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分课时学案
课题 21.3.1 一元二次方程的应用（1） 单元 21 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.数学建模：能把实际生活问题转化为一元二次方程数学模型，掌握面积模型、增长率（降低率）模型。 2.数学运算：熟练解实际问题列出的一元二次方程，准确计算，会对结果进行实际意义检验。 3.几何直观：通过图形平移，直观理解小道面积问题，体会转化思想，简化复杂图形计算。
重点 1.面积问题中理解图形平移转化思想，处理重叠部分面积，理解增长率、下降率模型； 2.根据实际情境对一元二次方程的两个根进行检验、取舍。
难点 1.会分析面积问题、增长率（降低率）问题，找出等量关系，列出一元二次方程； 2.掌握应用题解题完整步骤：审题→设未知数→列方程→解方程→检验实际意义→作答。
教学过程
导入新课 思考】 列一元一次方程解应用题的基本步骤是什么？
新知讲解 【问题1】学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道. 要使种植面积为540m，小道的宽应是多少 分析：问题中没有明确小道在试验田中的位置，如图，不难发现小道的占地面积与位置无关. 总结归纳 在应用一元二次方程解决实际问题时，与应用一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住等量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决. 求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的答案. 【问题2】某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，两次降价的百分率相同. 求每次降价的百分率. 分析：若每次降价的百分率为x，则第一次降价后的零售价为原来的(1-x)倍，即56(1-x)元，第二次降价后的零售价为56(1-x)元的(1-x)倍. 本题与讨论增长率问题中的数量关系是否相似？有什么不同？ 相似点： 不同点： 总结归纳 一元二次方程解实际问题完整步骤： ①审：读懂题意，找等量关系； ②设：合理设未知数； ③列：根据等量关系列一元二次方程； ④解：选用合适方法解方程； ⑤验：检验根是否满足方程，同时检验是否符合现实意义，舍去不合理根； ⑥答：写出完整作答。 注意：一元二次方程应用题，检验是必不可少的一步。
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1. 如图，观光茶园有一块正方形的空地，计划将其改造为矩形平台(空白部分)，搭建一个休息亭，剩余区域建造宽为1 m和2 m的小路(阴影部分)，供游客活动，若平台的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(　　). A.(x-1)(x-2)=18 B.x2-3x+16=0 C.(x+1)(x+2)=18 D.x2+3x+16=0 2.如图，观光茶园计划在一块长为60 m，宽为40 m 的矩形观赏游乐区的四周修建同样宽度的通道，设通道宽为a m．若通道所占面积与观赏游乐区的面积相等，则此时通道的宽度为__10m______． 3. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是( ) A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60 C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60 4. 香云纱作为广东省佛山市特产，被纺织界誉为“软黄金”，在某网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价________元. 【知识技能类作业】选做题： 5. 如图，为方便游客停车，观光茶园设计了如下的停车场平面示意图(示意图为矩形)，停车场外围的长为30 m，宽为19 m，若停车位总占地面积为390 m2，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 6.俗语有云:“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是在学习知识和技艺后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为( ). A.20.3% B. 25.2% C.29.3% D.50% 【综合拓展类作业】 7. 阅读素材，完成下列问题． 素材1：某商店销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 素材2：为了扩大销售，增加利润并尽快减少库存，商店决定降价销售.经调查发现，每件衬衫每降价1元，商店平均每天可多售出2件. (1)若商店销售该衬衫平均每天要获得利润1 200元，则每件衬衫应降价多少元？ (2)商店销售该衬衫平均每天获得的利润有可能是1 500元吗？请说明理由．
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，点点所在社区将举办广场舞比赛，在一块正方形绿地上搭建临时舞台(阴影部分)．若舞台中间空白部分的面积为216 m2，则正方形绿地的边长为(　　) A．24 m B．20 m C．18 m D．16 m 2. 某景点的参观人数逐年增加，据统计，2025年为10.8万人次，2026年为16.8万人次，设参观人次的平均年增长率为x，则(　　) A．10.8(1＋x)＝16.8 B．16.8(1－x)＝10.8 C．10.8(1＋x)2＝16.8 D．10.8[(1＋x)＋(1＋x)2]＝16.8 3.如图所示，某景区计划在一个长为36 m，宽为20 m的矩形空地上修建一个停车场，其中阴影部分为三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为336 m2，空白部分为宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少？ 4. 某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（　　） A．8% B．9% C．10% D．11% 【综合拓展类作业】 5.水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利润)10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克． (1)若以每千克能盈利18元的单价出售，问每天的总毛利润为多少元？ (2)现市场要保证每天总毛利润6 000元，同时又要使顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？
答案：
引新
【思考】
列一元一次方程解应用题的基本步骤是什么？
①审题；②设未知数；③列方程；
④解方程；⑤检验；⑥作答.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 如图，观光茶园有一块正方形的空地，计划将其改造为矩形平台(空白部分)，搭建一个休息亭，剩余区域建造宽为1 m和2 m的小路(阴影部分)，供游客活动，若平台的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(　A　).
