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2027届中考数学一轮复习 第四章图形的初步认识与三角形：角平分线和垂直平分线 基础巩固
一、选择题
1.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（　　）
A.30° B.60° C.45° D.70°
2.如图，在中，，，平分，，如果，则的长是（ ）．
A. B. C. D.
3.如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点，作直线PQ，分别与AD，BC交于点M，N，连接BM，DN．若，．则四边形MBND的周长为（ ）
A. B. 5 C. 10 D. 20
4.如图，△ABC中，∠B＝35°，边AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，若BD＝AC，则∠C的大小为（　　）
A.65° B.70° C.75° D.80°
5.如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧相交于点D，E，经过点D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连结BN，则下列结论中，正确的是(　　)
A.AN＝NC B.AN＝BN C.MN＝BC D.BN平分∠ABC
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F;再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的度数为(　　)
A.60° B.65° C.70° D.75°
7.如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，按如下步骤作图．
第一步：作∠BAC的平分线AD交BC于点D；
第二步：作AD的垂直平分线EF，交AC于点E，交AB于点F；
第三步：连接DE．
则下列结论正确的是(　　)
A.DE∥AB B.EF平分AC C.CD＝DE D.CD＝BD
8.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为(　　)
A.2 B. C.1 D.无法确定
9.如图,OE平分∠AOB,EC⊥OB于点C,D为射线OA上的动点.若EC=2,则DE的最小值为()
A.1 B. C.2 D.3
10.如图，在中，，平分交于．若，且，则点到边的距离为（ ）
A.14 B.15 C.16 D.17
11.如图△ABC，直线MN为线段BC的垂直平分线，交AC于点D，连BD，若AD＝3，AC＝10，则BD长为（　　）
A.6 B.7 C.8 D.9
12.如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（ ）
A.垂直平分 B.点不一定在的角平分线上 C. D.若，则垂直平分
13.如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD＝BC，则点D在（　　）
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的中点
D.AB的垂直平分线上
14.下列作线段的垂直平分线的尺规作图，正确的是(　　)
A. B. C. D.
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为(　　)
A. B.3 C.4 D.5
二、填空题
16.如图，在中，为的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，若，，，则的面积为 ．
17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD＝　　.
18.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B＝∠ADB.若AB＝4,则DC的长是________.
19.[2021·成都]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内相交于点O；③作射线AO，交BC于点D.若点D到AB的距离为1，则BC的长为____.
20.如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.若BD＝5，CE＝3，则线段DE的长为____.
三、解答题
21.综合与实践
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为．
[操作与发现]
（）当为时，点的坐标为______；
当为时，点的坐标为______．
[猜想与证明]
（）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数）
（）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式．
[实践与运用]
（）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围．
22.如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）当的半径为2，时，求的值．
23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
(1)尺规作图：作 AB 的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E(不写作法，保留作图痕迹).
(2)在(1)的基础上，连结AD，若AD平分∠CAB，且∠B=30°，DE=3，求BC的长.
24.如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分．
25.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB,连结AE.
(1)求证:∠AEC=2∠B.
(2)若∠BAC=60°,EC=3,求BE的长.
2027届中考数学一轮复习 第四章图形的初步认识与三角形：角平分线和垂直平分线 基础巩固（参考答案）
一、选择题
1.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（　　）
A.30° B.60° C.45° D.70°
【答案】B
【解析】∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°．
故选：B．
2.如图，在中，，，平分，，如果，则的长是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
平分，，
又
故选：B．
3.如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点，作直线PQ，分别与AD，BC交于点M，N，连接BM，DN．若，．则四边形MBND的周长为（ ）
A. B. 5 C. 10 D. 20
【答案】C
【解析】四边形是矩形，
，
，
由作图过程可知，垂直平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
设，则，
在中，，即，
解得，
则四边形的周长为．
4.如图，△ABC中，∠B＝35°，边AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，若BD＝AC，则∠C的大小为（　　）
A.65° B.70° C.75° D.80°
【答案】B
【解析】∵点D在AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD＝35°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝35°+35°＝70°，
∵BD＝AC，
∴AD＝AC，
∴∠C＝∠ADC＝70°．
故选：B．
5.如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧相交于点D，E，经过点D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连结BN，则下列结论中，正确的是(　　)
A.AN＝NC B.AN＝BN C.MN＝BC D.BN平分∠ABC
【答案】B
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F;再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的度数为(　　)
A.60° B.65° C.70° D.75°
【答案】B
【解析】 ∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－40°＝50°.
由作图知，AP平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝×50°＝25°.
又∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴∠ADC＝40°＋25°＝65°.
7.如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，按如下步骤作图．
第一步：作∠BAC的平分线AD交BC于点D；
第二步：作AD的垂直平分线EF，交AC于点E，交AB于点F；
第三步：连接DE．
则下列结论正确的是(　　)
A.DE∥AB B.EF平分AC C.CD＝DE D.CD＝BD
【答案】A
【解析】设AD，EF相交于点O，
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D；
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD的垂直平分线EF交AC于点E，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE
∴DE∥AB，故A是正确的；
∵AB＞AC＞BC，∠BAC的平分线AD，
∴CD≠BD，AD与BC不垂直，
∴EF与BC不平行，
∵点O是AD的中点，
∴E不是AC的中点，
故B，D是错误的；
∵DE∥AB，AB＞BC，
∴CD＜DE，
故C是错误的．
8.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为(　　)
A.2 B. C.1 D.无法确定
【答案】C
【解析】如图，过点G作GH⊥AB于H，
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1．
9.如图,OE平分∠AOB,EC⊥OB于点C,D为射线OA上的动点.若EC=2,则DE的最小值为()
A.1 B. C.2 D.3
【答案】C
【解析】
如答图,过点E作EH⊥OA于点H.
