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同步探究学案
课题 26.1 二次函数的概念 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.通过分析实际问题，抽象出函数关系式，认识二次函数，理解二次函数的定义． 2.能识别二次函数一般形式，分清二次项、一次项、常数项及对应系数． 3.会依据定义判断一个函数是否为二次函数，明确的隐含条件．
重点 理解二次函数的概念，识别二次函数一般形式，能够分清各项及其系数．
难点 从实际情境中抽象得到二次函数关系式，理解的隐含限制条件．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积（单位：）会随矩形一边长（单位：）的变化而变化，与之间有什么关系？请大家尝试列出关系式，并观察它和一次函数有什么不同？ 答案： 即： 式子自变量最高次数是2
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助实际问题并对比一次函数，研究二次函数的概念。 我们先来分析本章引言中的矩形区域问题．显然，矩形的一边长和面积都是变量，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即是的函数．根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为，即．① 问题1：支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛．比赛的场次数与球队数之间有什么关系？ 分析：每支球队都要与其他支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数即．② ②式表示比赛的场次数与球队数之间的关系，其中和都是变量，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即是的函数． 问题2：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量(单位:t)将由的值确定，与之间的关系应怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量，即．③ ③式表示了两年后的产量与每年的计划增产倍数之间的关系，其中和都是变量，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即是的函数． 思考：观察函数①②③，它们有什么共同点？ 预设：函数都是用自变量的二次式表示的． 归纳：一般地，形如是常数，的函数，叫作二次函数．其中是自变量，，，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 例：(1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积关于半径的函数解析式. (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是．写出两年后产品的年销售量(单位：万件)关于的函数解析式． 解：(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以，即 ． (2)一年后产品的年销售量为万件，两年后的年销售量为万件，所以，即 ．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 答案： 3．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 解：（1）， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 选做题： 4．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 答案： 【综合拓展类练习】 5．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 解：（1）根据题意，当销售单价定为每千克55元，月销售量为（千克）， 月利润为（元）； （2）根据题意可得，； （3）将代入，得， ， 整理，得， 解得，， 当时，月销售量为（千克）； 当时，月销售量为（千克）； ∵， 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：销售单价应为元．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知函数是二次函数，则m等于（ ） A． B．2 C． D． 答案：B 2．一个边长为的正方形，若边长增加，面积增加，则与之间的函数关系式为______． 答案： 3．下列函数中，哪些是二次函数？并分别指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)． 解：（1）， 是二次函数， 二次项系数是3，一次项系数是，常数项4． （2）， 不是二次函数； （3）， 是二次函数， 二次项系数是，一次项系数是0，常数项3． （4）， 不是二次函数； （5）， 是二次函数， 二次项系数是，一次项系数是0，常数项0． 选做题： 4．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（ ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 答案：C 【综合拓展类作业】 5．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 解：（1）根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝千克， ， 整理得； （2）令，代入函数表达式得：， 解得：， 要让顾客得到实惠，售价应尽可能低， ∴， ∴此时荔枝定价为（元/千克）． 答：应将价格定为元/千克．
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课题 26.1 二次函数的概念 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.通过分析实际问题，抽象出函数关系式，认识二次函数，理解二次函数的定义． 2.能识别二次函数一般形式，分清二次项、一次项、常数项及对应系数． 3.会依据定义判断一个函数是否为二次函数，明确的隐含条件．
重点 理解二次函数的概念，识别二次函数一般形式，能够分清各项及其系数．
难点 从实际情境中抽象得到二次函数关系式，理解的隐含限制条件．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积（单位：）会随矩形一边长（单位：）的变化而变化，与之间有什么关系？请大家尝试列出关系式，并观察它和一次函数有什么不同？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助实际问题并对比一次函数，研究二次函数的概念。 我们先来分析本章引言中的矩形区域问题．显然，矩形的一边长和面积都是变量，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即是的函数．根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为，即．① 问题1：支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛．比赛的场次数与球队数之间有什么关系？ 分析：每支球队都要与其他支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数即．② ②式表示比赛的场次数与球队数之间的关系，其中和都是变量，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即是的函数． 问题2：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量(单位:t)将由的值确定，与之间的关系应怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量，即．③ ③式表示了两年后的产量与每年的计划增产倍数之间的关系，其中和都是变量，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即是的函数． 思考：观察函数①②③，它们有什么共同点？ 归纳：一般地，形如是常数，的函数，叫作二次函数．其中是__________，，，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 例：(1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积关于半径的函数解析式. (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是．写出两年后产品的年销售量(单位：万件)关于的函数解析式．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 3．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 选做题： 4．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【综合拓展类练习】 5．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知函数是二次函数，则m等于（ ） A． B．2 C． D． 2．一个边长为的正方形，若边长增加，面积增加，则与之间的函数关系式为______． 3．下列函数中，哪些是二次函数？并分别指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)． 选做题： 4．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（ ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【综合拓展类作业】 5．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？
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