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第27章 反比例函数
题型1 反比例函数的定义 题型2 反比例函数的图象
题型3 反比例函数图象的对称性 题型4 反比例函数的性质
题型5 反比例函数系数k的几何意义 题型6 反比例函数图象上点的坐标特征
题型7 待定系数法求反比例函数解析式 题型8 反比例函数与一次函数的交点问题
题型9 根据实际问题列反比例函数关系式 题型10 反比例函数的应用
题型11 反比例函数综合题
题型1 反比例函数的定义
解｜题｜知｜识 （1）反比例函数的概念 形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
题型2 反比例函数的图象
解｜题｜知｜识 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
题型3 反比例函数图象的对称性
解｜题｜知｜识 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．
题型4 反比例函数的性质
解｜题｜知｜识 反比例函数的性质 （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
题型5 反比例函数系数k的几何意义
解｜题｜知｜识 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
题型6 反比例函数图象上点的坐标特征
解｜题｜知｜识 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
题型7 待定系数法求反比例函数解析式
解｜题｜知｜识 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式．
题型8 反比例函数与一次函数的交点问题
解｜题｜知｜识 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点．
题型9 根据实际问题列反比例函数关系式
解｜题｜知｜识 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．
题型10 反比例函数的应用
解｜题｜知｜识 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
题型11 反比例函数综合题
解｜题｜知｜识 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
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