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第二十五章 一元二次方程
25.2.2 公式法 导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1. 经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式的意义，发展推理意识与符号意识。
2. 理解根的判别式 的意义，能根据判别式的值判断一元二次方程根的情况，提升运算能力。
3. 掌握求根公式 ，能用公式法解数字系数的一元二次方程，体会公式法的通用性，提升知识应用意识。
学习重点：求根公式 的推导与应用；根的判别式的意义。
学习难点：求根公式的推导过程（含字母系数的配方）；用判别式判断根的情况；公式法中a、b、c符号的确定。
预习导学
一、知识链接
1. 配方法解一元二次方程的一般步骤：移项 → 化1 → 配方 → 开方 → 求解。
2. 用配方法解方程 ：
移项，得 x -4x=7；
配方，得 x -4x+4=7+4，即 (x-2) =11；
开方，得 x-2=±；
所以 x =______，x =______。
3. 完全平方公式：a ±2ab+b =(a±b) 。
4. 对于方程 ：当 p>0 时，有两个不相等的实数根；当 p=0 时，有两个相等的实数根；当 p<0 时，无实数根。
二、自主探究
【探究】求根公式的推导
任何一元二次方程都可以化成一般形式 。能否用配方法得出它的解呢？让我们一起来推导。
步骤1：移项（将常数项移到右边）。
步骤2：二次项系数化为1（两边同除以a）。
步骤3：配方（两边同加一次项系数一半的平方）
一次项系数是 b/a，一半是 b/(2a)，平方是 (b/2a) 。两边同加 (b/2a) ：。
步骤4：左边写成完全平方式，右边通分计算，即 。 ①
步骤5：分析右边的符号
因为 a≠0，所以 4a >0。式子 的值有三种情况：
（1）当 时，右边>0，由①得方程有两个不相等的实数根；
（2）当 时，右边=0，由①得方程有两个相等的实数根；
（3）当 时，右边<0，由①知方程无实数根。
步骤6：得出求根公式
当 时，由①开方得：
所以：
这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
课堂导学
一、根的判别式
式子 叫做一元二次方程 根的判别式，通常用希腊字母 "Δ" 表示，即：
【归纳】根的判别式与根的情况：
（1）Δ>0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ=0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ<0 方程无实数根。
【即时练习】不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）； （2）； （3）。
二、例题精讲
【例】用公式法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
解：（1）a=1，b=-4，c=-7。
Δ = ，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：。
所以 ，。
（2）a=2，b=-2√2，c=1。
Δ = ，方程有两个相等的实数根。
x =x = 。
（3）方程化为 5x -4x-1=0，a=5，b=-4，c=-1。
Δ = ，方程有两个不相等的实数根。
x = ，所以 x =______，x =______。
（4）方程化为 x -8x+17=0，a=1，b=-8，c=17。
Δ = ，所以原方程______实数根。
三、方法归纳
【公式法解一元二次方程的一般步骤】
① 化一般式：将方程化为 ax +bx+c=0 的一般形式；
② 定系数：确定 a、b、c 的值（特别注意符号！）；
③ 算判别式：计算 Δ=b -4ac，判断根的情况；
④ 代公式：若 Δ≥0，代入求根公式 x=(-b±√(b -4ac))/(2a) 计算；若 Δ<0，方程无实数根；
⑤ 写结果：写出方程的两个根。
【注意事项】
（1）确定 a、b、c 时，必须先将方程化为一般形式，且注意各项的符号；
（2）求根公式只在 Δ≥0 时适用，Δ<0 时方程无实数根，不能代入公式；
（3）当 Δ=0 时，方程有两个相等的实数根，不能说"只有一个根"。
课堂检测
1. 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）； （2）； （3）。
2. 用公式法解下列方程：
（1）； （2）。
3. 关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。
总结反思
1. 求根公式是如何推导出来的？它体现了什么数学思想？
2. 根的判别式 Δ 有什么作用？如何根据 Δ 判断根的情况？
3. 用公式法解方程时，最容易出错的地方是什么？
4. 公式法与配方法有什么联系和区别？
5. 我的疑惑：____________________________________________
【知识梳理】
配方法（一般化推导）→ 求根公式 x=(-b±√(b -4ac))/(2a) → 判别式 Δ=b -4ac 判断根的情况 → 公式法解方程（五步：化式→定系→算Δ→代公式→写结果）
五、【作业布置】
【知识技能类作业】必做题：
1. 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）； （2）。
2. 用公式法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）。
【知识技能类作业】选做题
1. 关于 x 的一元二次方程 有实数根，求 m 的取值范围。
2. 已知关于 x 的方程 ，试判断方程根的情况。
3. 用公式法解方程 （章引言中的方程），并说明哪个根符合雕像问题的实际意义。
【综合拓展类作业】
1. 阅读思考：求根公式 中，当 Δ=0 时，x =x =-b/(2a)。这个结果与我们学过的二次函数顶点横坐标有什么联系？（提示：二次函数 y=ax +bx+c 的顶点横坐标为 x=-b/(2a)）请结合二次函数图象，说说一元二次方程的根与二次函数图象与x轴交点的关系。
答案
预习导学：
知识链接2. x =2+√11，x =2-√11
课堂导学：
即时练习：（1）Δ=16>0，两个不相等的实数根；（2）Δ=0，两个相等的实数根；（3）Δ=-23<0，无实数根
例（3）x =1，x =-1/5；（4）无实数根
课堂检测：
1.（1）Δ=21>0，两个不相等的实数根；（2）Δ=0，两个相等的实数根；（3）Δ=-4<0，无实数根
2.（1）x =2，x =-3；（2）x =0，x =3/2
3. k<2 且 k≠0
作业布置：
【知识技能类作业】必做题
1.（1）Δ=-4<0，无实数根；（2）Δ=5>0，两个不相等的实数根
2.（1）x=(√3±2)/2；（2）无实数根；（3）x=±√3；（4）x=(-2±√14)/2
【知识技能类作业】选做题
1. m≤2 且 m≠1
2. Δ=(k+1) -4(k-1)=k -2k+5=(k-1) +4>0，所以无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根
3. x=(-5±5√5)/2，x =(-5+5√5)/2≈3.09 符合实际意义，x =(-5-5√5)/2≈-8.09 舍去
【综合拓展类作业】
1. 当 Δ=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根 x=-b/(2a)，对应二次函数 y=ax +bx+c 的图象与x轴只有一个交点（即顶点），顶点横坐标就是 x=-b/(2a)。当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有两个交点；当 Δ<0 时，方程无实数根，对应抛物线与x轴没有交点。

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