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湘教版（2024）九年级上册 1.6 相似三角形的应用 题型专练
【题型1】利用相似三角形测高
【典例】如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝1 m，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝10 m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝2 m，小明身高EF＝1.7 m，则凉亭的高度约为（　　）
A.8.5 m B.9 m C.9.5 m D.10 m
【举一反三1】如图所示，某同学用如下方法测量教学楼AB的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝21 m，当他与镜子的距离CE＝2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为1.6 m，则教学楼AB的高度为（　　）
A.13.44 m B.32.8125 m C.84 m D.32.8 m
【举一反三2】如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4 cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6 cm，该凸透镜的焦距OF为10 cm，AE∥OF，则像CD的高为（　　）
A.15 cm B.14.4 cm C.13.5 cm D.9 cm
【举一反三3】为测量旗杆的高度，小辉的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.6米，EF＝0.3米，目测点D到地面的距离DG＝1.7米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为　　米．
【举一反三4】在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点C处的镜子中看到教学楼的顶部D时，测得小南的眼睛与地面的距离AB＝1.6 m，同时测得BC＝2.4 m，CE＝9.6 m，则教学楼高度DE＝　　m．
【举一反三5】在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5 m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2 m，已知此时高1.2 m的竹竿在水平地面上的影子长1 m，那么这棵大树高度是多少？
【举一反三6】咸阳奥体中心（图1）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意．最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果．小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图2，他拿着一根长为20 cm的木棒CD站在离咸阳奥体中心100 m的地方（即点E到AB的水平距离为100 m）．他把手臂向前伸，木棒竖直，CD∥AB，当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上）时，点E到木棒CD的距离为40 cm．已知AB⊥BF，EF⊥BF，求咸阳奥体中心的高度AB．
【题型2】利用相似三角形测距离
【典例】如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙1.6米，梯上点D距墙1.4米，BD长0.55米，则梯子长为（　　）
A.3.85米 B.4.00米 C.4.40米 D.4.50米
【举一反三1】如图，小明同学自制了一个小孔成像装置，其中直筒的长度为10 cm．他准备了一支长为15 cm的蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，蜡烛应放在距离直筒（　　）cm远的地方．
A.10 B.15 C.20 D.30
【举一反三2】为测量被荷花池相隔的两树A，B的距离，数学活动小组设计了如图所示的测量方案：在AB的垂线AP上取两点C，E，再定出AP的垂线FE，使F，C，B在一条直线上．其中三位同学分别测量出了三组数据：①AC，BC ②AC，CE ③EF，CE，AC．能根据所测数据，求得A，B两树距离的是（　　）
A.② B.①② C.②③ D.①③
【举一反三3】如图，小明在打网球时，他的击球高度AB＝2.4米，为使球恰好能过网（网高DC＝0.8米），且落在对方区域距网5米的位置P处，则他应站在离网　　米处．
