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第十八讲圆的基本性质（专题精讲+压轴真题全解word版含答案）初中数学培优与竞赛
圆的基本性质是初中几何的巅峰枢纽模块，完美串联直线、三角形、四边形、相似、三角函数、解直角三角形，是中考压轴、重点自招、初中联赛核心拉分考点.
中考仅考查：基础概念辨析、简单圆心角圆周角计算、圆内接四边形基础性质、常规半径弦长计算；培优、重点自招、初中联赛全面升级：弧角多级转化、隐形圆构造、圆内接极值、弦切角模型、四点共圆判定、多角嵌套推导、定值最值探究、几何综合嵌套压轴，是初中几何体系中综合性最强、模型最多、区分度最高的专题.
本文搭建竞赛级圆的基本性质完整体系，从底层定义到高阶几何建模，打通“判圆—转角—求边—证共圆—探最值”全链条思维，实现从基础计算到竞赛压轴满分跃迁.
一、核心思想：圆的四大竞赛底层逻辑
所有圆性质题型，无论基础题还是联赛压轴，全部依托四大核心思想，是解题万能依据：
等对等思想（基础核心）：同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距五者一对等、四全对等，是边角弧转化的根本规则.
角度转化思想（培优核心）：圆的本质是角度转化工具，通过同弧、等弧、直径、内接四边形实现锐角、钝角、补角、余角双向代换.
垂直平分思想（构造核心）：垂径定理核心为垂直、平分、弦心距直角建模，所有弦长计算必构造垂径直角三角形，联动勾股、三角函数求解.
定点定长轨迹思想（竞赛压轴核心）：定点定长、定角对定弦、直角对直径三大隐形圆判定，实现几何定值、最值、动点轨迹压轴突破.
思维本质差异：中考圆是“直接用性质算边角”；竞赛圆是“主动找弧、构造圆、转化角、探究动态定值最值”.
二、体系对比：中考体系 VS 培优竞赛体系
1. 中考体系（静态、单一、表层）
考查内容：基础概念、五要素对等、垂径定理简单计算、直径直角、圆内接四边形对角互补
图形特征：图形完整、圆显性存在、条件直白、无隐藏结构
解题逻辑：直接套用定理，单次角度转化、单次勾股计算
考查目标：重静态计算、轻逻辑推导、无构造、无动态、无极值
2. 培优竞赛体系（动态、构造、嵌套、综合）
考查内容：多级弧角转化、弦心距综合计算、四点共圆判定与性质、定角定弦隐形圆、弦切角模型、圆内极值定理
图形特征：圆隐性存在、残缺图形、多边形嵌套圆、动点轨迹圆，需要自主判定构造
解题逻辑：多次角度代换、多模型联立、方程建模、轨迹分析、极值推导
考查目标：重逻辑证明、重构造建模、重动态探究、重多几何模块综合
三、四大思维转型考点（中考→竞赛满分跃迁）
转型1：从“显性圆套用”到“隐性圆构造判定”
中考题目直接给出圆；竞赛绝大多数压轴无显性圆，需要通过定点定长、直角定直径、定角对定弦主动判定四点共圆、构造隐形圆，是竞赛核心拉分能力.
转型2：从“单次角转换”到“多级弧角链式转化”
中考仅一次同弧等角转化；竞赛通过同弧、等弧、对顶角、内接补角、互余角多层链式代换，推导复杂角度关系，破解嵌套几何题.
转型3：从“直接计算”到“垂径方程建模”
中考数据充足直接算；竞赛弦长、半径、弦心距条件残缺，需设未知数，利用垂径Rt△+勾股方程+三角函数联立求解.
转型4：从“静态求值”到“圆轨迹定值最值探究”
中考无动态考点；竞赛高频压轴：动点在圆上的线段最值、面积最值、角度定值、轨迹范围探究，是联赛顶配考点.
四、竞赛必考七大核心模型（全覆盖压轴题型）
模型一：五要素对等模型（基础万能基底）
核心结论：同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距，一组量相等，其余四组量全部相等.
竞赛用法：无需逐一推导，直接对等转化，快速化简边角弧关系，秒杀基础填空选择.
模型二：垂径定理直角模型（计算核心）
核心结论：垂直于弦的直径平分弦、平分弦所对的两条弧；弦中点+圆心连线⊥弦.
固定构造：圆心向弦作垂线，构造弦心距Rt△，满足：（r半径、d弦心距、l弦长）.
竞赛升级：双弦嵌套、平行弦、交叉弦，多直角联立方程求解.
