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专题十二 阿氏圆
一：基础知识储备
一、阿氏圆
在前面的 " 胡不归 " 问题中，我们见识了 " kPA + PB " 最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当 P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的 " 阿氏圆 "问题．
已知平面上两点 A 、B ，则所有满足 k ( k ≠ 1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称 " 阿波罗尼斯圆 " 简称 " 阿氏圆 "．如图，其中 k
二、两个定理
1、角平分线定理：如图，在 △ ABC 中，AD 是 ∠BAC 的平分线，则
【证明】
过点 D 分别作AB、AC 的垂线分别交于点 E、F
又
2、外角平分线定理：如图，在 △ ABC 中，∠CAE 的平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D ，则
【证明】
在 BA 延长线上取点 E 使得 AE = AC ，连接 BD ,
则 △ ACD ≌ △ AED ( SAS ),
∴ CD = ED 且 AD 平分 ∠BDE ,
三、阿氏圆模型证明
阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB = k(k≠ 1)，则满足条件的所有的点 P 的轨迹构成的图形为圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”
【证明】
如图，k ，作 ∠ APB 的角平分线交 AB 于 M 点，根据角平分线定理，k ,
故 M 点为定点，即 ∠APB 的角平分线交 AB 于定点；
作 ∠APB 外角平分线交直线 AB 于 N 点，
根据外角平分线定理，k ,
故 N 点为定点，即 ∠APB 外角平分线交直线 AB 于定点；
∵ ∠MPN = 90° ,定边对定角，∴ P 点轨迹是以 MN 为直径的圆。
四、阿氏圆的一些性质
应用：根据 A、B 的位置及 k 的值可确定 M、N 及圆心 O 的位置；
（2）△OPA ∽ △OBP（母子相似），即可得：OP2 = OA OB
应用：根据圆心及半径和 A、B 中的其中一点，可求得 A、B 另外一点位置；
应用：已知半径及 A、B 中的其中一点，即可知道 PB 的值.
五、阿氏圆求加权线段和破解通法
引例一（缩小型内构）：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90° , CB = 4，CA = 6，⊙ O 的半径为 2，P 为圆上 一动点，求 AP + BP 的最小值.
解题步骤：
第一步：连圆心与动点 CP；
第二步：以半径 CP 为公共边，构造“母子”型相似 △CPM ∽ △CBP；（缩小型内构，扩大型外构）
第三步：线段替换，MP BP；
第四步：计算 CM 的长度，CP2 = CM CB，即 4 = CM × 4，∴ CM = 1；
引例二（扩大型外构）：如图，在扇形 COD 中，∠COD = 90° , OC = 6，OA = 3，OB = 5，点 P 为扇形上一动点，求 2AP + BP 的最小值。
解题步骤：
第一步：连圆心与动点 OP；
第二步：以半径 OP 为公共边，构造“母子”型相似 △OPA ∽ △OMP；（缩小型内构，扩大型外构）
第三步：线段替换，MP = 2AP；
第四步：计算 OM 的长度，OP2 = OA OM，即 36 = 3OM，∴ OM = 12；
第五步：2AP + BP = MP + BP ≥ MB = 144+25 = 13.
引例三（一条线段系数不为 1，需要转换—提系数）：如图，等边 ΔABC 的边长为 6，内切圆记为 ⊙ O，P 是圆上动点，求 2PB + PC 的最小值．
解题步骤：
第一步：提系数 2PB + PC = 2
第二步：连圆心与动点 OP；
第三步：以半径 OP 为公共边，构造“母子”型相似 △OPD ∽ △OCP；（缩小型内构，扩大型外构）
第四步：线段替换，PD PC；
第五步：计算 OD 的长度，OP2 = OD OC，即 ( OD OD
第六步：2PB + PC = 2(PB +PC) ≥ DB
引例四（两条线段系数不为 1，分两种情况，一种是需要两条线段分别构造母子型相似，做两次转化，另一种是直接提出一个系数）：如图，ΔABC 的中 AC = BC = 4，∠ACB = 90° , ⊙ C 的半径是 2，D 是 ⊙ C 上一动点，E 在 CB 上，CE = 1，连接 AD、DE，则 AD + 2DE 的最小值为 。
分析：AD、DE 两条线段的系数均不为 1，且已知线段有 2 倍关系和一半关系，因此可以将 2 AD 和 2DE 构造两次相似分别进行转化.