【举一反三4】阅读与思考：凸透镜在我们的生活中有着广泛的应用，如照相机和望远镜等．凸透镜成像规律是一种光学定律．在光学中，由实际光线汇聚而成，且能在光屏上呈现的像称为实像．凸透镜成像公式也称高斯成像公式，其形式为．图1是蜡烛成像的光路图，其中f为焦距，u物距，v为像距．现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛AC发出的光线CE平行于直线AB，光线CE经过凸透镜MN后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中物距AO＝u，像距BO＝v，焦距OF＝f，四边形AOEC是矩形，DB⊥AB，MN⊥AB．
（1）请根据图2提供的信息，用所学数学知识证明高斯成像公式．
（2）若凸透镜的焦距为10 cm，把物体放在离凸透镜30 cm处时，所成的像离凸透镜的距离为　 　．
【题型3】相似三角形的其它应用
【典例】红星中学高二（2）班在布置“五．四”青年节联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条．如图所示：在Rt△ACB中，AC＝30 cm，BC＝40 cm．依此裁下宽度为1 cm的纸条，若使裁得的纸条的长都不小于5 cm，则能裁得的纸条的张数（　　）
A.24 B.25 C.26 D.27
【举一反三1】如图，是一块矩形场地ABCD，宽AB＝8 m，长BC＝12 m．若在其对角线AC，BD的延长线上取点E，F，G，H，扩建为新的矩形场地，左、右各增加了0.6 m，上、下各增加了x m，则x的值为（　　）
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
【举一反三2】如图，⊙O是温州某公园的一个圆形雕塑，在某一时刻，太阳照射下它的影子AB的长为5 m，此时，身高为1.5 m的小芳的影长为2 m，则这个圆形雕塑的半径为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在一块斜边长30 cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为　　．
【举一反三4】如图，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形上底PQ＝m，下底 MN＝n，现在计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻，为了节省费用，园艺师应该把哪两块地种植较便宜的花草？通过计算说明你的理由．
湘教版（2024）九年级上册 1.6 相似三角形的应用 题型专练（参考答案）
【题型1】利用相似三角形测高
【典例】如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝1 m，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝10 m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝2 m，小明身高EF＝1.7 m，则凉亭的高度约为（　　）
A.8.5 m B.9 m C.9.5 m D.10 m
【答案】C
【解析】由题意得：∠AGC＝∠FGE，AC⊥CE，FE⊥CE，
∴∠ACG＝∠FEG＝90°，
∴△ACG∽△FEG，
∴，
∴，
解得：AC＝8.5，
∵BC＝DE＝1 m，
∴AB＝AC+BC＝8.5+1＝9.5（m），
∴凉亭的高度约为9.5 m，
故选：C．
【举一反三1】如图所示，某同学用如下方法测量教学楼AB的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝21 m，当他与镜子的距离CE＝2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为1.6 m，则教学楼AB的高度为（　　）
A.13.44 m B.32.8125 m C.84 m D.32.8 m
【答案】A
【解析】依据题意，得∠DEF＝∠BEF，
∵∠DEF+∠DEC＝90°，∠BEF+∠BEA＝90°，
∴∠DEC＝∠BEA，
∵∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△BAE∽△DCE，
∴，即，
∴AB＝13.44 m，
故选：A．
【举一反三2】如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高AB为5.4 cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6 cm，该凸透镜的焦距OF为10 cm，AE∥OF，则像CD的高为（　　）
A.15 cm B.14.4 cm C.13.5 cm D.9 cm
【答案】C
【解析】由题意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∴AE＝OB＝6 cm，
∵AE∥OF，
∴△CAE∽△COF，
∴，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∴，
∴CD＝13.5 cm，
故选：C．
