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第1章 有理数
1.3 有理数的大小
学习目标与重难点
学习目标：
1.结合气温实例与数轴，依托几何直观形成数感，能从数轴点的位置抽象得到有理数的大小关系，建立数形对应的抽象能力。
2.通过探究有理数大小比较法则，发展推理意识，会比较正数、0、负数以及两个负数的大小，提升逻辑推理能力。
3.结合生活数据增强应用意识，会用＞、＜符号表示有理数大小，能用数学语言归纳比较有理数大小的规律，解决简单实际问题。
学习重点：掌握利用数轴以及绝对值的法则比较有理数大小的方法。
学习难点：理解并会运用“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”这一法则进行大小判断。
预习自测
一、知识链接
1.回顾上节课绝对值的概念：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，正数、负数、0分别有对应的绝对值化简规则，为本课两个负数比较大小提供计算依据。
2.回顾数轴的相关知识：数轴上的点与有理数一一对应，点在数轴上有左右位置关系，可以借助点的位置直观判断数的大小。
3.回顾有理数的分类，分清正数、0、负数，本节课在此基础上进一步探究不同类型有理数之间、两个负数之间的大小比较方法。
自学自测
1.数轴上表示两个数，____边的数总比____边的数大。
2.比较大小：0____-0.1（填＞、＜、＝）。
3.两个负数比较大小，绝对值大的数反而____。
教学过程
一、创设情境、导入新课
下表是5个旅游区某天的天气预报：
把这一天各旅游区的最低气温在图中的数轴上表示出来。
把这几个旅游区的最低气温由低到高排列：
_______________________________________________________________________________________
这些数的大小顺序与数轴上表示它们的点的位置有什么关系？
二、合作交流、新知探究
探究一：有理数的大小比较
教材第15页
1.数轴比较法：数轴上不同的两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
2.正负数与0的大小关系：正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
3.两个负数比较大小法则：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
4.比较两个负数的解题步骤：先分别求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，再依据法则判断原数的大小。
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各数中最大的一个数是（ ）
A．0.5 B．﹣3 C．0 D．﹣2
2.下列有理数的大小关系正确的是（ ）
A. |- |<|- | B.-|3|<-(+ 3 ) C.-|-8|>7 D.- < -
3.如图所示，在数轴上两点A，B分别表示的数是a，b，则下列四个数中，最大的一个是（ ）
A．A B．- a C．B D．- b
4.下面是年月某天哈尔滨、拉萨、石家庄、海口四个城市的天气情况，则日温差最大的城市是（ ）
A. 哈尔滨-23℃~-13℃ B. 拉萨-1℃~12℃
C. 石家庄-5℃~3℃ D. 海口14℃~21℃
【知识技能类作业】选做题：
1.a、b、c三个有理数满足a<0A．M2.如图，已知四个有理数m、n、p、q在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为M、N、P、Q，且m + p = 0，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是_____．
3.已知 a , b 为有理数，且 a>0 , b<0 , a+b<0 ,将四个数 a , b , -a , -b 按由小到大的顺序排列是________________
【综合拓展类作业】
1.有理数a、b在数轴上如图所示。
（1）在数轴上表示-a、-b；
（2）试把a、b、0、-a、-b五个数用“<”连接起来；
（3）用“>”“=”或“<”填空：|a| a，|b| b。
2.已知有理数a，b，c，d中，a，d为负数，b，c为正数，且|c|>|b|>|d|>|a|．
（1）画出数轴，并标出表示数a，b，c，d的点的大致位置；
（2）将a，-b，-|c|，-(+d)按照从小到大的顺序排列（直接写答案）；
（3）若有理数m满足|b|<|m|，试比较b，-b，m之间的大小关系．
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1.本节课以各旅游景区最低气温为实际情境，将气温数值标注在数轴上，由此引入有理数大小比较的学习。
2.观察数轴上点的位置，归纳得出：数轴上右边的数总大于左边的数；正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
3.通过探究两个负数与其绝对值的关系，得到法则：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
4.借助例题与课堂练习，运用所学法则，掌握有理数大小比较的解题方法，规范完成数的大小比较。
五、【作业布置】
【知识技能类作业】必做题：
1.下列有理数的大小关系正确的是（ ）
A.|-2|<0 B.|-5|<|+5| C.-(-5)<|-4| D.- <-1.25
2.如图，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，比较a，b，c的大小关系是（ ）
A. a>b>c B. a>c>b C. b>c>a D. c>b>a
3.有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A.a<-1<-a<1 B.a<-1<1<-a
C.-14.（1）已知a=2，|b|=3，若a>b，则b的值是 ；
（2）已知a=1，|b|=2，若a【知识技能类作业】选做题：
1.将正面记为的五张卡片围成一圈，每张卡片反面都写有一个数，相邻两张卡片反面数字之和如下表：