答图
∵OE平分∠AOB,EC⊥OB,
∴EH=EC=2.
当点D与点H重合时,DE的值最小,为2.
10.如图，在中，，平分交于．若，且，则点到边的距离为（ ）
A.14 B.15 C.16 D.17
【答案】C
【解析】
过点D作于点E，如图所示：
，且，
，
，平分，
，
故选：C．
11.如图△ABC，直线MN为线段BC的垂直平分线，交AC于点D，连BD，若AD＝3，AC＝10，则BD长为（　　）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【解析】∵直线MN为线段BC的垂直平分线，且AD＝3，AC＝10，
∴BD＝CD＝AC﹣AD＝10﹣3＝7；
故选：B．
12.如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（ ）
A.垂直平分 B.点不一定在的角平分线上 C. D.若，则垂直平分
【答案】B
【解析】
A、∵，
∴点A在垂直平分线上，
由作图可知，，
∴点D在垂直平分线上，
∴垂直平分，故A正确，不符合题意；
B、∵，，，
∴，
∴，
∴点在的角平分线上，故B不正确，符合题意；
C、∵垂直平分，
∴，
故C正确，不符合题意；
D、∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，故D正确，不符合题意；
故选：B．
13.如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD＝BC，则点D在（　　）
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的中点
D.AB的垂直平分线上
【答案】A
【解析】∵BD+DC＝BC，BD+AD＝BC，
∴DC＝DA，
∴点D在AC的垂直平分线上，
故选：A．
14.下列作线段的垂直平分线的尺规作图，正确的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A．图形是作角的平分线，不合题意．
B．图形是过直线外一点作这条直线的垂线，不合题意；
C．图形是作线段的垂直平分线，符合题意；
D．过直线上一点作这条直线的垂线，不合题意．
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为(　　)
A. B.3 C.4 D.5
【答案】D
【解析】连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，
由题意得直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴AG＝BG，EF⊥AB，即点A是点B关于直线EF的对称点，
∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC＝4，△ABC面积为10，
∴＝10，
解得AD＝5．
二、填空题
16.如图，在中，为的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，若，，，则的面积为 ．
【答案】4
【解析】 为的角平分线，，
故答案为：4；
17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD＝　　.
【答案】5
【解析】 如答图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵BD是∠ABC的平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴CD＝DE.
在Rt△ABC中，AB＝＝10.
设CD＝DE＝x，则AD＝8－x.
易知AB·DE＝AD·BC，∴10x＝(8－x)·6，
解得x＝3，∴AD＝8－x＝5.
18.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B＝∠ADB.若AB＝4,则DC的长是________.
【答案】4
19.[2021·成都]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内相交于点O；③作射线AO，交BC于点D.若点D到AB的距离为1，则BC的长为____.
【答案】1＋
答图
【解析】如答图，过点D作DH⊥AB于点H，则DH＝1.
由作法得，AD是∠CAB的平分线，
∴CD＝DH＝1.
易得△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，
∴△DHB是等腰直角三角形，
∴BD＝DH＝，
∴BC＝CD＋BD＝1＋.
20.如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.若BD＝5，CE＝3，则线段DE的长为____.
【答案】
8
【解析】如答图，过点D作DH⊥AC于点H.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DE＝1，
∴S△ACD＝×2×1＝1.
三、解答题
21.综合与实践
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为．
[操作与发现]
（）当为时，点的坐标为______；
当为时，点的坐标为______．
[猜想与证明]
（）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数）
（）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式．
[实践与运用]
（）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围．
【答案】
解：（）当为时，线段的垂直平分线为直线，过点垂直于轴的垂线即为轴，
∴点的坐标为；
当为时，如图所示，点的坐标为，
故答案为：，；
（）由对称性可知，当为时，如图所示，点的坐标为，
∴由点的位置变化可猜想为我们学过的二次函数，
故答案为：；
（）由勾股定理得，，，
∵，
∴，
∴；
（）如图，当时，点，此时，四边形是正方形，
当时，可知，则，
∴，
即为钝角三角形，
又由（）可知当为时，点的坐标为，点三点共线构成不了三角形，
∴，
综上，要使为钝角三角形，的取值范围为且．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的图象，线段垂直平分线的性质，正方形的性质等，理解题意是解题的关键．
22.如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）当的半径为2，时，求的值．
【答案】解：（1）证明：连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴点O，B在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线.
（2）∵的半径为2，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
(1)尺规作图：作 AB 的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E(不写作法，保留作图痕迹).
(2)在(1)的基础上，连结AD，若AD平分∠CAB，且∠B=30°，DE=3，求BC的长.
【答案】
解：(1)如答图所示.
答图
(2)∵直线DE是AB的垂直平分线，
∴∠BED=90°.
又∵∠C=90°，AD平分∠CAB，
∴DC=DE=3.
又∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6，
∴BC=DC＋BD=9.
24.如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分．
【答案】证明：连接，
∵与边相切于点，
∴，即，
∵为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴平分．
25.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB,连结AE.
(1)求证:∠AEC=2∠B.
(2)若∠BAC=60°,EC=3,求BE的长.
【答案】
解:(1)∵DE垂直平分AB,∴EB=EA,
∴∠B=∠EAB.
又∵∠AEC=∠B+∠EAB,
∴∠AEC=2∠B.
(2)∵∠BAC=60°,∠C=90°,
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=30°,
∴∠B=∠EAB=30°,
∴∠EAC=∠BAC-∠EAB=30°.
又∵∠C=90°,EC=3,
∴AE=2EC=6,
∴BE=EA=6.

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