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分课时学案
课题 2.4.1解直角三角形的应用 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习 目标 1.理解仰角、俯角的概念，会画出对应几何图形，能利用解直角三角形知识解决仰角、俯角相关的测高、测距实际问题。 2.经历实际问题抽象为直角三角形模型并求解的过程，感悟数学建模、数形结合思想，提升分析与解决问题的能力。 3.在生活化问题解决中感受数学的实用价值，养成严谨的学习态度，增强运用数学知识解决实际问题的信心。
重点 1.理解仰角、俯角的概念，能正确识别实际问题中的仰角和俯角。 2.运用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的测高、测距等实际问题，能将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中边角元素之间的关系。
难点 难点一：数学模型的建立 需要把文字描述的实际问题抽象成几何图形，构造直角三角形，必要时添加辅助线，并标注全部已知、未知条件；区别于直接给出直角三角形的计算题，对学生抽象思维与空间想象能力要求较高。 难点二：实际测量中仪器高度的处理 解决测高问题时，学生易忽略仪器自身高度，漏加仪器到地面的距离，暴露出对实际情境考虑不周全的问题。
教学过程
导入新课 【复习提问，温故孕新】 问题1（函数选择） 在 中，，已知 ，，要求 的长，应选用哪个三角函数？请说明理由。 问题2（完整求解） 在 中，，，。 （1）请画出图形，并在图上标注已知条件； （2）求 和 的长。 【引入思考】 2.4-1【课本“思考”】——某探险者到达点 处，准备估算到海拔为 的山峰顶点 处的水平距离。 提问引导： （1）山峰的海拔 是图中哪一段？点 处也有海拔吗？ （2）我们无法直接测量 、 之间的水平距离，你能帮探险者想一个可行的办法吗？ （3）要用数学方法解决这个问题，我们需要知道哪些数据？
新知讲解 一、本节课研究的问题 ① 认识测量中仰角、俯角，读懂测量情境，把测高、测距实际问题转化为直角三角形问题。 ② 单直角三角形模型：已知观测距离、仰角（俯角），求解物体高度、水平距离，注意处理仪器观测高度。 ③ 双直角三角形模型：从两个不同观测点观测同一目标，借助公共边，利用方程思想求解高度或距离。 核心研究主线：经历实际问题抽象几何模型解直角三角形回到实际问题解释结果的建模全过程。 二、概念提炼 1.仰角 定义： 要点： 2.俯角 定义： 要点： 3.模型概念提炼（解直角三角形实际应用） 把现实测高、测距问题，通过画辅助线，构造直角三角形，将实际条件转化为直角三角形的边角元素，利用锐角三角函数、勾股定理求解，这就是解直角三角形的实际应用。 核心提炼：仰角、俯角是连接现实测量和直角三角形边角的桥梁，建模是解决实际问题的核心。 4.解题流程概念提炼（建模四步） 实际情境画出几何图形建模解直角三角形实际问题作答。 易错提炼：测高问题，物体实际高度 = 三角函数求出的竖直高度 仪器（人眼）离地高度。 展示图2.4-2【课本“做一做”】： 表示点 的海拔， 表示点 的海拔，，垂足为点 。 用仪器先测量出点 的海拔 ，再测出仰角 ，然后用锐角的正切就可求出 、 两点的水平距离 。 引导提问： （1）图中哪个角是“仰角”？仰角是怎么定义的？ （2） 的长度与 、 有什么关系？ （3）在哪个直角三角形中可以用三角函数求解？选用哪个三角函数最合适？ 如果测得点 的海拔 为 ，仰角 ，请你求 、 两点的水平距离 （，结果精确到 ）。 引导求解： 由题意，，，，。 即 ，从而 。 【课本例1】：某测量人员准备测量上海东方明珠塔的高度，他站在离塔底部 的 处，用仪器测得塔顶的仰角 为 ，仪器距地面的高度 为 ，如图2.4-3所示。求上海东方明珠塔的高度 （，结果精确到 ）。 引导分析： （1）本题与“做一做”有什么相同点和不同点？ （2）仪器高度 在计算中如何处理？ 规范板书： 在 中，，， ， ，。 。 答：上海东方明珠塔的高度BD约为_____m. 变式1（基础——直接应用） 如图，小明在离旗杆底部 的 处，测得旗杆顶端 的仰角为 ，已知小明的眼睛距地面高度为 ，求旗杆的高度。（，结果精确到 ） 变式2（中档——逆向思维） 如图，某建筑物高 ，从建筑物顶部 处测得地面点 的俯角为 ，求观测点 到点 的水平距离。（俯角：从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角） 变式3（提升——双直角三角形） 如图，从地面上 、 两点分别测得楼顶 的仰角为 和 ，已知 ，求楼高 。（，结果保留根号）
课堂练习 1、如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角β，则建筑物AB与CD的高度之比为（　 　） A.B.C.D.
