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2027届中考数学一轮复习 第四章图形的初步认识与三角形：等腰三角形 基础巩固
一、选择题
1.如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，按如下步骤作图．
第一步：作∠BAC的平分线AD交BC于点D；
第二步：作AD的垂直平分线EF，交AC于点E，交AB于点F；
第三步：连接DE．
则下列结论正确的是(　　)
A.DE∥AB B.EF平分AC C.CD＝DE D.CD＝BD
3.如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（　　）
A.4.5 B.5 C.6 D.9
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，若∠BAC＝80°，则∠ABC的度数为（　　）
A.23° B.20° C.50° D.100°
5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为（　　）
A.30° B.60° C.90° D.120°或60°
6.小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度.将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（　　）
A.2.2米 B.2.4米 C.2.6米 D.2.8米
7.如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（　　）
A.100° B.90° C.80° D.70°
9.在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ）
A. B. C. D.平分
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E，若AE＝5，BE＝1，则EC的长度为(　　)
A.3 B. C. D.
11.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（不含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A.5个 B.3个 C.2个 D.1个
12.如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB＝AC，连接OB，记∠C＝α，∠CBO＝β，则α，β满足的关系式为(　　)
A.2β﹣α＝90° B.2β﹣α＝180° C.β+α＝90° D.2a﹣β＝90°
13.是的中线同时平分，则一定是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
14.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④
15.如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（　　）
A.（7，3） B.（7，5） C.（5，5） D.（5，3）
二、填空题
16.如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为________．
17.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　　cm．
18.在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是_______．
19.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=2，D为BC的中点，AE=AB，则△EBD的面积为　　　　.
20.已知等腰△ABC的外心为点O，AO＝1，若其底边长是腰长的倍，则⊙O中劣弧的长为 　　．
三、解答题
21.如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接，则与l的位置关系是________．
22.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB.∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F.求证：
（1）△ABD是等边三角形；
（2）BE=AF.
23.如图，是的直径，点C在上，，过点C的切线交的延长线于点D．求证：．
24.如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧,交BC的延长线于E,连接DE,求证:CD＝CE.
25.如图，在△ABC中，BD，AE分别是AC，BC边上的高，它们相交于点F，且AF=BC.
求证：△ABD是等腰三角形.
2027届中考数学一轮复习 第四章图形的初步认识与三角形：等腰三角形 基础巩固（参考答案）
一、选择题
1.如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解．
解：依题意，，
∴是等边三角形．
∴．
∴的长为．
故选：D．
2.如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，按如下步骤作图．
第一步：作∠BAC的平分线AD交BC于点D；
第二步：作AD的垂直平分线EF，交AC于点E，交AB于点F；
第三步：连接DE．
则下列结论正确的是(　　)
A.DE∥AB B.EF平分AC C.CD＝DE D.CD＝BD
【答案】A
【解析】设AD，EF相交于点O，
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D；
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD的垂直平分线EF交AC于点E，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE
∴DE∥AB，故A是正确的；
∵AB＞AC＞BC，∠BAC的平分线AD，
∴CD≠BD，AD与BC不垂直，
∴EF与BC不平行，
∵点O是AD的中点，
∴E不是AC的中点，
故B，D是错误的；
∵DE∥AB，AB＞BC，
∴CD＜DE，
故C是错误的．
3.如图，在等边△ABC中，AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（　　）
A.4.5 B.5 C.6 D.9
【答案】C
【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，
∴CDAC，
∵AC＝AB＝4，
∴CD＝2，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，
∴∠CDE＝∠E，
∴CE＝CD＝2，
∵BC＝AB＝4，
∴BE＝BC+CE＝4+2＝6．
故选：C．
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，若∠BAC＝80°，则∠ABC的度数为（　　）
A.23° B.20° C.50° D.100°
【答案】C
【解析】∵AB＝AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝80°，
∴，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
故选：C．
5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为（　　）
A.30° B.60° C.90° D.120°或60°
【答案】D
【解析】当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°；
当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°；
综上可知，等腰三角形的顶角为120°或60°．
故选D．
6.小华新买了一条跳绳，如图1，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度.将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为（　　）
A.2.2米 B.2.4米 C.2.6米 D.2.8米
【答案】C
【解析】
如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=BC=0.5（米），
∵AD=1.2米，
∴AB=AC==1.3（米），
∴绳长为1.3×2=2.6（米）.
7.如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴.
故选：B.