解题步骤：
第一步：连接圆心和动点 CD，连接 BD， 且 ∠DCE = ∠DCE，∴ △CDE ∽ △CBD，所以 即 BD = 2DE；
第二步：以半径 CD 为公共边，构造“母子”型相似 △CDM ∽ △CAD；（缩小型内构，扩大型外构）
第四步：线段替换，DM AD；
第五步：计算 CM 的长度，CD2 = CM CA，即 4 = CM × 4，∴ CM = 1；
分析：求带系数的两条线段差最大的问题，转化方法和前面所讲完全一样，只是最后求最值时有所不同，前面求和最小都是运用的“两点之间线段最短”的原理，求差最大，我们运用的是“三角形两边之差小于第三边”这一原理来解决.
解题步骤：
第一步：连圆心与动点 BP；
第二步：以半径 BP 为公共边，构造“母子”型相似 △BPE ∽ △BCP；（缩小型内构，扩大型外构）
第五步：=PD+PEDE=5,即当点P在线段DE上时的最小值是5；=PDDE=5,即当点P在线段DE的延长线上时的最大值是5.
方法提炼：阿氏圆解决加权线段最值问题的一半步骤
已知 ⊙ O 的半径为 r，点 A、B 都在 ⊙ O 外，P 为⊙ 0 上的动点，已知 r = k·OB． 连接 PA、PB，
(1）当“PA +k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
（2）当“PA - k·PB”的值最大时，P 点的位置如何确定？
解题步骤：
1. 提：根据具体题目看是否提系数，若不需要提系数次步省略；
2. 连: 接动点至圆心 0(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接)，则连接 OP、OB；
3. 构：以半径 OP 为公共边构造“母子”型相似，缩小型内构，扩大型外构；即构造 △POC ∽ △BOP，则 k,PC = kBP；
4. 算：利用步骤 3 中的相似平方关系 OP2 = OC . OB，计算圆心与构造点之间的距离即 OC 的长；
5. 连：连接 AC，（ 1）PA + kB = PA + PC ≥ AC，当点 P 在线段 AC 上时取最小值，连接 AC，与圆交点即为点 P；（2）PA - kB = PA - PC ≥ AC，当 点 P 在线段 AC 延长线上时取最大值，连接 AC 并延长 AC 与圆交点即为点 P;
6. 计算 AC 长度即可。
二：针对提高训练
练习1：如图，在RtΔABC 中，∠C = 90° , AC = 9，BC = 4，以点 C 为圆心，3 为半径做 ⊙ C，分别交 AC，BC于D，E 两点，点P 是 ⊙ C 上一个动点，则PA + PB 的最小值为 ．
答案：
练习2：如图，在平面直角坐标系中，点 A(4,0)，B(4,4)，点P 在半径为 2 的圆 O 上运动，则AP + BP 的最小值是 ．
答案：5
练习3：如图，半圆的半径为 1 ，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC = 1，BD = 2，P 为弧 AB 上一动点，则 PC + PD 的最小值为 ．
答案：
练习4：如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，⊙ B 的半径为 2，点P 是 ⊙ B 上的一个动点，则PD - PC 的最大值为 ．
答案：5
练习5：(1)如图，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD + PC 的最小值为 ，PD - PC 的最大值为
(2)如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B = 60° ,圆B 的半径为 2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD + PC 的最小值为 ，PD - PC 的最大值为
答案：（1）；
（2）；
练习6：如图，在 RtΔABC 中，∠ACB = 90° , CB = 4，CA = 6，圆 C 的半径为 2，点 P 为圆上一动点，连接AP，BP ．求① AP +BP；② 2AP + BP；③AP + BP；④ AP + 3BP 的最小值
答案：（1）
（2）
（3）
（4）专题十二 阿氏圆
一：基础知识储备
一、阿氏圆
在前面的 " 胡不归 " 问题中，我们见识了 " kPA + PB " 最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当 P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的 " 阿氏圆 "问题．
