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2027届中考数学一轮复习 第四章图形的初步认识与三角形：解直角三角形的应用 基础巩固
一、选择题
1.如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）
A.米 B.米 C.米 D.米
2.某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（ ）米.
A. 20 B. 15 C. 12 D.
3.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝36cm，则高AD约为（　　）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A.8.10cm B.11.22cm C.9.18cm D.16.02cm
4.如图，为了测量空中某点离地面的高度，小敏利用测角仪在点、分别测得的仰角为，为，地面上点、、在同一水平直线上，，则点离地面的高度长为（ ）

A. B. C. D.
5.如图，某数学活动小组要测量校园内旗杆AB的高度，点B、C在同一条水平线上，测角仪在D处测得旗杆最高点A的仰角为α．若测角仪CD＝a，BC＝b，则旗杆AB的高度为（　　）
A.a+bcosα B. C.a+btanα D.
6.如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处.已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(　　)
A.米 B.米 C.x·sin α米 D.x·cos α米
7.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向，AC＝12km，BC＝5km，则A，B两岛之间的距离为（　　）
A.12km B.13km C.14km D.17km
8.如图，一艘船从A处出发，匀速向正北方向航行30海里至点B，从A处测得一礁石C在北偏西15°的方向上，从B处测得礁石C在北偏西30°的方向上．如果这艘船沿此航线继续航行，则礁石与船的最短距离是（　　）海里．
A.10 B.15 C.20 D.30
9.图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是80cm，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，则双翼的边缘AC、BD（AC＝BD）的长度为（　　）
A. B.70cm C. D.80cm
10.[2022·福建]如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm，则高AD约为(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)(　　)
A.9.90 cm B.11.22 cm C.19.58 cm D.22.44 cm
11.某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲侦测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840 m，BC=500 m，则O到BC的距离为（　　）
A.140 m B.340 m C.360 m D.480 m
12.如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
13.如图，河坝横断面迎水坡的坡度是，坝高，则坡面的长度是（ ）