2、黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：tan63°≈2） 3、如图，山上有一铁塔高．山前有一建筑物，从D点走到E点刚好能看到塔顶A，且在E点测得塔顶A的仰角为，继续往前走，到F点又刚好能看到塔底B，并测得B的仰角为，已知，求小山的高（精确到，参考数值：）．
课堂小结 回顾这节课你学到了什么？
课后作业 1、如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机 对建筑物 的点 （底部）和点 （顶部）进行观测，则下列说法错误的是（ ） A. 仰角为 B. 当无人机远离 水平飞行时，仰角增大 C. 俯角为 D. 当无人机远离 水平飞行时，俯角减小 2、如图，坡角α=30°的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为4米，则大树AB的高为（　 　） A.米B.米C.米D.米
3、某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物 的高度。在建筑物旁边有一高度为 米的小楼房 ，小李同学在小楼房底部 处测得 处的仰角为 ，在小楼房顶部 处测得 处的仰角为 （ 在同一平面内， 在同一水平面上），则建筑物 的高为（ ） A. 20 B. 15 C. 12 D. 10+5
4、如图，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度，在点 处测得树顶 的仰角为 ，在点 处测得树顶 的仰角为 ，且 三点在同一直线上，若 ，则这棵树 的高度是（ ） A. 　　 B. C. 　　 D. 5、在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度。他们在河岸一侧的堤坝上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高 米的点 处测得堤坝正对岸 处的俯角为 ，测得堤坝顶端 处的俯角为 。已知堤坝 高 米（图中点 在同一平面内），那么大汶河此河段的宽 为（ ） （参考数据：，，，） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6、如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（ ）米 A. B. C. D.
7、现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　 　） A.千米 B.(千米 C.千米 D.5千米
8、上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离为（　 　） A.海里B.海里C.40海里D.海里
9、如图，在坡度为的山坡上种树，已知，相邻两树的坡面距离为10米，则两树的水平距离为 米． 10、如图，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100 m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高为__________，楼高为__________． 11、《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量到间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．实践小组为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高3的标杆和，两杆间距相距8，在点E处观察山顶点A，测得仰角为；在点M处观察山顶点A，测得仰角为，求山峰的高度．（结果精确到米．参考数据：） 12、如图所示，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求出此时海监船与岛屿P之间的距离.(即PC的长，结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.732，≈1.414)
答案:
复习提问，温故孕新
问题1（函数选择）
在 中，，已知 ，，要求 的长，应选用哪个三角函数？请说明理由。
答案：选用正切。因为 是 的邻边， 是 的对边，已知邻边求对边，用 ，即 。
问题2（完整求解）
在 中，，，。
（1）请画出图形，并在图上标注已知条件；
（2）求 和 的长。
答案：
图形：（学生在练习本上画图，标注 ，，）
（1）求 ：，，，。
（2）求 ：，，，
课堂练习
1、如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角β，则建筑物AB与CD的高度之比为（　C　）
A. B. C. D.
2、黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是____51______m．（参考数据：tan63°≈2）
3、如图，山上有一铁塔高．山前有一建筑物，从D点走到E点刚好能看到塔顶A，且在E点测得塔顶A的仰角为，继续往前走，到F点又刚好能看到塔底B，并测得B的仰角为，已知，求小山的高（精确到，参考数值：）．
【答案】在中，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，．
，
．
（经检验，是原方程的解，且符合题意），
小山高约为．
作业布置
1、如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机 对建筑物 的点 （底部）和点 （顶部）进行观测，则下列说法错误的是（ B ）
A. 仰角为
B. 当无人机远离 水平飞行时，仰角增大
C. 俯角为
D. 当无人机远离 水平飞行时，俯角减小
答案：B
2、如图，坡角α=30°的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为4米，则大树AB的高为（　A　）
A.米 B.米 C.米 D.米
3、某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物 的高度。在建筑物旁边有一高度为 米的小楼房 ，小李同学在小楼房底部 处测得 处的仰角为 ，在小楼房顶部 处测得 处的仰角为 （ 在同一平面内， 在同一水平面上），则建筑物 的高为（A ）
A. 20 B. 15 C. 12 D. 10+5
4、如图，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度，在点 处测得树顶 的仰角为 ，在点 处测得树顶 的仰角为 ，且 三点在同一直线上，若 ，则这棵树 的高度是（A ）
A. 　　 B. C. 　　 D.
5、在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度。他们在河岸一侧的堤坝上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高 米的点 处测得堤坝正对岸 处的俯角为 ，测得堤坝顶端 处的俯角为 。已知堤坝 高 米（图中点 在同一平面内），那么大汶河此河段的宽 为（A ）
（参考数据：，，，）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
答案：A
6、如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（ C ）米
A. B. C. D.
7、现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　A　）
A.千米 B.(千米 C.千米 D.5千米
8、上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离为（　D　）
A.海里 B.海里 C.40海里 D.海里
9、如图，在坡度为的山坡上种树，已知，相邻两树的坡面距离为10米，则两树的水平距离为 8 米．
10、如图，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100 m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高为________，楼高为_____．
答案：，
11、《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量到间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．实践小组为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高3的标杆和，两杆间距相距8，在点E处观察山顶点A，测得仰角为；在点M处观察山顶点A，测得仰角为，求山峰的高度．（结果精确到米．参考数据：）
【答案】解：由题意得，
∴．在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
设的长为，则，
∵，
∴，
解得．
答：山峰的高度约为 ．
12、如图所示，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求出此时海监船与岛屿P之间的距离.(即PC的长，结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.732，≈1.414)
【答案】
解　在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，
∴PB=2AB，
由题意得BC=2AB，
∴PB=BC，
∴∠C=∠CPB，
∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，
∴∠C=30°，
∴PC=2PA，
∵PA=AB·tan 60°，且AB=20×1=20(海里)，
∴PC=2×20×≈69.3(海里).
即此时海监船与岛屿P之间的距离约为69.3海里.
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