12 ∠DOF= 70°．
故答案为：110，70．

7 如图，⊙O与矩形ABCD的边相切于点E，F，G，点P是EFG上一点，则∠P的度数是 .
【详解】解：如图，连接OE，OG．
∵⊙O与矩形ABCD的边相切于点E，F，G，
∴OE⊥AB，OG⊥AD，∠A= 90°,
∴∠A=∠AEO=∠AGO= 90°，
·4·
专题 4 切线相关辅助线专题训练答案解析
∴四边形AEOG是矩形，
∴∠EOG= 90°,
∴∠P = 12 ∠EOG= 45°，
8 如图，已知⊙O内切于Rt△ABC,∠C= 90°,BC边上切点为点D，作⊙O的直径DE，连结AE并延长
AE交BC于点F，若∠AFC= 45°,FD= 2，则AB的长为________．
【答案】5
【解析】解：设AC与⊙O的切点为点G，AB与⊙O的切点为H，连接OG，OH，如图，
则OG⊥AC
∴∠OGC= 90°
∵BC是⊙O的切线，DE是直径，D为切点
∴ED⊥BC，即∠EDB= 90°
又∵∠C= 90°
∴ED AC
∴OD=OG=DC=CG= 12 ED
∵∠AFD= 45°
∴∠FED=∠FAC= 45°
∴FD=ED= 2，AC=FC，OD=OG=DC=CG= 12ED= 1
∵FC=FD+DC= 2+ 1= 3
∴AC= 3
∴AH=AG=AC-CG= 3- 1= 2
设BF= x，则BH=BD= 2+ x，
·5·
专题 4 切线相关辅助线专题训练答案解析
∴BC=BD+CD= 3+ x，AB=AH+BH= 4+ x
在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2
∴ (4+ x)2= (3+ x)2+ 32
解得，x= 1
∴AB= 4+ 1= 5
故答案为 5．
9 如图，AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，AB= 2，CD= 4，AC= 10．若∠A+∠C= 90°，则⊙O
的半径是　 4　．
【分析】连接OB，OD，根据切线的性质得到∠OBE=∠ODE= 90°，延长AB，CD交于E，求得∠AEC= 90°，
根据正方形的性质得到BE=DE=OB，设⊙O的半径是 r，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OD，
∵AB、CD是⊙O的切线，B、D为切点，
∴∠OBE=∠ODE= 90°，
延长AB，CD交于E，
∵∠A+∠C= 90°，
∴∠AEC= 90°，
∴∠AEC=∠OBE=∠ODE= 90°，
∴四边形ODEB是矩形，
∵OB=OD，
∴四边形ODEB是正方形，
∴BE=DE=OB，
设⊙O的半径是 r，
∴AE= r+ 2，CE= r+ 4，
∵AE 2+CE 2=AC2，
∴ (r+ 2)2+ (r+ 4)2= 102，
解得：r= 4(负值舍去)，
∴⊙O的半径是 4，
故答案为：4．
·6·
专题 4 切线相关辅助线专题训练答案解析
10 如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，AE分别相切于点M，N，且经过点C，D．若⊙O的半径
4
为 2，则MN的长是 　 5 π　 ． (结果保留 π)
【解答】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，∠A= (5- 2) × 180÷ 5= 108°，
∴∠AMO=∠ANO= 90°，
∴∠MON= 180° -∠A= 72°，
∵⊙O的半径为 2，
∴ MN 72π×2 4劣弧 的长度为： 180 = 5 π．
11 如图，Rt△ABC中，斜边BC= 10，AC= 6，内切圆 I切各边为D，E，F，连结EF，作DG⊥EF交AB
于G，则GD长为 .
【详解】连结 ID、IE、IF、IB，
·7·
专题 4 切线相关辅助线专题训练答案解析
∵⊙ I与AC、AB、BC分别相切于点D，E，F，
∴CD=CF，AE=AD，BE=BF，AC⊥ ID，AB⊥ IE，
∴∠ADI=∠AEI=∠BEI= 90°，BE+CD=BF+CF=BC，
∵∠A= 90°，BC= 10，AC= 6，
∴AB= BC2-AC2= 102-62= 8，
∵∠ADI=∠AEI=∠A= 90°，ID= IE，
∴四边形ADIE是正方形，
∵AE+AD=AB+AC- (BE+CD) =AB+AC-BC= 8+ 6- 10= 4，
∴ IE=AE=AD= 2，
∴BE= 8- 2= 6，
∴ IB= BE 2+IE 2= 62+22= 2 10，
∵BE=BF，IE= IF，
∴点B、I都在EF的垂直平分线上，
∴ IB垂直平分EF，
∵ IB⊥EF，DG⊥EF，
∴ IB∥DG，
∵ ID∥BG，
∴四边形BIDG是平行四边形，
∴GD= IB= 2 10，
12 已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C= 90°．若AC= 12cm，BC= 9cm，求⊙O的半径 r；若
AC= b，BC= a，AB= c，求⊙O的半径 r．