A. B. C. D.
14.淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°方向，则淇淇家位于西柏坡的(　　)
A.南偏西70°方向 B.南偏东20°方向 C.北偏西20°方向 D.北偏东70°方向
15.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°，则船离灯塔的水平距离是（　　）
A.42 米 B.14 米 C.21米 D.42米
二、填空题
16.如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）
17.无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________．
18.某校化学实验小组利用白醋和小苏打自制火箭发射小实验．如图，一枚自制小火箭从发射点A处发射，身高1.8米的小明在离发射点A距离6m的B处，当小火箭到达C点时，小明测得此刻的仰角为62°，则这枚小火箭此时的高度AC是 　　m．
19.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 600米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为　　　　米.
（结果保留根号）
20.如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约________ m(结果取整数).(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
三、解答题
21.在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：．
22.“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，是彩婷的中轴、甲同学站在处．借助测角仪观察，发现中轴上的点的仰角是，他与彩婷中轴的距离米．乙同学在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，中轴上的点的仰角，点、之间的距离是米，已知彩婷的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上的长度．（结果精确到米，参考数据，）
23.随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，）
24.随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，）
25.项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据：
，，，，，）．
2027届中考数学一轮复习 第四章图形的初步认识与三角形：解直角三角形的应用 基础巩固（参考答案）
一、选择题
1.如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）
A.米 B.米 C.米 D.米
【答案】B
【解析】解：由题意得，四边形是矩形，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
2.某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（ ）米.
A. 20 B. 15 C. 12 D.
【答案】B
【解析】如图，过作于点，
易得四边形为矩形，
∴，，
设，在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意；
∴.
故选：B.
3.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝36cm，则高AD约为（　　）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A.8.10cm B.11.22cm C.9.18cm D.16.02cm
【答案】C
【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝36cm，
∴BDBC＝18cm．
在Rt△ABD中，
∵tan∠ABC，∠ABC＝27°，
∴AD＝tan∠ABC×BD
≈0.51×18
＝9.18（cm）．
故选：C．
4.如图，为了测量空中某点离地面的高度，小敏利用测角仪在点、分别测得的仰角为，为，地面上点、、在同一水平直线上，，则点离地面的高度长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可知，，
∴
∵为，
∴，
∴设，
∵，
∴，
∴在中，，
解得：，
点离地面的高度长为
故选：．
5.如图，某数学活动小组要测量校园内旗杆AB的高度，点B、C在同一条水平线上，测角仪在D处测得旗杆最高点A的仰角为α．若测角仪CD＝a，BC＝b，则旗杆AB的高度为（　　）
A.a+bcosα B. C.a+btanα D.
【答案】C
【解析】过点D作DE∥CB交AB于点E，
由题意得：，
∴AE＝tanα DE
∵DE＝BC＝b，
∴AE＝b tanα
∵CD＝BE＝a
∴AB＝AE+BE＝b tanα+a
故选：C．
6.如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处.已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(　　)
A.米 B.米 C.x·sin α米 D.x·cos α米
【答案】B
7.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向，AC＝12km，BC＝5km，则A，B两岛之间的距离为（　　）
A.12km B.13km C.14km D.17km
【答案】B
【解析】由题意得∠ACB＝50°+40°＝90°，AC＝12km，BC＝5km．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB13（km）．
故选：B．
8.如图，一艘船从A处出发，匀速向正北方向航行30海里至点B，从A处测得一礁石C在北偏西15°的方向上，从B处测得礁石C在北偏西30°的方向上．如果这艘船沿此航线继续航行，则礁石与船的最短距离是（　　）海里．
A.10 B.15 C.20 D.30
【答案】B
【解析】过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，
∵∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，
∴∠BCA＝15°，
∴AB＝CB＝30海里，
∴CDBC＝15海里，
故选：B．
9.图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是80cm，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，则双翼的边缘AC、BD（AC＝BD）的长度为（　　）
A. B.70cm C. D.80cm
【答案】B
【解析】如图，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，
∵点A与B之间的距离为10cm，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，
∴AE＝BF＝（80﹣10）÷2＝35（cm），
在Rt△ACE中，AC＝2AE＝35×2＝70（cm），
故选：B．
10.[2022·福建]如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44 cm，则高AD约为(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)(　　)
A.9.90 cm B.11.22 cm C.19.58 cm D.22.44 cm
【答案】B
【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝44 cm，
∴BD＝CD＝BC＝22 cm.
又∵∠ABC＝27°，
∴AD＝BD·tan∠ABC≈11.22 cm.
11.某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲侦测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840 m，BC=500 m，则O到BC的距离为（　　）
A.140 m B.340 m C.360 m D.480 m
【答案】D
【解析】
如图，作OM⊥BC于点M，ON⊥AC于点N，
则四边形ONCM为矩形，
∴ON=MC，OM=NC，
设OM=x m，则NC=x m，AN=（840-x）m，
在Rt△ANO中，∠OAN=45°，
∴ON=AN=（840-x）m，则MC=ON=（840-x）m，
在Rt△BOM中，BM=≈x（m），
由题意得840-x+x=500，
解得x=480.
即点O到BC的距离约为480 m.
12.如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
【答案】D
【解析】解：如图，由题意得：，米，
∴，
∴米，
即她沿垂直方向升高了米，
故选：D．
13.如图，河坝横断面迎水坡的坡度是，坝高，则坡面的长度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
在中，，，
，
．
故选：A
14.淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°方向，则淇淇家位于西柏坡的(　　)
A.南偏西70°方向 B.南偏东20°方向 C.北偏西20°方向 D.北偏东70°方向
【答案】D
15.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°，则船离灯塔的水平距离是（　　）
A.42 米 B.14 米 C.21米 D.42米
【答案】A
【解析】
根据题意可得船离海岸线的距离为42÷tan 30°=42（米）.
二、填空题
16.如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）
【答案】17
【解析】如图，延长交直线于点H，则，
由题意知，
在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
.
17.无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________．
【答案】
【解析】解：根据题意，得，
18.某校化学实验小组利用白醋和小苏打自制火箭发射小实验．如图，一枚自制小火箭从发射点A处发射，身高1.8米的小明在离发射点A距离6m的B处，当小火箭到达C点时，小明测得此刻的仰角为62°，则这枚小火箭此时的高度AC是 　　m．
【答案】（1.8+6tan62°）．
【解析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，
由题意得：DB⊥AB，CA⊥AB，
∴四边形ABDE是矩形，
∴BD＝AE＝1.8m，DE＝AB＝6m，
在Rt△CDE中，∠CDE＝62°，
∴CE＝DE tan62°＝6tan62°m，
∴AC＝AE+CE＝（1.8+6tan62°）m，
∴这枚小火箭此时的高度AC是（1.8+6tan62°）m．
故答案为：（1.8+6tan62°）．
19.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 600米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为　　　　米.
（结果保留根号）
【答案】
1 600（-1）
【解析】
由题意可得∠DCA=∠CAH=45°，∠DCB=∠CBH=30°，
∵CH⊥HB，
∴∠CHA=90°，
∵CH=1 600米，
∴HA==1 600（米），
HB===1 600（米）.
∴AB=HB-HA=1 600-1 600=1 600（-1）米.
20.如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约________ m(结果取整数).(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
【答案】21
三、解答题
21.在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：．
【答案】解：如图过点B作于点E，
在中，，米，
∴（米），（米），
米，
米
在中，，
米，
米，
，
（米）．
答：杨树的高度约米．
22.“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，是彩婷的中轴、甲同学站在处．借助测角仪观察，发现中轴上的点的仰角是，他与彩婷中轴的距离米．乙同学在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，中轴上的点的仰角，点、之间的距离是米，已知彩婷的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上的长度．（结果精确到米，参考数据，）
【答案】解：如图，过点作MN⊥AB于点，
依题意可知，四边形是矩形，，
∴（米），（米），
∴
≈2×1.41+2×1.73+1.5﹣6.3
≈1.5（米）.
∴中轴上的长度为米．
23.随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，）
【答案】解：由题意得：，，，．
在中，，，
，，
在中，，
，
答：无人机从A点到B点的上升高度为．
24.随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，）
【答案】解：由题意得：，，，．
在中，，，
，，
在中，，
，
答：无人机从A点到B点的上升高度为．
25.项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据：
，，，，，）．
【答案】解：由题意得，，四边形为矩形，
∴，，
∴，，
设米，则米，米，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，解得，
∴（米），
答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米．

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