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(共25张PPT)
第1章 二次函数
1.4二次函数与一元二次方程的关系
（浙教版）九年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
能正确计算二次函数对应的判别式△=b -4ac，依据△>0、=0、
<0三类取值，判定一元二次方程实数根的不同情况。
可以借助判别式，判断二次函数y一ax +bx+c(a+0)的图象与x轴交点
的数量，准确写出交点坐标的通用形式。
能利用“抛物线与x轴交点横坐标就是对应一元二次方程实数根”的
对应关系，完成基础判断题、简单求值类习题。
03
02
新知导入
思考：你如何看待等式2x-1=0 你能求出x的值吗
等式
2x-1=0
方程角度
一元一次方程2x-1=0的解
函数观点
一次函数y=2x-1，当y=0时对应的自变量x的值
数
2x=1
一次函数y=2x与常数函数y=1，当函数值相等时，对应的自变量x的值
直线y=2x与直线y=1交点的横坐标
直线y=2x-1与x轴交点的横坐标
形
02
新知导入
方程角度
一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解
直线y=ax+b (a≠0)与x轴交点的横坐标
形
函数观点
一次函数y=ax+b (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值
数
那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？
03
新知讲解
合作学习
观察二次函数y=x -4x+3,y=-x +2x-1,y=x -2x+的图象，
思考:二次函数y=ax +bx+c与一元二次方程ax +bx+c=0有什么关系？
03
新知讲解
合作学习
如图，二次函数y=x -4x+3的图象与 x 轴交于（1，0），（3，0）两点，即当 x＝1或 x＝3时，y＝0，也就是说，x＝1和 x＝3是一元二次方程x -4x+3＝0的两个根。
如图，二次函数y=-x +2x-1的图象与 x 轴交于（1，0），即当 x＝1时，y＝0，也就是说，x＝1是一元二次方程-x +2x-1＝0的根。
03
新知讲解
合作学习
如图，二次函数y=x -2x+的图象与 x 轴没有交点，
也就是说，一元二次方程x -2x+＝0没有根。
03
新知讲解
根据以上画出的三个图形，填写下表
二次函数解析式 判别式△=b2-4ac计算 抛物线与x轴交点情况
y=x -4x+3
y=-x +2x-1
y=x -2x+
△=(-4) -4×1×3=4＞0
△=2 -4×（-1）×（-1）=0
△=（-2） -4×1×=-2＜0
与 x 轴交于（1，0），（3，0）,共2个点
与 x 轴仅有1个交点
与 x 轴无交点
03
新知讲解
一元二次方程 判别式△=b2-4ac计算 一元二次方程根的情况
x -4x+3=0
-x +2x-1=0
x -2x+=0
△=(-4) -4×1×3=4＞0
△=2 -4×（-1）×（-1）=0
△=（-2） -4×1×=-2＜0
有2个不相等的实数根x1=1,x2=3
有两个相等的实数根
x1=x2=1
没有实数根
x -4x+3=0,-x +2x-1=0,x -2x+=0的根的情况
03
新知讲解
也可以利用信息技术工具来进一步感受二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系。
03
新知讲解
二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系
b -4ac的值 b -4ac>0 b -4ac=0 b -4ac<0
二次函数 y=ax +bx+c 的图象与x轴的交点情况 图象与x轴有两个交点(x ,0),(x ,0) 图象与x轴有一个交点 图象与x轴没有交点
一元二次方程 ax +bx+c=0 的根的情况 有两个不相等的实数根x ,x 有两个相等的实数根x =x 没有实数根
03
新知讲解
例1
利用二次函数的图象求方程x2＋x－1＝0的解（或近似解）。
解：设y＝x2+x-1，则方程x2+x-1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标。在直角坐标系中画出函数y＝x2+x-1的图象（如图），得到与 x 轴的交点为 A，B，则点 A，B 的横坐标 x1，x2就是方程的解。观察图，得到点 A 的横坐标 x1≈0.6，点 B 的横坐标 x2≈-1.6。所以方程 x2+x-1＝0的近似解为x1≈0.6，x2≈-1.6。
03
新知讲解
例2