【详解】解：在Rt△ABC，∠C= 90°，AC= 12cm，BC= 9cm，
根据勾股定理得：AB= AC2+BC2= 122+92= 15cm；
连接OD，OF，
·8·
专题 4 切线相关辅助线专题训练答案解析

∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴∠ODC=∠OFC= 90°，
在四边形OFCD中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C= 90°，
∴四边形OFCD是正方形；
∴OD=CD，
由切线长定理得：AD=AE，CD=CF，BE=BF，
则CD=CF= 12 AC+BC-AB ，
∴ r= 12 × 12+9-15 = 3，
若AC= b，BC= a，AB= c，
由以上可得：r= 12 a+b-c ．
13 如图，在△ABC中，AB= 10，AC= 8，BC= 6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交
于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是 .
【解答】解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．
∵AB= 10，AC= 8，BC= 6，
∴∠ACB= 90°，FC+FD=PQ，
∴FC+FD>CD，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，
PQ=CD有最小值，
∴CD=BC AC÷AB= 4.8．
14 如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC= 3，BC= 4，⊙O是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，
OD 5则 的长度是　 2 　．
·9·
专题 4 切线相关辅助线专题训练答案解析
【解答】解：如图连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是 r，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 5，
∵⊙O是三角形ABC的内切圆，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE=OF，AE=AQ，BF=BQ，
∵∠C= 90°，
∴∠C=∠CFO=∠CEO= 90°，
∴四边形CFOE是正方形，
∴CE=CF=OF=OE，
∴ 3- r+ 4- r= 5，
r= 1，AQ=AE= 3- 1= 2，OQ= 1，
∵D是AB的中点，
∴AD= 52 ，
∴DQ=AD-AQ= 12 ，
∴OD2=OQ2+DQ2，
∴OD= OQ2+DQ2= 52 ，
5
故答案为： 2 ．
15 如图，已知在矩形ABCD中，AB= 12，BC= 16，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，点
E、F为切点，则EF的长是　 4　 cm．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB= 12，BC= 16，
∴AC= 20，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．
·10·
专题 4 切线相关辅助线专题训练答案解析
如图，过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，
过O2作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，
∵∠B= 90°，
∴四边形O1NBP是正方形，
设圆的半径为 r，根据切线长定理 12- r+ 16- r= 20，解得 r= 4，
∴BP=BN= 4，同法可得DG= 4，
∴AN=AE=CG=CF= 8，
∴EF=AC-AE-CF= 20- 16= 4
故答案为：4．
16 如图，正方形ABCD边长为 4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆
的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积 cm2
【解答】解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB= 4cm，EF=EC，
设EF=EC= xcm，
则DE= (4- x)cm，AE= (4+ x)cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
(4- x)2+ 42= (4+ x)2，
∴ x= 1cm，
∴CE= 1cm，
∴DE= 4- 1= 3cm，
∴S△ADE=AD DE÷ 2= 3× 4÷ 2= 6cm2．
故选：D．
·11·
专题 4 切线相关辅助线专题训练答案解析
17 铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为 16cm的正方形纸片上剪出一个扇形
和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现
这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二． (两个方案的图中，圆与正方
形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切)请你帮助他算一算．
(1)请说明方案一不可行的理由；
(2)判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长 l及其底面圆半径 r；若不可行，请说明理由．
【解答】解：连接AC，E为两圆的切点，
(1)理由如下：
∵ π扇形的弧长= 16× 2 = 8π，圆锥底面周长= 2πr，
∴圆的半径O1E= 4cm．
过O1作O1F⊥CD，
∴△CO1F为等腰直角三角形，
∴O1C= 2O1F= 2O1E= 4 2cm，
∵AE=AB= 16cm，
而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为AE+EO1+O1C= 16+ 4+ 4 2= (20+ 4 2 )cm，
∵ 20+ 4 2> 16 2，
∴方案一不可行；
(2)方案二可行．理由如下：
设圆锥底面圆的半径为 rcm，圆锥的母线长为Rcm，
∵在一块边长为 16cm的正方形纸片上，
∴正方形对角线长为 16 2cm，
则 (1+ 2 )r+R= 16 2，①
2πr= 2πR4 ，②
R= 64 2 = 320 2-128 r= 16 2 = 80 2-32由①②，可得
5+ 2 23
， 23 ．5+ 2
320 2-128 cm 80 2-32故所求圆锥的母线长为 23 ，底面圆的半径为 23 cm．
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