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大连市普兰店区第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（C）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。
4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第I卷(选择题)
一、单项选择题(本大题共8小题,每题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1．已知复数，则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．已知，则( )
A. B. C. D.
3．已知扇形的半径为2，面积为1，则该扇形圆心角的弧度数为( )
A. B.1 C. D.2
4．已知向量，，若，则实数x的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
5．设l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
6．在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7．测量河对岸的塔高时可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高( )
A. B. C. D.
8．已知点是函数的图象的一个对称中心，则ω的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题.每题6分.共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.)
9．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.
B.函数的图象关于点中心对称
C.函数在上单调递增
D.在上有3个实根
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是( )
A.若是钝角三角形，则
B.若是锐角三角形，则
C.若，则一定是等腰三角形
D.若，则是钝角三角形
11．在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，E，F，G，H分别为，，，上的点，，，，，若P为线段上一动点，则( )
A.
B.三棱锥的体积为定值
C.平面平面
D.以D为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
第II卷(非选择题)
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分，共15分.)
12．已知复数z满足，则____________.
13．在斜中，若，则____________.
14．已知三棱锥中，是直角三角形，为的中点，，，，，则三棱锥外接球的表面积为__________.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15．（13分）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；
(2)当时，求的单调递增区间和最值.
16．（15分）已知向量，，.
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若为锐角，求实数m的取值范围.
17．（15分）如图，正四棱柱中，，，点P为的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
18．（17分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
(1)证明：；
若D为边的中点，且，求的面积；
(2)求.
19．（17分）如图所示，在五面体中，四边形为矩形，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的大小；
(3)(i)求五面体外接球的半径；
(ii)求五面体内部能转动的最大球的半径.
参考答案
1．答案：D
解析：由已知得，∴z在复平面内对应的点的坐标为，
该点在第四象限.
故选：D
2．答案：B
解析：因为，
所以.
3．答案：A
解析：设该扇形的圆心角弧度数为，已知扇形半径，面积，
根据扇形面积公式，将已知条件代入可得： ， 化简得，解得，
所以，该扇形圆心角的弧度数为.
4．答案：A
解析：因为向量，，则，
若，则，解得.
5．答案：C
解析：若，，则α、β平行或相交，故A错误；
若，则l与平面α无公共点，即l与平面α内的直线无公共点.
对，则或l与m异面，故B错误；
若，，则，所以C正确；
若，，则或，所以D错误.
6．答案：A
解析：由于，
所以，，
设E，F分别是的中点，连接，则，
所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角），
在中，，，
所以，
所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为.
7．答案：A
解析：在中，，
由正弦定理， 得.
在中，，，
所以.
8．答案：D
解析：因为，
且点是函数的图象的一个对称中心，
所以，解得，
因为且，故当时，ω取最小值.
9．答案：ACD
解析：对于A：因为函数的最小正周期为，所以，故A正确；
对于B：当时，为的最大值，
所以关于直线对称，故B错误；
对于C：当时，，因为余弦函数在单调递增，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D：令，得，因为，所以，
所以或或，
则或或，即在上有3个实根，故D正确.
10．答案：ABD
解析：选项A：钝角三角形中只有一个角为钝角，钝角的余弦值为负，其余两个锐角的余弦值为正，
因此三者乘积为负，即，故A正确；
选项B：因为锐角三角形中，则，
函数在上单调递增，因此，
同理可得，两式相加得，故B正确；
选项C：由正弦定理，代入得，
整理得，且，因此或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，并非一定是等腰三角形，故C错误；
选项D：由正弦定理，代入，
化简整理得，即，
由余弦定理得，，所以，因此是钝角三角形.