已知平面上两点 A 、B ，则所有满足 k ( k ≠ 1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称 " 阿波罗尼斯圆 " 简称 " 阿氏圆 "．如图，其中 k
二、两个定理
1、角平分线定理：如图，在 △ ABC 中，AD 是 ∠BAC 的平分线，则
【证明】
过点 D 分别作AB、AC 的垂线分别交于点 E、F
又
2、外角平分线定理：如图，在 △ ABC 中，∠CAE 的平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D ，则
【证明】
在 BA 延长线上取点 E 使得 AE = AC ，连接 BD ,
则 △ ACD ≌ △ AED ( SAS ),
∴ CD = ED 且 AD 平分 ∠BDE ,
三、阿氏圆模型证明
阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB = k(k≠ 1)，则满足条件的所有的点 P 的轨迹构成的图形为圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”
【证明】
如图，k ，作 ∠ APB 的角平分线交 AB 于 M 点，根据角平分线定理，k ,
故 M 点为定点，即 ∠APB 的角平分线交 AB 于定点；
作 ∠APB 外角平分线交直线 AB于 N 点，
根据外角平分线定理，k ,
故 N 点为定点，即 ∠APB 外角平分线交直线 AB 于定点；
∵ ∠MPN = 90° ,定边对定角，∴ P 点轨迹是以 MN 为直径的圆。
四、阿氏圆的一些性质
应用：根据 A、B 的位置及 k 的值可确定 M、N 及圆心 O 的位置；
（2）△OPA ∽ △OBP（母子相似），即可得：OP2 = OA OB
应用：根据圆心及半径和 A、B 中的其中一点，可求得 A、B 另外一点位置；
应用：已知半径及 A、B 中的其中一点，即可知道 PB 的值.
五、阿氏圆求加权线段和破解通法
引例一（缩小型内构）：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90° , CB = 4，CA = 6，⊙ O 的半径为 2，P 为圆上 一动点，求 AP + BP 的最小值.
解题步骤：
第一步：连圆心与动点 CP；
第二步：以半径 CP 为公共边，构造“母子”型相似 △CPM ∽ △CBP；（缩小型内构，扩大型外构）
第三步：线段替换，MP BP；
第四步：计算 CM 的长度，CP2 = CM CB，即 4 = CM × 4，∴ CM = 1；
引例二（扩大型外构）：如图，在扇形 COD 中，∠COD = 90° , OC = 6，OA = 3，OB = 5，点 P 为扇形上一动点，求 2AP + BP 的最小值。
解题步骤：
第一步：连圆心与动点 OP；
第二步：以半径 OP 为公共边，构造“母子”型相似 △OPA ∽ △OMP；（缩小型内构，扩大型外构）
第三步：线段替换，MP = 2AP；
第四步：计算 OM 的长度，OP2 = OA OM，即 36 = 3OM，∴ OM = 12；
第五步：2AP + BP = MP + BP ≥ MB = 144+25 = 13.
引例三（一条线段系数不为 1，需要转换—提系数）：如图，等边 ΔABC 的边长为 6，内切圆记为 ⊙ O，P 是圆上动点，求 2PB + PC 的最小值．
解题步骤：
第一步：提系数 2PB + PC = 2
第二步：连圆心与动点 OP；
第三步：以半径 OP 为公共边，构造“母子”型相似 △OPD ∽ △OCP；（缩小型内构，扩大型外构）
第四步：线段替换，PD PC；
第五步：计算 OD 的长度，OP2 = OD OC，即 ( OD OD
第六步：2PB + PC = 2(PB +PC) ≥ DB
引例四（两条线段系数不为 1，分两种情况，一种是需要两条线段分别构造母子型相似，做两次转化，另一种是直接提出一个系数）：如图，ΔABC 的中 AC = BC = 4，∠ACB = 90° , ⊙ C 的半径是 2，D 是 ⊙ C 上一动点，E 在 CB 上，CE = 1，连接 AD、DE，则 AD + 2DE 的最小值为 。
分析：AD、DE 两条线段的系数均不为 1，且已知线段有 2 倍关系和一半关系，因此可以将 2 AD 和 2DE 构造两次相似分别进行转化.