模型三：直径直角模型（必考秒杀）
核心结论：直径所对圆周角为90°；90°圆周角所对弦为直径.
竞赛用法：见直径构直角、见直角找直径，快速构造垂直关系，联动相似、三角函数解题.
模型四：圆周角圆心角倍半模型（角度转化核心）
核心结论：同弧所对圆周角是圆心角的一半；同弧等弧圆周角相等.
竞赛升级：异弧互补、多弧叠加、外角圆周角推导，解决复杂角度嵌套问题.
模型五：圆内接四边形模型（补角转化神器）
核心结论：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
竞赛用法：钝角转锐角、外角代换内角，破解不规则多边形角度难题，是四点共圆核心性质.
模型六：四点共圆判定模型（培优高频）
四大判定：
定点定长：四点到定点距离相等，四点共圆
直角共圆：共斜边直角三角形，四顶点共圆
等角共圆：同侧等角对同弦，四点共圆
补角共圆：四边形对角互补，四点共圆
模型七：定角定弦极值模型（联赛压轴）
核心结论：定弦定角，动点轨迹为圆弧；弦固定，圆周角固定，可求高最值、面积最值、线段最值.
五、梯度培优经典例题（错解+错因+正解+思维点拨）
梯度一：基础概念辨析（中考保底）
例题1：判断正误：相等的圆周角所对的弦相等.
典型错解：正确，默认角度相等弦必然相等.
核心错因：忽略同圆或等圆前提，不同圆中相等圆周角对应弦长不等.
满分正解：错误，必须限定同圆或等圆，结论才成立.
思维点拨：圆的对等性质，前提优先于结论，是高频易错陷阱.
梯度二：垂径定理计算（中考高频）
例题2：圆O半径为5，弦AB长为8，求圆心O到弦AB的距离.
满分正解：作OD⊥AB，D为AB中点，AD=4.Rt△ODA中，.
答案：3
思维点拨：弦长计算必作弦心距，构造半弦、弦心距、半径直角三角形.
梯度三：弧角多级转化（培优拔高）
例题3：AB为圆O直径，∠CAB=35°，求∠ABC与∠BOC度数.
满分正解：直径对直角，∠ACB=90°，∠ABC=55°；圆心角是圆周角2倍，∠BOC=70°.
答案：∠ABC=55°，∠BOC=70°
思维点拨：直径构直角+倍半角转化，双模型联动解题.
梯度四：四点共圆判定应用（自招核心）
例题4：Rt△ABC和Rt△ABD共斜边AB，求证：A、B、C、D四点共圆.
满分证明：取AB中点O，直角三角形斜边中线等于斜边一半，OA=OB=OC=OD，定点定长，四点共圆.
思维点拨：共斜边直角三角形必共圆，是隐形圆最常用判定模型.
梯度五：定角定弦最值（联赛压轴）
例题5：线段AB=6，动点P满足∠APB=60°，求△ABP最大面积.
解析：定弦定角，P在圆弧上运动，当P为弧中点时，高最大，面积最大，最大面积.
思维升华：定弦定角轨迹圆，中点取最值，联赛经典极值模型.
六、高频易错点+错因+解决方法（竞赛避坑专项）
易错1：忽略“同圆等圆”前提乱用对等性质
错因：随意判定等角对等弦、等弧对等弦，无视前提条件.
对策：所有五要素对等，必先确认同圆或等圆，无前提不推导.
易错2：垂径定理漏条件、平分弦不一定垂直
错因：误认为直径平分弦就一定垂直弦.
对策：垂径定理推论：平分非直径的弦的直径垂直于弦，直径平分直径不垂直.
易错3：圆周角圆心角倍半关系乱套
错因：非同弧非等弧，强行套用2倍关系.
对策：必须同弧或等弧，才有圆心角=2圆周角，异弧无倍半关系.
易错4：圆内接四边形性质误用
错因：任意四边形乱用对角互补、外角等于内对角.
对策：仅圆内接四边形具备该性质，普通四边形不成立.
易错5：隐形圆判定条件混淆
错因：任意四点判定共圆，判定逻辑混乱.
对策：严格遵循四大共圆判定，无依据不强行构造圆.
易错6：弦长最值、面积最值不会找临界
错因：不会利用圆的对称性、圆弧中点临界性.
对策：圆上动点最值，优先找圆心连线、圆弧中点、直径端点三大临界位置.
