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分课时学案
课题 21.3.2 一元二次方程的应用（2） 单元 21 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 数学建模：能把折叠几何问题、产值增长、销售利润实际情境转化为一元二次方程模型，挖掘复杂情境下等量关系。 几何直观：结合折纸图形，想象折叠前后边长变化，理解裁剪、折叠之后长方体底面、侧面积的表达式。 数学运算：熟练解方程，完成表格数据计算，能结合实际意义对根进行检验取舍。
重点 1.掌握折叠长方体面积问题，正确列出一元二次方程，求解剪去小正方形边长； 2.掌握 “翻一番” 等倍数关系的增长率拓展问题；
难点 1.折叠问题中准确分析折叠之后底面边长、侧面积代数式； 2.通过表格探究变量的动态变化，初步感知函数最值；
教学过程
导入新课 【思考】 列一元二次方程解实际应用题的一般步骤是什么？ 列一元二次方程解实际应用题的步骤中，最容易忽略哪一步？
新知讲解 【问题3】小明把一张边长为10dm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图所示. (1)如果要求长方体的底面积为81dm2，那么剪去的正方形边长为多少 (2)如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化 折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化 观察表格数据：剪去的正方形边长随着底面积从81减小到9，边长从0.5逐渐增大到3.5，侧面积从18增加到50，然后又减小到42。 结论：随着底面积减小，剪去的正方形边长逐渐增大；侧面积先增大后减小。 【探索】在你观察到的变化中，你认为折叠而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况 先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，看看与你的感觉是否一致. 【问题4】某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的年平均增长率应为多少
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1. 在一幅长为70cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的边框，制成一幅面积是4000cm2的挂图，设边框的宽为x cm，可列方程为( ) . A.(70+2x)(40+2x)=4 000 B.(70+2x)(40-2x)=4 000 C.(70-2x)(40+2x)=4 000 D.(70-2x)(40-2x)=4 000 2.如图，一块长和宽分别为60cm和40cm的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800cm2，则截去小正方形的边长为( ). A.8 cm B.10 cm C.6 cm D.7 cm 3. 安阳市滑县道口镇特产道口烧鸡非常有名，某超市道口烧鸡供不应求，经过两次涨价，由每千克16元上涨到每千克25元．若两次涨价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为(　　). A. 16(1＋x)2＝25 B. 16(1－x)2＝25 C. 16(1+x2)=25 D. 16(1+2x)=25 4. 河南是著名的“茶乡”之一，信阳毛尖产业十分兴旺．据了解，某品牌信阳毛尖3月份销售额为50万元，此后每月销售额按相同的增长率增长，3～5月份累计销售收入为200万元．设销售额的增长率为x，则可列方程为 ． 【知识技能类作业】选做题： 5. 如图，在一幅长80 cm，宽50 cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是(　　). A．x2＋130x－1 400＝0 B．x2－65x－350＝0 C．x2－130x－1 400＝0 D．x2＋65x－350＝0 6.某商店以每件25元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%，若每件商品的售价为a元，则可卖出(400－10a)件．若商店计划盈利500元，则每件商品应定价为(　　). A．30元 B．32.5元 C．30元或35元 D．35元 【综合拓展类作业】 7. 如图，若准备利用一处墙角EAF和长度为28m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD，花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其他两边BC，CD由剩下的篱笆围成. 若AF=8m，AE=4m，矩形花圃的面积为75m2，求花圃边BC的长度.
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，第二个月销售量的增长率为x，则可列出的方程是( 　). A．a(1＋x)2＝3a B．a(1＋2x)2＝3a C．a(1＋2x)(1＋3x)＝3a D．a(1＋x)(1＋2x)＝3a 2.从正方形铁片上截去2cm宽的一条长方形铁片，余下部分的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是( ). A. 96cm2 C. 54cm2 B. 64cm2 D. 52cm2 【知识技能类作业】选做题： 3.为了减轻百姓医疗负担，河南某制药厂将一种本地特色中草药的价格逐年降低．前年这种药物每盒的价格为200元，今年该种药物每盒的价格为98元．求前年到今年这种药物每盒的价格的年平均下降率； 【知识技能类作业】选做题： 4. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为( ) A. (30-2x)(40-x)=600 B. (30-x)(40-x)=600 C. (30-x)(40-2x)=600 D. (30-2x)(40-2x)=600 【综合拓展类作业】 5.商场销售某种商品，每件的进价为200元，每件的售价为250元，平均每天售出30件，经调查发现：当每件商品售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2 100元？
答案：
引新
【思考】
列一元二次方程解实际应用题的一般步骤是什么？
①审：读懂题意，找等量关系；②设：合理设未知数；
③列：根据等量关系列一元二次方程；
④解：选用合适方法解方程；
⑤验：检验根是否满足方程，同时检验是否符合现实意义，舍去不合理根；
⑥答：写出完整作答。
列一元二次方程解实际应用题的步骤中，最容易忽略哪一步？
最容易忽略检验这一步。
因为不光要检验是不是方程的解，更要检验根符不符合现实生活，把不符合题意的根舍去，这是一元二次方程应用题和一元一次方程应用题最大的区别
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 在一幅长为70cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的边框，制成一幅面积是4000cm2的挂图，设边框的宽为x cm，可列方程为( A ) .