8.如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（　　）
A.100° B.90° C.80° D.70°
【答案】A
【解析】∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠BAC＝140°，
∴∠B+∠C＝40°，
∴DM和EN分别垂直平分AB和AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝40°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝140°﹣40°＝100°．
故选：A．
9.在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ）
A. B. C. D.平分
【答案】B
【解析】解：当时，
∵点在上，
∴，
∴，
∴；故选项A不符合题意；
∵，
∴，不能得到；故选项B符合题意；
∵，
∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意；
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E，若AE＝5，BE＝1，则EC的长度为(　　)
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】根据作图可知CE⊥AB，
∵AE＝5，BE＝1，
∴AB＝6，
∵AB＝AC，
∴AC＝6，
根据勾股定理得EC＝＝．
11.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（不含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A.5个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE＝BC＝4，
∴AE＝＝3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：B．
12.如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB＝AC，连接OB，记∠C＝α，∠CBO＝β，则α，β满足的关系式为(　　)
A.2β﹣α＝90° B.2β﹣α＝180° C.β+α＝90° D.2a﹣β＝90°
【答案】D
【解析】∵AB＝AC，∠ACB＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∴∠CAB＝180°﹣2α，
连接OC，OA，
∵O为等腰三角形ABC的外心，
∴OB＝OA＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝β，
∴∠ACO＝∠ABO＝α﹣β，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠ABO＝∠BAO＝α﹣β，
∴∠CAB＝2(α﹣β)＝180°﹣2α，
∴2a﹣β＝90°．
13.是的中线同时平分，则一定是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【答案】D
【解析】
如图，过作于点，于点，
是的平分线，于，于，
，
是边的中线，
，
在和中，
，
，
．
，
是等腰三角形，
故选：D．
14.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④
【答案】D
【解析】①有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④三边都相等的三角形是等边三角形；
故选：D．
15.如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（　　）
A.（7，3） B.（7，5） C.（5，5） D.（5，3）
【答案】A
【解析】如图，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵B（6，0），
∴OB＝6，
由旋转的性质可知AO＝AC＝4，OB＝CD＝6，∠ACD＝∠AOB＝60°，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC＝OA＝4，∠ACO＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∴CE＝CD＝3，DE＝3，
∴OE＝OC+CE＝4+3＝7，
∴D（7，3），
故选：A．
二、填空题
16.如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为________．
【答案】##0.75
【解析】解：如图所示，过点作于，
在中，，
∴；
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当有最小值时，有最大值，
∴当有最小值时，有最小值，
∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为，
17.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　　cm．
【答案】π
【解析】如图，连接OE，OD，
∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠AEO＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD＝AB＝×6＝3(cm)，
∴的长为＝π(cm)．
18.在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是_______．
【答案】或
【解析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据，结合，得到为等边三角形，分点在点上方和点在点下方两种情况，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
过点作轴，则：，，
∴或，
设直线的解析式为，
∴当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
综上：或；
故答案为：或．
19.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=2，D为BC的中点，AE=AB，则△EBD的面积为　　　　.
【答案】
【解析】
如图，连接AD.
∵AB=AC，BD=CD=BC=，∠BAC=120°，
∴AD⊥BC，∠B=∠C=30°，
∴AB=2AD，
∵AB2=AD2+BD2，
∴AD=1，AB=2，
∴S△ABD=BD·AD=，
∵AE=AB，
∴BE=AB，
∴S△BED=S△ABD=.
20.已知等腰△ABC的外心为点O，AO＝1，若其底边长是腰长的倍，则⊙O中劣弧的长为 　　．
【答案】或
【解析】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为，
当AB为腰时，此时AB＝AC＝x，BC＝，如图，
∵O为等腰△ABC的外心，∴OA⊥BC，
∴∠AEB＝90°，BE＝＝，
在Rt△ABE中，sin∠BAE＝＝＝，
∴∠BAE＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴⊙O中劣弧的长为＝；
当AB为底边长时，如图，由上述可得∠ACO＝60°，∠ACB＝2∠ACO＝120°，
在⊙O取一点P，连接AP，BP，∵四边形APBC是⊙O内接四边形，
则∠APB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AOB＝2∠APB＝2×60°＝120°，
∴⊙O中劣弧的长为＝．
三、解答题
21.如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接，则与l的位置关系是________．
【答案】解：（1）在和中
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
22.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB.∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F.求证：
（1）△ABD是等边三角形；
（2）BE=AF.
【答案】
证明　（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形.
（2）∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD.
∵∠EDF=60°，
∴∠ADB=∠EDF，
∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE，
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE与△ADF中，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF.
23.如图，是的直径，点C在上，，过点C的切线交的延长线于点D．求证：．
证明：连接，则，
【答案】，
∴是等边三角形，
，
，
∵与相切于点，交的延长线于点，
，
，
，
，
．
24.如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧,交BC的延长线于E,连接DE,求证:CD＝CE.
【答案】证明：如图，∵BD为等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，∠1＝60°，
∴∠3＝30°，
由作图痕迹知，BD＝DE，
∴∠E＝∠3＝30°.
∵∠2+∠E＝∠1＝60°，
∴∠2＝∠E＝30°，
∴CD＝CE.
25.如图，在△ABC中，BD，AE分别是AC，BC边上的高，它们相交于点F，且AF=BC.
求证：△ABD是等腰三角形.
【答案】
证明　∵BD，AE分别是AC，BC边上的高，
∴BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BEF=∠ADF=90°，∠DBC+∠BFE=∠DAF+∠AFD=90°，
∵∠BFE=∠AFD，
∴∠DBC=∠DAF，
在△BCD和△AFD中，
∴△BCD≌△AFD（AAS），
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形.

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