七、考场秒杀口诀（圆性质竞赛专属）
等圆等弧角弦等，前提在先不乱行；
见弦作距构直角，垂径勾股定边长；
见径立想九十角，同弧倍半角分明；
内接四边对角补，外角恒与内对等；
定弦定角轨迹圆，中点临界取最值；
隐形圆找四共点，几何难题一键通.
八、中考压轴真题（全解析）
中考真题1（垂径基础计算）
已知圆O半径10，弦AB=16，OC⊥AB于C，求OC长度.
解析：AC=8，由勾股.
答案：6
中考真题2（弧角转化）
圆O中，弧AB度数为80°，求弧AB所对圆周角度数.
解析：圆周角为圆心角一半，.
答案：40°
中考真题3（圆内接四边形）
圆内接四边形ABCD中，∠A=70°，求∠C度数.
解析：对角互补，.
答案：110°
九、培优与联赛竞赛真题（高阶全解析）
培优真题1（双弦嵌套计算）
圆O半径为13，两条平行弦AB=24，CD=10，求两弦之间距离.
全解析：AB弦心距，CD弦心距.分同侧、异侧两种情况，距离为7或17.
答案：7或17
思维升华：平行弦必分同侧异侧双解，是培优高频陷阱题型.
培优真题2（多级弧角转化）
AB为直径，CD为弦，∠BCD=28°，求∠ABD度数.
全解析：同弧BD，∠BAD=∠BCD=28°；直径对直角，∠ADB=90°，故∠ABD=62°.
答案：62°
联赛真题1（四点共圆证明压轴）
△ABC三条高AD、BE、CF交于H，求证：B、C、E、F四点共圆.
满分证明：∠BEC=∠BFC=90°，BC为公共斜边，四点到BC中点距离相等，满足共斜边直角三角形共圆判定，故B、C、E、F四点共圆.
思维升华：垂心模型自带多组四点共圆，是联赛几何证明高频考点.
联赛真题2（定弦定角面积最值压轴）
已知线段AB=4，点P为平面内动点，且∠APB=45°，求△ABP的最大面积.
全解析：定弦定角，P点轨迹为圆弧，当P在弧中点时，高最大.计算得最大高，最大面积.
答案：
联赛真题3（圆内角度定值综合）
圆O中，AB、CD为任意两条相交弦，求证：∠AEC= (弧AC+弧BD)度数.
满分证明：连接BC，利用圆周角定理外角推导，∠AEC=∠B+∠C，分别对应两段弧半角，合并即可得证相交弦角度定值公式.
思维升华：相交弦角度公式是联赛角度速算秒杀结论，可直接用于填空选择.
十、分层变式训练题（基础·培优·联赛 全梯度）
梯度一：基础变式（中考巩固）
1. 圆半径8，弦心距4，求弦长.答案：
2. 同弧所对圆心角60°，求圆周角度数.答案：30°
3. 圆内接四边形一个外角85°，求内对角.答案：85°
梯度二：培优变式（自招拔高）
1. 平行弦半径5，弦长6和8，求弦间距.答案：1或7
2. AB为直径，∠ACD=42°，求∠BAD.答案：48°
3. 共斜边Rt△ABC、Rt△ADC，判定四点关系.答案：四点共圆
梯度三：联赛变式（压轴难点）
1. 定弦AB=6，∠APB=30°，求△ABP最大面积.答案：
2. 圆内两弦相交，弧AC=60°，弧BD=40°，求相交锐角.答案：50°
3. 锐角△ABC垂心H，求证A、B、H、F四点共圆.答案：略（直角共圆判定）
十一、总结
圆的基本性质竞赛本质：弧角转化、垂径建模、共圆判定、轨迹最值.
中考侧重表层性质计算与简单角度推导；培优竞赛核心突破在于隐形圆构造、多级弧角链式转化、残缺条件方程建模、动态轨迹定值最值探究.
掌握七大核心模型、规避六大高频易错、熟记竞赛秒杀口诀，可完全通杀中考、重点自招、初中联赛所有圆性质基础题、几何证明、动态压轴题型，实现圆模块满分通关.