A.(70+2x)(40+2x)=4 000
B.(70+2x)(40-2x)=4 000
C.(70-2x)(40+2x)=4 000
D.(70-2x)(40-2x)=4 000
2.如图，一块长和宽分别为60cm和40cm的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800cm2，则截去小正方形的边长为( B ).
A.8 cm
B.10 cm
C.6 cm
D.7 cm
3. 安阳市滑县道口镇特产道口烧鸡非常有名，某超市道口烧鸡供不应求，经过两次涨价，由每千克16元上涨到每千克25元．若两次涨价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为(　A　).
A. 16(1＋x)2＝25
B. 16(1－x)2＝25
C. 16(1+x2)=25
D. 16(1+2x)=25
4. 河南是著名的“茶乡”之一，信阳毛尖产业十分兴旺．据了解，某品牌信阳毛尖3月份销售额为50万元，此后每月销售额按相同的增长率增长，3～5月份累计销售收入为200万元．设销售额的增长率为x，则可列方程为50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝200．
【知识技能类作业】选做题：
5. 如图，在一幅长80 cm，宽50 cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是(　D　).
A．x2＋130x－1 400＝0
B．x2－65x－350＝0
C．x2－130x－1 400＝0
D．x2＋65x－350＝0
6.某商店以每件25元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%，若每件商品的售价为a元，则可卖出(400－10a)件．若商店计划盈利500元，则每件商品应定价为(　A　).
A．30元 B．32.5元
C．30元或35元 D．35元
【综合拓展类作业】
7. 如图，若准备利用一处墙角EAF和长度为28m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD，花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其他两边BC，CD由剩下的篱笆围成. 若AF=8m，AE=4m，矩形花圃的面积为75m2，求花圃边BC的长度.
解：设边BC的长度为xm.
∵矩形周长为28+8+4=40(m)，
∴CD=( 20-x )m.
由题意知，x( 20-x )=75，整理，得x2-20x+75=0，
解得x1=5，x2=15.
又∵AF=8m，∴x= 15.
答：花圃边BC的长度为15m.
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，第二个月销售量的增长率为x，则可列出的方程是(　D　).
A．a(1＋x)2＝3a B．a(1＋2x)2＝3a
C．a(1＋2x)(1＋3x)＝3a D．a(1＋x)(1＋2x)＝3a
2.从正方形铁片上截去2cm宽的一条长方形铁片，余下部分的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是( B ).
A. 96cm2 C. 54cm2 B. 64cm2 D. 52cm2
【知识技能类作业】选做题：
3.为了减轻百姓医疗负担，河南某制药厂将一种本地特色中草药的价格逐年降低．前年这种药物每盒的价格为200元，今年该种药物每盒的价格为98元．求前年到今年这种药物每盒的价格的年平均下降率；
解：设前年到今年这种药物每盒的价格的年平均下降率为x，
根据题意，得200(1－x)2＝98，
解得x1＝0.3＝30%，x2＝1.7(不符合题意，舍去)．
答：前年到今年这种药物每盒的价格的年平均下降率为30%.
【知识技能类作业】选做题：
4. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为( D )
A. (30-2x)(40-x)=600
B. (30-x)(40-x)=600
C. (30-x)(40-2x)=600
D. (30-2x)(40-2x)=600
【综合拓展类作业】
5.商场销售某种商品，每件的进价为200元，每件的售价为250元，平均每天售出30件，经调查发现：当每件商品售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2 100元？
解：设每件商品降价x元，则现在每件的利润是(250－x－200)元，平均每天售出的数量是(30＋2x)件，
根据题意，得(250－x－200)(30＋2x)＝2 100，
解得x1＝20，x2＝15，因为要让顾客得到更多的实惠，
所以x＝20，即每件商品降价20元．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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