A.(x-1)(x-2)=18
B.x2-3x+16=0
C.(x+1)(x+2)=18
D.x2+3x+16=0
2.如图，观光茶园计划在一块长为60 m，宽为40 m 的矩形观赏游乐区的四周修建同样宽度的通道，设通道宽为a m．若通道所占面积与观赏游乐区的面积相等，则此时通道的宽度为__10m______．
3. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是( B )
A.80(1-x2)=60
B.80(1-x)2=60
C.80(1-x)=60
D.80(1-2x)=60
4. 香云纱作为广东省佛山市特产，被纺织界誉为“软黄金”，在某网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价_____80___元.
【知识技能类作业】选做题：
5. 如图，为方便游客停车，观光茶园设计了如下的停车场平面示意图(示意图为矩形)，停车场外围的长为30 m，宽为19 m，若停车位总占地面积为390 m2，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽．
解：设车道的宽为x m，
根据题意，得(30－x)(19－x)＝390，
解得x1＝4，x2＝45(不符合题意，舍去)．
答：车道的宽为4 m.
6.俗语有云:“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是在学习知识和技艺后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为( C ).
A.20.3% B. 25.2% C.29.3% D.50%
【综合拓展类作业】
7. 阅读素材，完成下列问题．
素材1：某商店销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.
素材2：为了扩大销售，增加利润并尽快减少库存，商店决定降价销售.经调查发现，每件衬衫每降价1元，商店平均每天可多售出2件.
(1)若商店销售该衬衫平均每天要获得利润1 200元，则每件衬衫应降价多少元？
解：设每件衬衫应降价x元．
根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200，
解得x1＝10，x2＝20.
因为要尽快减少库存，所以x＝20.
答：每件衬衫应降价20元．
(2)商店销售该衬衫平均每天获得的利润有可能是1 500元吗？请说明理由．
解：不可能．理由如下：
当(40－x)(20＋2x)＝1 500时，
整理，得x2－30x＋350＝0.
因为b2－4ac＝－500<0，所以该方程无实数根，
所以商店销售该衬衫平均每天获得的利润不可能是1 500元．
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，点点所在社区将举办广场舞比赛，在一块正方形绿地上搭建临时舞台(阴影部分)．若舞台中间空白部分的面积为216 m2，则正方形绿地的边长为(　A　)
A．24 m
B．20 m
C．18 m
D．16 m
2. 某景点的参观人数逐年增加，据统计，2025年为10.8万人次，2026年为16.8万人次，设参观人次的平均年增长率为x，则(　C　)
A．10.8(1＋x)＝16.8
B．16.8(1－x)＝10.8
C．10.8(1＋x)2＝16.8
D．10.8[(1＋x)＋(1＋x)2]＝16.8
3.如图所示，某景区计划在一个长为36 m，宽为20 m的矩形空地上修建一个停车场，其中阴影部分为三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为336 m2，空白部分为宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少？
解：设行车通道的宽度为x m.
根据题意，得(36－4x)(20－2x)＝336.
整理，得x2－19x＋48＝0.
解得x1＝3，x2＝16(不合题意，舍去)．
答：行车通道的宽度是3 m.
4. 某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（　C　）
A．8% B．9% C．10% D．11%
【综合拓展类作业】
5.水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利润)10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克．
(1)若以每千克能盈利18元的单价出售，问每天的总毛利润为多少元？
解：(1)设每千克盈利x元，可售y千克，则y＝500－20(x－10)＝－20x＋700，
当x＝18时，y＝340，则每天的毛利润为18×340＝6 120元；
(2)现市场要保证每天总毛利润6 000元，同时又要使顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？
(2)由题意得x(－20x＋700)＝6 000，解得x1＝20，x2＝15，
∵要使顾客得到实惠，应选x＝15，∴每千克应涨价15－10＝5元；
(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5 100元，则每千克应涨价多少元？
(3)由题意，得
x(-20x+700)-10%x(-20x+700)-0.9(-20x+700)-102＝5 100，
解得x1＝x2＝18，则每千克应涨价18－10＝8元．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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