【例题求解】
【例1】在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC度数为 ．
作出辅助线，解直角三角形，注意AB与AC有不同的位置关系．
注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结
合起来．
圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．
【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )
A． B． C． D．
思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．
【例3】 如图，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：AM=DC+CM．
思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．
【例4】 如图甲，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦C E⊥AB，在CB上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F，M．
(1)求∠COA和∠FDM的度数；
(2)求证：△FDM∽△COM；
(3)如图乙，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在EB上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否有△FDM∽△COM 证明你的结论．
思路点拨 (1)在Rt△COG中，利用OG=OA=OC；(2)证明∠COM=∠FDM，∠CMO=
∠FMD；(3)利用图甲的启示思考．
注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．
【例5】 已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD＝4：3．
(1)求证：AF＝DF；
(2)求∠AED的余弦值；
(3)如果BD＝10，求△ABC的面积．
思路点拨 (1)证明∠ADE＝∠DAE；(2)作AN⊥BE于N，cos∠AED＝，设FE=4x，FD＝3x，利用有关知识把相关线段用x的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x的值．
注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．
学力训练
1．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB= ．
2．阅读下面材料：
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．
例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．
回答下列问题：
(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；
(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；
(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm． (2003年南京市中考题)
3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．
(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有
(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．
(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．
a．是轴对称图形但不是中心对称图形．
b．既是轴对称图形又是中心对称图形．
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为( )
A．12cm B．10cm C． 8cm D．6cm
5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB的半径为5，弦AB＝8，则弓形的高CD为( )
A．2 B． C．3 D．
6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB、CD、EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD与E的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD=F C． AB+CD7．电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU芯片，需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张 请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．
8．如图，已知⊙O的两条半径OA与OB互相垂直，C为AmB上的一点，且AB2+OB2=BC2，求∠OAC的度数．
9．不过圆心的直线交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥，垂足为E，BF⊥，垂足为F．
(1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；
(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．
10．以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且OC2＝AC×BC，
则∠CAB= ．
11．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在BC的中点A′上，若BC=5，则折痕在△ABC内的部分DE长为 ．
12．如图，已知AB为⊙O的弦，直径MN与AB相交于⊙O内，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB=，则MC—ND= ．
13．如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96°，BD的度数为36°，动点P在AB上，则CP+PD的最小值为 ．
14．如图1，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OP×OP′=r2，这种把点P变为点P′的变换叫作反演变换，点P与点P′叫做互为反演点．
(1)如图2，⊙O内外各有一点A和B，它们的反演点分别为A′和B′，求证：∠A′=∠B；
(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．
①选择：如果不经过点O的直线与⊙O相交，那么它关于⊙O的反演图形是( )
A．一个圆 B．一条直线 C．一条线段 D．两条射线
②填空：如果直线与⊙O相切，那么它关于⊙O的反演图形是 ，该图形与圆O的位置关系是 ．
15．如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P，AB=BD，且PC=0．6，求四边形ABCD的周长．
16．如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BAC的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2-AD2=AB×AC．
17．将三块边长均为l0cm的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少 (不考虑其他因素，精确到0．1cm)
18．如图，直径为13的⊙O′，经过原点O，并且与轴、轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程的两根．
(1)求线段OA、OB的长；
(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CD×CB时，求C点坐标；
(3)在⊙O，上是否存在点P，使S△POD=S△ABD 若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【例题求解答案】
例1. 15°或 75° 分 在圆心 同侧，异侧两种情况讨论.
例2 选D 如图,得
例3． 延长 至 使 连结 则 ，可证得
例4
(2)略
,先证 故结论仍成立，
例5 如图，
(1)由 得 又
(2)过 点作 于N,设 则
由勾股定理得，
(3)由 得
即 解得
【学力训练答案】
1. 8 3 略 4.D 5.A 6.B
7.可以切割出66个小正方形，按下列方式叠放 （个）
8.设 的半径为r,则 以 为圆心 为半径作圆，与 O交于两点 连 延长BO交AO于 连 或
9.(1)
.
(2) 或 (3) 证明略
10. 15° 或75° 11. 12. 4 连 并延长交 于
13. R 设是D点关于直径 对称的点，连 交 于 则 点使 最小，
14.(1) A、B的反演点分别是, . (2). ①A ②圆 内切
15.连 并延长交 于 则 得CD=1,AD=2 所求四边形周长为 .
16. 只需证明 即可，在 上截取 连可证明 则
17，通过动手实践, 我们可以探索性地画出下列四类情形；
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图1，图2不符合要求，若按图3放,每个正方形对角线长为 圆碟直径为
若按图4放, 考虑到它的轴对称性.圆碟的圆心 ，应在正方形的边 上,设 如图 由勾股定理解得 , 直径为25.8(cm),可见，选择图4来“放”煎饼，圆碟的直径最小，约是25.8cm
18. (1) OA+OB=,解得
(2) 连结 交 于E,C
(3)假设上存在点P满足条件.
即
解得OD= ,中OD边上的高为13，即点 到 轴距离为 13, 上的点到 轴的最大距离为9，点 不在上，即在上不存在点
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