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分课时学案
课题 22.2.3比例线段 单元 22 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1. 理解黄金分割的概念 2. 探索并掌握黄金比，能够进行黄金分割的有关计算. 3. 感受黄金分割所蕴含的文化价值，发展学生应用意识和审美意识.
重点 黄金分割的概念
难点 探索并掌握黄金比，能够进行黄金分割的有关计算
教学过程
导入新课 复习提问，温故孕新 1.比例的基本性质 2.合比性质 3.等比性质
新知讲解 创设情境，引入课题 有五星红旗的地方，就有信念的灯塔。如果信念有颜色，那一定是中国红！ 让我们一起开启黄金分割的 探寻之旅！ 合作探究，活动领悟 通过观察，你觉得下面那副图最有美感？ 事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系. 一个五角星如下图所示. 思考探究：度量C到点A、B的距离,与相等吗？ 总结 一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC（如图）,如果, 那么称线段AB 被点C 黄金分割.点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比称为黄金比. 一条线段有两个黄金分割点 师生互动，变式深化 例、如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上一点，且使 AB:AP=AP:PB，求线段AB的长和 的值. 归纳总结： 概念再认识 把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.
巩固训练 尝试练习，巩固提高 1.点B把线段AC分成两部分,如果==k,那么k的值为 (　 ) A. 　 B. C.+1　 D.-1 2.已知P为线段AB的黄金分割点,且APPB). 如果BP的长度为4 cm，那么AP的长度为____________cm(结果保留根号)． 4.已知线段AB＝6，C 为AB 的黄金分割点，则AC－BC＝________ 　 5.如图，已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP). (1)求线段AP的长. (2)【等面积法】以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP.若QP平分∠AQB，求AQ的长.
作业布置 1.如图，C是线段AB的黄金分割点，则下列结论错误的是(　　) A.＝ B.AC2＝AB·BC C.＝ D.＝ 2.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( ) A.12.36 cm B.13.6 cm C.32.36 cm D.7.64 cm 3.向“勾股定理”生长：如图②，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形ABCD的边长为2 cm，笔画横钩“乛”与正方形对角线BD交于点E，点E为线段BD的黄金分割点，DEAC.若S1表示以BC为边长的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为_________． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D. (1) 求证：点D是线段AC的黄金分割点； (3)求线段AD的长．
答案：
复习提问，温故孕新
1.比例的基本性质
(1)如果，那么ad＝bc；
(2)如果ad＝bc，那么
2.合比性质
如果=,那么=(b,d≠0).
3.等比性质
如果==…=,且b1+b2+…+bn≠0,那么=.
师生互动，变式深化
例、如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上一点，且使 AB:AP=AP:PB，求线段AB的长和 的值.
解:设AP=x,那么PB=a-x.
根据题意,得a∶x=x∶(a-x),即x2+ax-a2=0.
解方程,得x=a.
因为线段长度不能是负值,所以取x=a,
即AP=a.
于是≈0.618.
课堂练习
尝试练习，巩固提高
1.点B把线段AC分成两部分,如果==k,那么k的值为 (　B )
A. 　 B. C.+1　 D.-1
2.已知P为线段AB的黄金分割点,且APA.AP2=AB·PB B.AB2=AP·PB
C.PB2=AP·AB D.AP2+PB2=AB2
3.向“实践应用”生长：大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美. 如图①，P为AB的黄金分割点(AP>PB). 如果BP的长度为4 cm，那么AP的长度为____(________cm(结果保留根号)．
4.已知线段AB＝6，C 为AB 的黄金分割点，则AC－BC＝___ .　
5.如图，已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP).
(1)求线段AP的长.
(2)【等面积法】以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ＝AP，连接QP.若QP平分∠AQB，求AQ的长.
解：（1）∵P是线段AB的黄金分割点，
AP＞BP，
∴AP＝×AB＝＝1.
解：（2）∵QP平分∠AQB，
∴点P到AQ，BQ的距离相等，
∴＝＝.
∵BQ＝AP＝－1，AB＝2，
∴PB＝AB－AP＝2－(－1)＝3－，
∴AQ＝AP·BQ/PB＝＝2.
作业设计
1.如图，C是线段AB的黄金分割点，则下列结论错误的是(　B　)
A.＝ B.AC2＝AB·BC
C.＝ D.＝
2.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( A )
A.12.36 cm B.13.6 cm C.32.36 cm D.7.64 cm
3.向“勾股定理”生长：如图②，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形ABCD的边长为2 cm，笔画横钩“乛”与正方形对角线BD交于点E，点E为线段BD的黄金分割点，DE4.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC >AC.若S1表示以BC为边长的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为___S1=S2______．
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.
(1) 求证：点D是线段AC的黄金分割点；
(3)求线段AD的长．
(1)证明：∵AB＝AC＝2
∴BD∶AC＝CD∶BC.
∵ ∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝ (180°－∠A)＝72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠C
＝180°－36°－72°＝72°，
∴BC＝BD.
又∵∠A＝36°，∠ABD＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴BD＝AD，
∴BC＝AD＝BD，
∴AD∶AC＝CD∶AD，
∴点D是线段AC的黄金分割点
(2)设AD=x，则CD=AC-AD=2-x
由(1)可知AD:AC=CD:AD
∴x∶2=(2-x)∶x
整理得x2+2x 4=0
解得x= 1(负值舍去)
∴AD= 1
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