【举一反三3】为测量旗杆的高度，小辉的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.6米，EF＝0.3米，目测点D到地面的距离DG＝1.7米，到旗杆的水平距离DC＝18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为　　米．
【答案】10.7
【解析】依题意，∠ADC＝∠FDE，∠FED＝∠ACD＝90°，
∴△DEF∽△DCA，
∴，
∵DE＝0.6米，EF＝0.3米，DC＝18米，
∴（米），
∴AB＝AC+DG＝AC+BC＝10.7（米），
故答案为：10.7．
【举一反三4】在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点C处的镜子中看到教学楼的顶部D时，测得小南的眼睛与地面的距离AB＝1.6 m，同时测得BC＝2.4 m，CE＝9.6 m，则教学楼高度DE＝　　m．
【答案】6.4
【解析】由题意可知，AB∥DE，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∴，
解得DE＝6.4，
则教学楼高度DE＝6.4 m，
故答案为：6.4．
【举一反三5】在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5 m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2 m，已知此时高1.2 m的竹竿在水平地面上的影子长1 m，那么这棵大树高度是多少？
【答案】解：过D点作DE⊥AB于E点，如图，DE＝BC＝5 m，CD＝BE＝2 m，
根据题意得，
∴AE＝1.2DE＝1.2×5＝6（m），
∴AB＝AE+BE＝6+2＝8（m）．
答：这棵大树高度是8 m．
【举一反三6】咸阳奥体中心（图1）的设计理念是“鼎立咸阳”，建筑形体取九鼎之行、将士之甲、高台之意．最终形成绿坡高台、殿堂廊柱、屋面重檐的效果．小军想利用所学知识测量咸阳奥体中心的高度，如图2，他拿着一根长为20 cm的木棒CD站在离咸阳奥体中心100 m的地方（即点E到AB的水平距离为100 m）．他把手臂向前伸，木棒竖直，CD∥AB，当木棒两端恰好遮住奥体中心（即E、C、A在一条直线上，E、D、B在一条直线上）时，点E到木棒CD的距离为40 cm．已知AB⊥BF，EF⊥BF，求咸阳奥体中心的高度AB．
【答案】解：过点E作EM⊥CD，垂足为M，延长EM交AB于点N，
∵CD∥AB，
∴EN⊥AB，
由题意得：CD＝20厘米，EM＝40厘米，EN＝100米，
∵CD∥AB，
∴∠EDC＝∠EBA，∠ECD＝∠EAB，
∴△ECD∽△EAB，
∴，
∴，
解得：AB＝50，
∴善咸阳奥体中心的高度AB为50米．
【题型2】利用相似三角形测距离
【典例】如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙1.6米，梯上点D距墙1.4米，BD长0.55米，则梯子长为（　　）
A.3.85米 B.4.00米 C.4.40米 D.4.50米
【答案】C
【解析】因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，
即△ABC∽△ADE，则，
设梯子长为x米，则，
解得，x＝4.40．
故选：C．
【举一反三1】如图，小明同学自制了一个小孔成像装置，其中直筒的长度为10 cm．他准备了一支长为15 cm的蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，蜡烛应放在距离直筒（　　）cm远的地方．
A.10 B.15 C.20 D.30
【答案】D
【解析】如图：过点O作OE⊥AB，垂足为E，延长EO交CD于点F，
由题意得：EF⊥CD，AB∥CD，
∴∠OAB＝∠ODC，∠OBA＝∠OCD，
∴△OAB∽△ODC，
∴，
∴，
解得：OE＝30，
∴蜡烛应放在距离直筒30 cm远的地方，
故选：D．
【举一反三2】为测量被荷花池相隔的两树A，B的距离，数学活动小组设计了如图所示的测量方案：在AB的垂线AP上取两点C，E，再定出AP的垂线FE，使F，C，B在一条直线上．其中三位同学分别测量出了三组数据：①AC，BC ②AC，CE ③EF，CE，AC．能根据所测数据，求得A，B两树距离的是（　　）
A.② B.①② C.②③ D.①③
【答案】D
【解析】在①中，
∵AC⊥BC，
∴△ABC为直角三角形，
∴AB2＝BC2﹣AC2，可求解；
∵△ACB∽△ECF，
所以对应线段中至少有三条是已知的，
第②组中只有两条，所以不行；
第③组中，可根据求出AB的长．
故选：D．
【举一反三3】如图，小明在打网球时，他的击球高度AB＝2.4米，为使球恰好能过网（网高DC＝0.8米），且落在对方区域距网5米的位置P处，则他应站在离网　　米处．
【答案】10
【解析】设他应站在离网的x米处，
根据题意得：，
解得：x＝10．
故答案为：10．
