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分课时学案
课题 2.3解直角三角形 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习 目标 1.理解“解直角三角形”的定义；掌握直角三角形中五元素之间的关系；能熟练运用勾股定理、两锐角互余及三角函数关系解直角三角形。 2.经历从复习旧知到归纳新知的全过程，体会数形结合思想和方程思想在几何计算中的应用。 3.通过解决具体的几何计算问题，培养严谨的逻辑推理习惯，增强对数学图形美的感知。
重点 掌握解直角三角形的依据（三组关系）及基本类型。
难点 灵活运用三角函数关系和方程思想求解未知元素（特别是已知三角函数值和一边求另一边或斜边的情况）。
教学过程
导入新课 【复习提问，温故孕新】 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。请写出三边之间的关系。 2.两个锐角∠A和∠B之间有什么关系？ 3.请写出∠A的正弦、余弦和正切的定义式。 【引入思考】 【说一说】如图2. 3-1，在中，，的对边分别记作a，b，c. （1）直角三角形的三边之间有什么关系？ （2）直角三角形的锐角之间有什么关系？ （3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
新知讲解 本节课来研究： 一、核心定义 解直角三角形：由直角三角形中已知的元素（边或角），求出其余未知元素的过程。 直角三角形中，除直角外共有 5个元素（3条边 和 2个锐角 ）。 二、解直角三角形的三大理论依据 在 中，， 的对边分别记作 。 关系类型公式三边关系（勾股定理）两锐角关系（互余）边角关系（三角函数），，
三、解直角三角形的条件 除直角外，已知 2个元素（其中 至少有1个是边），即可求出其余3个未知元素。 若只知道两个锐角（如 ），三角形形状确定但大小不确定，无法求出边长。 四、三种基本题型与解题策略 类型已知条件解题策略类型1一边 + 一锐角先用互余求另一角，再直接选用三角函数求边类型2任意两边先用勾股定理求第三边，再用三角函数求角类型3三角函数比值 + 一边设元法：设未知数 → 表示相关边 → 勾股定理列方程 → 求解
提炼概念（本节课主要内容提炼） 1.解直角三角形： 2. 关系类型公式三边关系（勾股定理）两锐角关系（互余）边角关系（三角函数）
典例精讲 例1：在中，，，，求，，。 解 . 因为 ， 所以 因为 所以 例2：如图2.3-3，在 中，，试求AB的长.先让学生分析已知条件和所求问题。 解 因为 所以 . 设 ，则 . 又 ， 所以 . 于是 ， 因此 所以AB的长为 变式1（延续例1，已知一边一角，换用已知边） 在 中，，，，求 、、。 变式2（紧跟例2，强化方程思想，换为 比值） 在 中，，，，求 和 的长。 变式3（补充新类型：已知两边，求角和第三边） 在 中，，，，求 、、。（ 用三角函数值表示即可）
课堂练习 尝试练习，巩固提高 第1题（特殊角巩固） 在 中，，，，求 和 。 第2题（例2方程思想变式，已知对边） 在 中，，，，求 的长。 B组（能力提升） 第3题（已知斜边和余弦值，求邻边） 在 中，，，，求 的长。 第4题（已知两边，反求角） 在 中，，，，求 和 。（ 用三角函数值表示即可）
课堂小结 回顾这节课你学到了什么？
课后作业 基础巩固（必做） 目标：熟练掌握勾股定理、两锐角互余及三角函数的直接应用，能解标准直角三角形。 1.在 中，，，，则 的值为（ ） A. B. C. D. 2.在 中，，，，则斜边 。 3.在 中，，，，求 、、。 能力提升 目标：灵活运用方程思想（设元法）处理已知比值条件，能识别并解决简单的实际测量问题。 4.在 中，，，，则 。 5.在 中，，，，求 和 的长。 6.某拦水坝的横断面是直角三角形，如图所示。已知斜坡 的坡角 ，斜坡 的长度为 米，求坡高 （竖直高度）和水平宽度 的长。 拓展探究 目标：综合运用代数与几何知识，构造直角三角形解决非标准图形问题及双直角三角形实际应用。 7.在 中，，两直角边 、 满足 ，斜边 ，则 的面积为 。 8.如图，在 中，，，，求 的长。 9.某数学兴趣小组为测量学校教学楼 的高度，先在楼前平地上的 点处，测得楼顶 的仰角为 ，再沿 方向后退 米到达 点，测得楼顶 的仰角为 。求教学楼 的高度（结果保留根号）。
【答案解析】
复习提问，温故孕新
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。请写出三边之间的关系。
答案：
2.两个锐角∠A和∠B之间有什么关系？
答案：
3.请写出∠A的正弦、余弦和正切的定义式。
答案：
创设情境，引入课题
如果我们现在只知道这个直角三角形中的两个元素（例如知道一条边和一个角），能不能求出其他的边和角？如果能，我们需要用到刚才复习的哪些知识？
【说一说】如图2. 3-1，在中，，的对边分别记作a，b，c.