推断：最小数对应卡片编号是 ．
2.比较下列各组数的大小：
（1）-|- |与-(- )；（2）- 与- ；（3）-(-5)与-|-5|。
【综合拓展类作业】
1.阅读下列材料，回答问题：
我们知道，|x|就是数轴上表示x的点到原点的距离，比如|2|=2，|-2|=2，|0|=0。进一步地，|x - y|就是数轴上表示x的点和表示y的点之间的距离。比如|3 - 5|表示3到5的距离，|3 - (-5)|表示3到-5的距离。
（1）试比较|a| + |b|和|a + b|的大小；
（2）根据（1）的结论，你能得到什么规律？
答案
自学自测：1.右；左 2.＞ 3.小
【课堂练习】
【知识技能类作业】必做题
1.A
2.D
3.B
4.B
【知识技能类作业】选做题
1.A
2.q
3.b<-a【综合拓展类作业】
1.（1）
（2）解：a<-b<0< b<-a
（3）>；=
2.（1）如图，
（2）-|c|<-b（3）当m>0时，m>b>-b；当m<0时，b>-b>m
【作业布置】
【知识技能类作业】必做题
1.【解析】逐一化简判断选项：
A：|-2|=2，2>0，故|-2|<0错误；
B：|-5|=5，|+5|=5，|-5|=|+5|，故|-5|<|+5|错误；
C：-(-5)=5，|-4|=4，5>4，故-(-5)<|-4|错误；
D：- =-1.5，两个负数比较，|-1.5|=1.5，|-1.25|=1.25，1.5>1.25，绝对值大的反而小，∴-1.5<-1.25，即- <-1.25，D正确。
【详解】D
2.【解析】依据数轴比较大小法则：数轴上右边的数大于左边的数。
由数轴可得从左到右顺序：c、b、0、a，
所以大小关系：a>b>c。
【详解】A
3.【解析】由数轴观察：-1从小到大排序：-1特殊值验证：设a=-0.4，则-a=0.4，可得-1<-0.4<0.4<1。
【详解】C
4.【解析】（1）∵|b|=3，∴b=3或b=-3。
已知a=2，且a>b，也就是2>b。
b=3时，2>3不成立；b=-3时，2>-3成立，故b=-3。
（2）∵|b|=2，∴b=2或b=-2。
已知a=1，且ab=-2时，1<-2不成立；b=2时，1<2成立，故b=2。
【详解】-3；2
【知识技能类作业】选做题
1.【解析】设五张卡片反面数字：P、Q、R、S、T
根据题意列出方程组：
P+Q=35(1)
Q+R=42(2)
R+S=31(3)
S+T=40(4)
T+P=32(5)
把5个式子全部相加：
2(P+Q+R+S+T)=35+42+31+40+32=180
∴P+Q+R+S+T=90
分别求每个数：
1.R+S+T=90-(P+Q)=90-35=55，结合(4)S+T=40
R=55-40=15
2.代入(2)：Q+15=42→Q=27
3.代入(1)：P+27=35→P=8
4.代入(3)：15+S=31→S=16
5.代入(4)：16+T=40→T=24
得到五个数：
P=8，Q=27，R=15，S=16，T=24
比较大小：8<15<16<24<27
最小数是8，对应卡片编号P。
【详解】P
2.【解析】先化简各数，再正数直接比较，两个负数比较看绝对值，绝对值大的反而小，据此判断大小。
【详解】（1）先化简，-|- |=- ， -(- ) = ，因为正数大于负数，所以-|- | < -(- ) ；
（2）计算绝对值：|- |= = ，|- |= = ，因为 < ，所以 - > - ；
（3）化简得：-(-5)=5，-|-5|=-5，因此 -(-5) > -|-5|。
【综合拓展类作业】
1.【解析】题目给出绝对值的几何意义：|x|表示数轴上数x到原点的距离，|x-y|表示数轴上x、y两点间的距离。在此基础上，要比较|a|+|b|与|a+b|的大小，并总结规律。
因为a、b是任意有理数，没有固定数值，所以采用分类讨论思想，按照a、b的符号分情况举例计算对比。
(1) 比较|a|+|b|和|a+b|的大小
情况1：a，b同号（同为正数或同为负数）
① 若a、b都是正数，取a=2，b=5
|a|+|b|=|2|+|5|=2+5=7
|a+b|=|2+5|=|7|=7
∴|a|+|b|=|a+b|
② 若a、b都是负数，取a=-2，b=-5
|a|+|b|=|-2|+|-5|=2+5=7
|a+b|=|-2+(-5)|=|-7|=7
∴|a|+|b|=|a+b|
情况2：a，b异号（一个正数，一个负数）
取a=2，b=-5
|a|+|b|=|2|+|-5|=2+5=7
|a+b|=|2+(-5)|=|-3|=3
∴|a|+|b|>|a+b|
情况3：a、b中至少有一个数为0
取a=0，b=5
|a|+|b|=|0|+|5|=0+5=5
|a+b|=|0+5|=5
∴|a|+|b|=|a+b|
综合上面全部情况可得：|a|+|b|≥|a+b|。
(2) 归纳规律
对于任意两个有理数a、b，两数绝对值的和大于或等于两数和的绝对值，即|a|+|b|≥|a+b|。
等号成立条件：当a与b同号，或者a、b中至少有一个为0时，|a|+|b|=|a+b|；
当a与b异号时，|a|+|b|>|a+b|。
通俗理解：同号相加，绝对值直接叠加；异号相加，正负互相抵消，和的绝对值会变小。
【详解】(1) 分情况讨论：
① 当a和b同号时：若a、b都是正数，|a| + |b| = a + b = |a + b|；若a、b都是负数，|a| + |b| = -a - b = -(a + b) = |a + b|，此时|a| + |b| = |a + b|；② 当a和b异号时，不妨设a > 0，b < 0，则|a| + |b| = a - b，|a + b| = |a - |b||，此时显然有|a| + |b| > |a + b|；
③ 当a或b至少一个为0时，不妨设a=0，则|a| + |b| = 0 + |b| = |b| = |0 + b| = |a + b|，此时两者相等。
综上可得：|a| + |b| ≥ |a + b|；
(2) 规律：对于任意两个有理数a、b，两个数绝对值的和大于等于这两个数和的绝对值，当且仅当两个数同号（或至少一个数为0）时，等号成立。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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