【举一反三4】阅读与思考：凸透镜在我们的生活中有着广泛的应用，如照相机和望远镜等．凸透镜成像规律是一种光学定律．在光学中，由实际光线汇聚而成，且能在光屏上呈现的像称为实像．凸透镜成像公式也称高斯成像公式，其形式为．图1是蜡烛成像的光路图，其中f为焦距，u物距，v为像距．现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛AC发出的光线CE平行于直线AB，光线CE经过凸透镜MN后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中物距AO＝u，像距BO＝v，焦距OF＝f，四边形AOEC是矩形，DB⊥AB，MN⊥AB．
（1）请根据图2提供的信息，用所学数学知识证明高斯成像公式．
（2）若凸透镜的焦距为10 cm，把物体放在离凸透镜30 cm处时，所成的像离凸透镜的距离为　 　．
【答案】解：（1）∵∠CAO＝∠DBO＝90°，AC＝OE．
又∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD．
∴，
∴，
同理，△EOF∽△DBF．
∴．
∴．
∵AO＝u，BO＝v，OF＝f，
∴BF＝OB﹣OF＝v﹣f，
∴，
∴u（v﹣f）＝vf．
∴uv﹣uf＝vf．
∵uvf≠0，
∴等式两边同时除以uvf得．
∴．
（2）∵若凸透镜的焦距为10 cm，把物体放在离凸透镜30 cm处时，
即把f＝10 cm，u＝30 cm代入得，
∴v＝15 cm．
故答案为：15 cm．
【题型3】相似三角形的其它应用
【典例】红星中学高二（2）班在布置“五．四”青年节联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条．如图所示：在Rt△ACB中，AC＝30 cm，BC＝40 cm．依此裁下宽度为1 cm的纸条，若使裁得的纸条的长都不小于5 cm，则能裁得的纸条的张数（　　）
A.24 B.25 C.26 D.27
【答案】C
【解析】如图，设EF＝5 cm，
∵裁出的是矩形纸条，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB，
∴，即，解得AE＝3.75 cm，
∴CE＝AC﹣AE＝30﹣3.75＝26.25 cm，
∵裁得的纸条的长都不小于5 cm，
∴CE≤26.25 cm，
∵纸条宽度为1 cm，
∴CE最大是26 cm，
∴最多可以裁得的纸条的张数为26．
故选：C．
【举一反三1】如图，是一块矩形场地ABCD，宽AB＝8 m，长BC＝12 m．若在其对角线AC，BD的延长线上取点E，F，G，H，扩建为新的矩形场地，左、右各增加了0.6 m，上、下各增加了x m，则x的值为（　　）
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
【答案】C
【解析】由题意得，AD∥EH，AB∥EF，
∴△AOD∽△EOH，△AOB∽△EOF，
∴，，
∴，
∵左、右各增加了0.6米，上、下各增加了x米，AB＝8 m，BC＝12 m．
∴EH＝12+2×0.6＝13.2，EF＝8+2x，
∴，
解得：x＝0.4，
故选：C．
【举一反三2】如图，⊙O是温州某公园的一个圆形雕塑，在某一时刻，太阳照射下它的影子AB的长为5 m，此时，身高为1.5 m的小芳的影长为2 m，则这个圆形雕塑的半径为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图：连接EF，EB，根据光的直线传播及太阳的遥远程度可知BF∥AE，
∵EF⊥BF，EF⊥AE，
∴△EBF为直角三角形，
易得，△EBF∽△AEB①，
∵，解得，EB，
∴AE，
由①可得，，即，
解得，EF＝3，
故半径为3．
故选：D．
【举一反三3】如图，在一块斜边长30 cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为　　．
【答案】100 cm2
【解析】设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝2，
∴AC＝6，BC＝12，
∴剩余部分的面积12644100（cm2），
故答案为：100 cm2．
【举一反三4】如图，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形上底PQ＝m，下底 MN＝n，现在计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻，为了节省费用，园艺师应该把哪两块地种植较便宜的花草？通过计算说明你的理由．
【答案】解：∵△PMN和△QMN同底等高，
∴S△PMN＝S△QMN，
∴S3+S2＝S4+S2，
即：S3＝S4，
∵△POQ∽△NOM，
∴QO：OM＝PQ：MN＝m：n
∴S1：S2＝（OQ：OM）2＝m2：n2，
∴S2 S1，
∵S1：S3＝OQ：OM＝m：n，
∴S3 S1，
∴（S1+S2）﹣（S3+S4）＝S1 S1﹣2 S1＝S1（12 ）＝S1（1）2，
∵（1）2＞0，
∴S1+S2＞S3+S4，
即：应该选择S1与S2两块地种植便宜花草．

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