（1）直角三角形的三边之间有什么关系？
（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？
（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
解答：
(1) 三边之间的关系：
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即：
(2) 锐角之间的关系：
在直角三角形中，两个锐角互余，即它们的和为 ：
(3) 边与锐角之间的关系：
锐角的三角函数值定义为：
正弦：
余弦：
正切：
同理，对于角 ：
师生互动，变式深化
变式1（延续例1，已知一边一角，换用已知边）
在 中，，，，求 、、。
解析与答案：
求角：。
求边 ： 的对边是 ，邻边是 。利用正切定义 。
求边 ：利用正弦定义 。
答案：，，。
变式2（紧跟例2，强化方程思想，换为 比值）
在 中，，，，求 和 的长。
解析与答案：
确定对应边：在 中， 是 的对边， 是 的邻边。
由 ，且 。
设元列方程：设 ，则 。
（或设 ，则 。）
求斜边：由勾股定理，。
答案：，。
变式3（补充新类型：已知两边，求角和第三边）
在 中，，，，求 、、。（ 用三角函数值表示即可）
解析与答案：
求第三边：利用勾股定理 。
求角：利用正弦定义。
所以（或写为 ）。
（也可用 表示）。
答案：，（），（）。
课堂练习
尝试练习，巩固提高
第1题（特殊角巩固）
在 中，，，，求 和 。
解析与答案：
，故 （等腰直角三角形）。
由勾股定理：。
答案：，。
第2题（例2方程思想变式，已知对边）
在 中，，，，求 的长。
解析与答案：
（对边比斜边）。
设 ，则 。
交叉相乘得：。
答案：。
B组（能力提升）
第3题（已知斜边和余弦值，求邻边）
在 中，，，，求 的长。
解析与答案：
（邻边比斜边）。
设 ，则 。
交叉相乘得：。
答案：。
第4题（已知两边，反求角）
在 中，，，，求 和 。（ 用三角函数值表示即可）
解析与答案：
求斜边：由勾股定理 。
求角：，所以 （或写为 ）。
答案：，（）。
作业设计
标准答案与详细解析
1. 答案：B
解析：在 中， 为直角， 为 的对边， 为斜边。
根据勾股定理， 的邻边 。
根据余弦定义，。
2. 答案：
解析：，其对边 。利用正弦定义 。
即 。
3. 答案：，，。
解析：
求角：。
求边：，等腰直角三角形，故对边 邻边 。
求斜边：由勾股定理 。
4. 答案：
解析：，即 。
方程思想：设 ，则 。
在 中，。
由题意 ，所以 。
故 。
5. 答案：，。
解析：，即 。
设元法：设 ，则 。
由勾股定理得：，即 。
化简：（负值舍去）。
所以 ，。
6. 答案：坡高 米，水平宽度 米。
解析：
在 中，，。
斜坡 是斜边。
求坡高 （ 的对边）：。
求水平宽度 （ 的邻边）：。
7. 答案：
解析：由勾股定理得 。
已知 ，两边平方得 ，即 。
代入 得：。
直角三角形面积 。
8. 答案：。
解析：
构造直角三角形：过点 作 于点 （垂足在 上）。
在 中，，。
。
在 中，，。
。
9. 答案：教学楼高度为 米（或 米）。
解析：
设教学楼高度 米。
在 中，，。
在 中，，。
已知后退了 米，即 ，且 。
代入得：。
分母有理化：。
（注意：若写成 也对。）
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