解题步骤：
第一步：连接圆心和动点 CD，连接 BD， 且 ∠DCE = ∠DCE，∴ △CDE ∽ △CBD，所以 即 BD = 2DE；
第二步：以半径 CD 为公共边，构造“母子”型相似 △CDM ∽ △CAD；（缩小型内构，扩大型外构）
第四步：线段替换，DM AD；
第五步：计算 CM 的长度，CD2 = CM CA，即 4 = CM × 4，∴ CM = 1；
分析：求带系数的两条线段差最大的问题，转化方法和前面所讲完全一样，只是最后求最值时有所不同，前面求和最小都是运用的“两点之间线段最短”的原理，求差最大，我们运用的是“三角形两边之差小于第三边”这一原理来解决.
解题步骤：
第一步：连圆心与动点 BP；
第二步：以半径 BP 为公共边，构造“母子”型相似 △BPE ∽ △BCP；（缩小型内构，扩大型外构）
第五步：=PD+PEDE=5,即当点P在线段DE上时的最小值是5；=PDDE=5,即当点P在线段DE的延长线上时的最大值是5.
方法提炼：阿氏圆解决加权线段最值问题的一半步骤
已知 ⊙ O 的半径为 r，点 A、B 都在 ⊙ O 外，P 为⊙ 0 上的动点，已知 r = k·OB． 连接 PA、PB，
(1）当“PA +k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
（2）当“PA - k·PB”的值最大时，P 点的位置如何确定？
解题步骤：
1. 提：根据具体题目看是否提系数，若不需要提系数次步省略；
2. 连: 接动点至圆心 0(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接)，则连接 OP、OB；
3. 构：以半径 OP 为公共边构造“母子”型相似，缩小型内构，扩大型外构；即构造 △POC ∽ △BOP，则 k,PC = kBP；
4. 算：利用步骤 3 中的相似平方关系 OP2 = OC . OB，计算圆心与构造点之间的距离即 OC 的长；
5. 连：连接 AC，（ 1）PA + kB = PA + PC ≥ AC，当点 P 在线段 AC 上时取最小值，连接 AC，与圆交点即为点 P；（2）PA - kB = PA - PC ≥ AC，当 点 P 在线段 AC 延长线上时取最大值，连接 AC 并延长 AC 与圆交点即为点 P;
6. 计算 AC 长度即可。
二：针对提高训练
练习1：如图，在RtΔABC 中，∠C = 90° , AC = 9，BC = 4，以点 C 为圆心，3 为半径做 ⊙ C，分别交 AC，BC于D，E 两点，点P 是 ⊙ C 上一个动点，则PA + PB 的最小值为 ．
练习2：如图，在平面直角坐标系中，点 A(4,0)，B(4,4)，点P 在半径为 2 的圆 O 上运动，则AP + BP 的最小值是 ．
练习3：如图，半圆的半径为 1 ，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC = 1，BD = 2，P 为弧 AB 上一动点，则 PC + PD 的最小值为 ．
练习4：如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，⊙ B 的半径为 2，点P 是 ⊙ B 上的一个动点，则PD - PC 的最大值为 ．
练习5：(1)如图，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD + PC 的最小值为 ，PD - PC 的最大值为
(2)如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B = 60° ,圆B 的半径为 2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD + PC 的最小值为 ，PD - PC 的最大值为
练习6：如图，在 RtΔABC 中，∠ACB = 90° , CB = 4，CA = 6，圆 C 的半径为 2，点 P 为圆上一动点，连接AP，BP ．求① AP +BP；② 2AP + BP；③AP + BP；④ AP + 3BP 的最小值

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