一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 m/s，经过（t s）时球的高度为 h（m）。已知物体竖直上抛运动中，h＝v0t－12gt2（v0表示物体运动上抛开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10 m/s2）。问：球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度为3.75 m？
03
新知讲解
例2
分析：根据已知条件，我们容易写出h（m）关于（t s）的二次函数表达式 h＝10t－5t2，并画出函数的大致图象（如图）。从图象我们可以看到，图象与横轴的两个交点分别为（0，0），（2，0），它们的横坐标分别为0与2，就是球从地面弹起和回到地面的时刻，此时 h＝0，所以这两个时刻也就是一元二次方程 10t－5t2＝0 的两个根。这两个时
刻的差就是球从地面弹起至回到地面所需的时间。
同样，我们只要取 h＝3.75 m（图如），得一元二次方程
10t－5t2＝3.75，求出它的根，就得到球达到3.75 m高度
时所经过的时间。
03
新知讲解
例2
解：由题意，得h（m）关于（t s）的二次函数表达式为h＝10t－5t2。
取h＝0，得一元二次方程10t－5t2＝0，
解这个方程，得t1＝0，t2＝2。
所以球从地面弹起至回到地面所需的时间为t2－t1＝2（s）。
取h＝3.75，得一元二次方程10t－5t2＝3.75，
解这个方程，得t1＝0.5，t2＝1.5。
答：球从弹起至回到地面需2 s，经过0.5 s或1.5 s球的高度为3.75 m。
03
新知讲解
y=ax2+bx+c
一元二次方程
y取定值
且a≠0
二次函数与一元二次方程的关系：
已知二次函数中因变量的值，求自变量的值
求相应的一元二次方程的根
04
课堂练习
1. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点（－1，0），
（4，0），则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分
别是（　C　）
A. x1＝－1，x2＝0 B. x1＝4，x2＝0
C. x1＝－1，x2＝4 D. x1＝x1＝0
C
04
课堂练习
2. 抛物线y＝－3x2－x＋4与x轴的交点个数是（　B　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
B
3. 已知关于x的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，且抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（1，0），则下列说法正确的是（　A　）
A. 抛物线与x轴只有一个交点（1，0）
B. 抛物线与x轴有两个不同的交点
C. 抛物线与x轴没有交点
D. 抛物线的对称轴为x轴
A
04
课堂练习
4. 若抛物线y＝x2－mx＋4与x轴只有一个交点，则 m 的值为 　±4　.
5. 抛物线y＝x2＋2x－3与x轴的交点坐标是 　（1，0），（－3，0）　.
±4　
（1，0），（－3，
0）　
04
课堂练习
6. 已知二次函数y＝x2－（m－2）x＋m－3（m是常数）.
（1） 求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点；
解：（1） 对于y＝x2－（m－2）x＋m－3，因为[－（m－2）]2－4
（m－3）＝m2－4m＋4－4m＋12＝m2－8m＋16＝（m－4）2≥0，
所以无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点
（2） 若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长度为4，求m的值.
解：（2） 设抛物线与x轴的交点分别为（a，0），（b，0）.由题
意，得｜a－b｜＝4，a＋b＝m－2，ab＝m－3，所以（a－b）2＝
16.所以（a＋b）2－4ab＝16.所以（m－2）2－4（m－3）＝16，解
得m＝0或m＝8.所以m的值为0或8
05
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系
b -4ac的值 b -4ac>0 b -4ac=0 b -4ac<0
二次函数 y=ax +bx+c 的图象与x轴的交点情况 图象与x轴有两个交点(x ,0),(x ,0) 图象与x轴有一个交点 图象与x轴没有交点
一元二次方程 ax +bx+c=0 的根的情况 有两个不相等的实数根x ,x 有两个相等的实数根x =x 没有实数根
06
板书设计
1.4二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系：
Thanks!
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