11．答案：ABD
解析：在直四棱柱中，，，，
则，，均为正三角形，
对于A，连接，由平面，平面，得，
而，因此，A正确；
对于B，取的中点N，连接，，由，，得，
则，，由，同理，，
于是，，四边形是平行四边形，，而平面，
平面，则平面，由，，得，
，同理平面，又，平面，
因此平面平面，而平面，则平面，
线段上的点P到平面的距离是定值，而面积是定值，
则三棱锥的体积为定值，B正确；
对于C，依题意，，，，
取的中点O，连接，，则，，是二面角的平面角，
又，则，，，
即不是直角，因此平面与平面不垂直，C错误；
对于D，取中点M，连接，则，而平面，
于是，又，平面，则平面，
以D为球心，为半径的球面与侧面的交线是以M为圆心，为半径的圆弧，
令该圆弧交，分别于Q，T，于是，，
该圆弧所对圆心角，弧长为，D正确.
12．答案：5
解析：设，则，，
所以，根据复数相等的定义，得，即.
所以，，因此.
13．答案：3
解析：因为，
且在斜中
所以
14．答案：
解析：
设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接，，，
如图，因为是直角三角形，，
所以是以角A为直角的直角三角形，所以为圆的直径，
所以.
因为，，，
所以，
得，
所以，故.
因为，为的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
所以三棱锥外接球的球心O在直线上，且.
在中，，所以，解得，
所以三棱锥外接球的表面积为：，
故三棱锥外接球的表面积为.
15．答案：(1)最小正周期为，对称轴方程为.
(2)单调递增区间为；最大值为1，最小值为.
解析：(1)，
则函数的最小正周期为，
令，，得，，
故的对称轴方程为，；
(2)若，则，
则当，即时，有最小值；
当，即时，有最大值1；
令，得，则的单调递增区间为
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，，，
所以，，
因为A，B，C三点共线，所以与共线，
所以，解得.
所以实数m的值
(2)因为向量，，，
所以，，
因为为锐角，
所以且与不共线，即，解得且，
所以，实数m的取值范围是
17．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)由正四棱柱的性质，可知，，两两垂直.
所以以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系.

，，，，，，，
，，，，
设平面法向量为，则
，
取其中一组解得.
设平面法向量为，则
取其中一组解得.
因为，
所以，即平面平面.
(2)因为，
设平面法向量为，则
，
取其中一组解得.
由题可知二面角所夹角为锐角，故二面角的余弦值大于0.
所以二面角的余弦值为.
18．答案：(1)证明见解析；的面积为
(2)2
解析：(1)由，得，
所以，
所以，
所以，又因为，所以，
所以，所以，所以，
所以，解得，或，
又，所以，所以，所以，
所以；
若D为边的中点，则，
所以，
又，所以，所以，
由余弦定理得，所以，
所以，解得，
所以的面积为.
(2)由(1)得，，
由正弦定理可得，
所以，.
又因为，所以，
所以，
所以，，
所以
，
所以，
所以，
所以.
19．答案：(1)见解析
(2)
(3)(i)；(ii)
解析：(1)由四边形为矩形，得，而平面，
平面，则平面，又平面平面，
平面，因此，又，，，
则四边形与四边形是全等的等腰梯形，取，，的中点M，NP，
连接，，，则，，，
是平面与平面所成的角，，
，因此，，
所以平面平面.
(2)由(1)知，，则是平面与平面所成的角，
又是以，为腰的直角三角形，因此，
所以平面与平面所成角的大小为.
(3)(i)取的中点H，连接，由(1)得，平面，
而平面，则，又，平面，
于是平面，，取中点O，连接，，，
由(1)知，同理，而，
，则，同理，
所以五面体外接球的球心为O，球半径为.
(ii)过直线、直线与直线都垂直的平面截五面体得直三棱柱，
该直三棱柱的高为6，当球与该直三棱柱的两底面都相切时，球半径为3，
显然当球与平面及平面都相切时，球半径大于3；
当球与两两相交的三个平面、平面、平面都相切时，
该球的截面大圆半径等于等腰的内切圆半径r，
由，得，而，
所以五面体内部能转动的最大球的半径为.

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