资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
分课时学案
课题 数学活动 运用化归的思想方法解决问题 单元 21 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 逻辑推理：辨析新旧方程的联系，推理转化路径，解释 “如何把陌生问题变为已学问题”； 数学建模：从面积、航行实际情境提取等量关系，建立方程模型，借助化归完成求解； 数学运算：规范整式方程、分式方程组求解步骤，落实验根、取舍不合理解的习惯。
重点 1.理解化归思想的含义，梳理初中方程学习中化归思想的典型应用案例； 2.掌握两道例题的转化方法：矩形面积问题转化为一元二次方程求解、航行问题转化为二元一次方程组求解；
难点 1.主动设计转化路径：自主思考 “把当前复杂方程转化为哪一类已学方程”； 2.航行问题中顺水速度、逆水速度的等量关系梳理，分式方程组验根环节。
教学过程
导入新课 【思考】 解一元二次方程时，因式分解法为什么要写成两个一次式乘积等于 0？本质在做什么？
新知讲解 探究化归思想： 将一个问题由难化易，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称. 化归的思想方法是数学学习的一项重要内容，它不仅是一种重要的解题方法，也是一种基本、有效的数学思维方式. 将未解决的问题通过变换，转化为已解决的问题，这样的过程伴随着我们学习的全过程. 例如，一元二次方程的各种解法，都是通过相应的方法，将方程转化为我们熟悉的一元一次方程来解答的。 请同学们一起回忆和交流一下，进入中学学习以来，在有关方程知识的学习中是否还运用过化归的思想方法 【例1】学校原有矩形操场的面积为4000m2. 调整校园布局时，将操场的一边增加了10m，另一边减少了10m，操场面积增加了200m2.求原有操场两边的长. 【例2】轮船在同一条河流内顺流航行105km，逆流航行60km，共用9h；顺流航行84km，逆流航行45km，共用7h.求轮船在静水中的航行速度和水流速度. 总结归纳 运用化归的思想方法解决问题的步骤： ①审题：识别陌生复杂问题； ②构思：寻找转化目标（哪一类已学方程）； ③变形：去分母、换元、降次等手段转化； ④求解：解熟悉的旧方程； ⑤验根：方程层面 + 现实层面双重检验； ⑥作答。
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( ). A.(a+3)2=a2+6a+9 B.a2-4a+4=a(a-4)+4 C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y) D. a2-2a-8=(a-2) (a+4) 2.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min. 甲地到乙地全程是多少 小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程 ，则另一个方程正确的是（ ）. 3.解方程：(x-1)2-4(x-1)+4=0 【知识技能类作业】选做题： 4.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为( ). A.100×80-100x-80x=7644 B.(100-x)(80-x)+x2=7644 C.(100-x)(80-x)=7644 D.100x +80x=356 5.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2026-a-b的值是（ ）. A．2021 B．2020 C．2030 D．2031 6.已知m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m2+mn+n2的值为( ). A．﹣1 B．9 C．23 D．27 【综合拓展类作业】 7.设x1，x2是方程x2-x-2025=0的两实数根，则x2+2026x2-2025的值为多少？
答案：
引新
【思考】
解一元二次方程时，因式分解法为什么要写成两个一次式乘积等于 0？本质在做什么？
解一元二次方程时，因式分解法要写成两个一次式乘积等于0的形式，本质是将二次方程降次为一元一次方程求解。若两个一次式的乘积为0，则至少其中一个一次式的值为0，由此可将原方程拆分为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( C ).
A.(a+3)2=a2+6a+9
B.a2-4a+4=a(a-4)+4
C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y)
D. a2-2a-8=(a-2) (a+4)
2.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min. 甲地到乙地全程是多少
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程 ，则另一个方程正确的是（ B ）.
3.解方程：(x-1)2-4(x-1)+4=0
解：设x-1=y，则原方程可化为y2-4y+4=0，
即(y-2)2=0，
解得y=2，
∴x-1=2，解得x=3.
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为( B ).
A.100×80-100x-80x=7644
B.(100-x)(80-x)+x2=7644
C.(100-x)(80-x)=7644
D.100x +80x=356
5.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2026-a-b的值是（ D ）.
A．2021 B．2020
C．2030 D．2031
6.已知m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m2+mn+n2的值为( D ).
A．﹣1 B．9
C．23 D．27
【综合拓展类作业】
7.设x1，x2是方程x2-x-2025=0的两实数根，则x2+2026x2-2025的值为多少？
解：∵x2-x-2025=0，∴x2=x+2025，x2-x=2025.
又∵x1，x2是方程x2-x-2025=0的两实数根，∴x1+x2=1。
∴x13+2026x2-2025
=x1·x12+2026(1-x1)-2025
=x1·x12-2026x1+1
=x1·(x+2025)-2026x1+1
=x12-x1+1=2025+1=2026。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